巧用導(dǎo)數(shù)知識，妙解函數(shù)問題

于鵬

函數(shù)與導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系緊密.對于較為復(fù)雜的函 數(shù)問題，靈活運(yùn)用求導(dǎo)公式、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、導(dǎo)函數(shù) 與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系、極值等導(dǎo)數(shù)知識，可使問 題快速得解.本文主要談一談如何巧妙地運(yùn)用導(dǎo)數(shù)知 識來解答函數(shù)問題.

一、求解函數(shù)圖象的切線問題

當(dāng)遇到與函數(shù)圖象的切線或切點(diǎn)有關(guān)的問題時(shí)，通?？筛鶕?jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即函數(shù)f（x）在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)f′（x0）是在曲線y＝f（x）上點(diǎn)P（x0，y0）處的切線的斜率，來解題.通過求切點(diǎn)處的導(dǎo)函數(shù)值，求得切線的斜率、直線方程.

例1.已知函數(shù) y =ax3+ bx2+cx +d 的圖象與 y 軸交于點(diǎn) P，且曲線在點(diǎn) P 處的切線方程為12x -y -4=0，若函數(shù)在 x =2處的極值為0，求函數(shù)的解析式.

解：∵函數(shù) y =ax3+ bx2+cx +d 的圖象與 y 軸交于點(diǎn) P ，

∴點(diǎn) P 的坐標(biāo)為（0， d），

而曲線在點(diǎn) P 的切線方程為 y =12x -4，且 P 在切線的方程上，

將（0，d）代入12x -y -4=0，得 d =-4，

對 y =ax3+ bx2+cx +d 求導(dǎo)可得 y ′=3ax2+2bx +c，可得當(dāng) x =0時(shí)，y ′=c =12，

數(shù)在 x =2處的極值為0，

解得 a =2，b =-9，

∴函數(shù)的解析式為 y =2x 3-9x2+12x -4.

根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知切點(diǎn) A（x1，y 1）處的切線的方程為 y -y1＝f ′（x1）（x -x1）.一般地，若切點(diǎn) A（x1，y1）在函數(shù)圖象上，則該點(diǎn)的坐標(biāo)滿足函數(shù)的解析式，即 y1=f（x1），同時(shí)也滿足切線的方程，即 y -y1=f ′（x1）·（x -x1）.

例2.已知函數(shù)f（x）＝alnx ＋bx2的圖象在點(diǎn) P（1，1）處的切線與直線x-y＋1＝0垂直，則 a 的值為（）.

A.-1 B.1 C.3 D．-3

解：

解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，建立切線的斜率與導(dǎo)函數(shù)之間的關(guān)系，從而建立關(guān)于 a 的方程.

二、求解函數(shù)的零點(diǎn)問題

常見的函數(shù)零點(diǎn)問題有求函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)、求零點(diǎn)的取值范圍、由零點(diǎn)的個(gè)數(shù)求參數(shù)的取值范圍.有時(shí)我們無法求得函數(shù)零點(diǎn)的確切值或表達(dá)式，此時(shí)不妨運(yùn)用導(dǎo)數(shù)知識來求解.首先利用求導(dǎo)公式對函數(shù)求導(dǎo)，并令導(dǎo)函數(shù)為0；然后根據(jù)導(dǎo)函數(shù)與函數(shù)零點(diǎn)之間的關(guān)系判斷出函數(shù)的單調(diào)性，確定函數(shù)的極值；再畫出函數(shù)的大致圖象，找出函數(shù)圖象與 x 軸的交點(diǎn)及其位置，建立關(guān)系式即可解題.

例3.

解：

根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的定義，令 f（x）=0，可得 m = x -，即可將問題轉(zhuǎn)化為直線 y = m 與函數(shù) g（x）= x -存在2個(gè)交點(diǎn)的問題.然后對函數(shù) g（x）= x -求導(dǎo)，討論其在區(qū)間（0， +∞）上的單調(diào)性、最值，從而得到滿足題意的參數(shù)的取值范圍.通常要根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號來判斷函數(shù)的單調(diào)性，若在某區(qū)間上 g ′（x）＞0，則函數(shù)在該區(qū)間上單調(diào)遞增；若在某區(qū)間上 g ′（x）＜0，則函數(shù)在該區(qū)間上單調(diào)遞減.

三、求函數(shù)的最值

我們知道在開區(qū)間（a ，b）上，函數(shù)的極大（?。┲低ǔ＞褪呛瘮?shù)的最大（小）值；而在閉區(qū)間[a ，b]上，函數(shù)的最大值為函數(shù)的極值與區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值中較大的那一個(gè)，函數(shù)的最小值為函數(shù)的極值與區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值中較小的那一個(gè).因此在運(yùn)用導(dǎo)數(shù)知識求函數(shù)的最值，需先根據(jù)極值的定義求得函數(shù)的極值.一般地，若函數(shù) f（x）在 x0左側(cè)的圖象單調(diào)遞增，右側(cè)的單調(diào)遞減，則 f（x0）是函數(shù) f（x）的極大值；若函數(shù) f（x）在 x0左側(cè)的圖象單調(diào)遞減，右側(cè)的單調(diào)遞增，則 f（x0）是函數(shù) f（x）的極小值.因此求函數(shù)的極值，關(guān)鍵是判斷導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)左右兩側(cè)的符號.

例4.求函數(shù) f（x）= x3-3x 在區(qū)間-3，上的最值.

解：

對函數(shù)求導(dǎo)，即可根據(jù)極值的定義求出函數(shù)的極值點(diǎn)，再比較極值和區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值，就能得到函數(shù) f（x）的最大值和最小值.一般地，函數(shù)的極值點(diǎn)為導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)，因此確定導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)，非常關(guān)鍵.

例5.求函數(shù) f（x）=在[0，4]上的最值.

解：

根據(jù)極值的定義求極值，往往要先確定函數(shù)的定義域；再根據(jù)導(dǎo)函數(shù)與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系判斷出函數(shù)的單調(diào)性，有時(shí)還需結(jié)合函數(shù)的圖象或借助表格來確定函數(shù)的極值點(diǎn).

可見，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)知識解答函數(shù)圖象的切線問題、復(fù)雜的零點(diǎn)問題、函數(shù)最值，非常便捷，且思路較為簡單.這就要求同學(xué)們要熟練掌握導(dǎo)數(shù)知識，如求導(dǎo)公式、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、極值、導(dǎo)函數(shù)與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系.

（作者單位：江蘇省曲塘高級中學(xué)）