談?wù)労瑓⒑瘮?shù)零點問題的解法

邢罡

含參函數(shù)零點問題較為復(fù)雜.此類問題中零點的個數(shù)、位置、取值等隨著參數(shù)的變化而變化，需靈活運用方程思想、轉(zhuǎn)化思想、分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想來輔助解題.本文以一道題目為例，探討一下含參函數(shù)零點問題的解法.

題目：若對于任意的 a >0，函數(shù) f（x）= x3+ ax2+ bx +1在（-∞，0）上只有1個零點，則實數(shù) b 的取值范圍為

該函數(shù)式為三次多項式，且其中含有兩個參數(shù)，較為復(fù)雜，需運用方程思想、數(shù)形結(jié)合法求解.

一、運用方程思想

我們知道，函數(shù) f（x）的零點即為方程 f（x）=0的根.因此，在求解含參函數(shù)零點問題時，可根據(jù)函數(shù)零點的定義，令函數(shù)為0，構(gòu)建方程，通過解方程，或研究方程的根、判別式、根與系數(shù)的關(guān)系來確定零點的個數(shù)、位置、取值范圍，從而求得問題的答案.

解法1.設(shè)函數(shù) f（x）在區(qū)間（-∞，0）上的唯一零點為-t（t >0），

我們運用方程思想，可以將零點問題轉(zhuǎn)化為方程 的根的個數(shù)問題，根據(jù)方程的根的存在性和取值范圍 來討論方程中參數(shù) a、b、c 的值或范圍，并根據(jù)韋達定 理來建立關(guān)于 a、b、c 的關(guān)系式，進而利用基本不等式 求得問題的答案.

二、數(shù)形結(jié)合

數(shù)形結(jié)合法是求解含參函數(shù)問題的重要方法.在 解題時，需根據(jù)關(guān)系式的特點構(gòu)造函數(shù)模型.可構(gòu)造一 個函數(shù)，也可構(gòu)造兩個函數(shù)，然后根據(jù)零點的定義，將 問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與 x 軸、函數(shù)圖象之間的交點問 題，結(jié)合圖形討論交點的個數(shù)、位置、大致范圍，即可 快速獲得問題的答案.

解法2

則函數(shù) g（x） 的拐點為 （-1，0） ，且在 （-∞，-1） 上函 數(shù) g（x） 為上凸函數(shù)，在 （-1，0） 上為下凹函數(shù)，如圖1所 示.而函數(shù) g（x） 在 x = -1 處的切線方程為 y = -3x + 3 ， 要使直線 y = ax + b 與曲線 y = g（x） 只有1個交點，需使 b ≤ 3 .

對函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的幾何意義化曲為直， 即可將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù) g（x） 在 x = -1處的切線方程與 直線 y = ax + b 有1個交點的問題，借助函數(shù)圖象來討 論二者的位置關(guān)系，就能順利求得問題的答案.

解法3

運用數(shù)形結(jié)合法解題，需先根據(jù)零點的定義建立 等式，合理構(gòu)造函數(shù)模型；然后根據(jù)導(dǎo)函數(shù)與函數(shù)單 調(diào)性之間的關(guān)系判斷出函數(shù)的單調(diào)性，求得函數(shù)的極 值；再確定函數(shù)的大致圖象，借助圖象來研究交點的 個數(shù)、位置，從而確定零點的個數(shù)和取值范圍.

上述兩種解法都是求解含參函數(shù)問題的重要方 法.無論是利用方程思想還是數(shù)形結(jié)合法解題，都需從 函數(shù)的定義出發(fā)，將問題進行合理的轉(zhuǎn)化，以從不同 角度尋找到解題的思路.

（作者單位：江蘇省南通市海門證大中學(xué)）