由一道與動(dòng)點(diǎn)有關(guān)的平面向量題引發(fā)的思考

朱利鋒

與動(dòng)點(diǎn)有關(guān)的平面向量問題一般較為復(fù)雜，且命 題形式多樣，解法較為靈活，常常令考生頭疼不已.下 面結(jié)合一道例題，談一談如何求解與動(dòng)點(diǎn)有關(guān)的平面 向量問題.

例題

本題中 C 為動(dòng)點(diǎn)，x、y 分別為 參數(shù)，其值隨向量 OC ，即動(dòng)點(diǎn) C 的變化而變化.要求 x + y 的最大值，關(guān)鍵是確定動(dòng)點(diǎn) C 的位置.可利用坐 標(biāo)系法，通過坐標(biāo)運(yùn)算求解；也可以借助向量的數(shù)量 積公式進(jìn)行求解；還可以根據(jù)向量的幾何意義構(gòu)造三 角形，運(yùn)用正余弦定理求解.

一、利用坐標(biāo)系法求解

坐標(biāo)系法是根據(jù)題意建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo) 系，用坐標(biāo)表示動(dòng)點(diǎn)和向量，通過坐標(biāo)運(yùn)算解題的方 法.在運(yùn)用坐標(biāo)系法求解與動(dòng)點(diǎn)有關(guān)的平面向量問題 時(shí)，要根據(jù)題意建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，可尋找 或作出相互垂直的兩條線段，并將其視為坐標(biāo)系.通常 要讓盡可能多的點(diǎn)落在坐標(biāo)軸上，這樣便于計(jì)算.本題 中 ∠AOB = 120° ，可以 O 點(diǎn)為原點(diǎn)，以 OA 為 x 軸，過 點(diǎn) O 作垂直于 OA 的直線，并將其視為 y 軸來建立直 角坐標(biāo)系.

解：

建立直角坐標(biāo)系后，設(shè)出動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)，求得其他 各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，將各個(gè)向量用坐標(biāo)表示出來，即可快 速建立關(guān)于 x、y 的關(guān)系式，根據(jù)基本不等式求得最 值.利用坐標(biāo)系法，可以將向量問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題來 求解.

二、借助向量的數(shù)量積公式進(jìn)行求解

若向量 a 與向量 b 之間的夾角為 θ ，則 a?b = | a| | | | | b cos θ ，該式為向量 a 與向量 b 的數(shù)量積.在求解與 動(dòng)點(diǎn)有關(guān)的平面向量問題時(shí)，可根據(jù)向量的數(shù)量積公 式，建立與動(dòng)點(diǎn)有關(guān)的向量及其夾角之間的關(guān)系式， 通過確定向量之間的夾角或向量的模的值（最值），進(jìn) 而快速求得 a?b 、| a|、 | | | | b 的值（最值）.

解：

已知條件中給出了向量 OA、 OB 之間的夾角及 OA、 OB、 OC 的模長(zhǎng)，自然而然地可以想到利用向量的 數(shù)量積公式解題.根據(jù)向量數(shù)量積公式求得 OC 2 的表 達(dá)式，再利用基本不等式來求得最值，即可解題.

三、根據(jù)正余弦定理進(jìn)行求解

正弦定理： a sin A = b sin B = c sin C = 2R ；余弦定理： a2 = b 2 + c 2 - 2b cos A; b 2 = a2 + c 2 - 2ac cos B;c 2 = a2 + b 2 -2ab cos C .用正余弦定理解答與動(dòng)點(diǎn)有關(guān)的向量問題， 首先需根據(jù)向量的平行四邊形法則或三角形法則，繪 制出平行四邊形或三角形；然后運(yùn)用正余弦定理來建 立三角形邊角之間的關(guān)系，將問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算問 題或取值范圍問題來求解.

解：

利用正余弦定理求解與動(dòng)點(diǎn)有關(guān)的向量問題，關(guān) 鍵是根據(jù)向量的幾何意義找出或作出三角形，以在三 角形中利用正余弦定理建立關(guān)于動(dòng)點(diǎn)的關(guān)系式.

求解與動(dòng)點(diǎn)有關(guān)的平面向量問題的方法很多，關(guān) 鍵是要結(jié)合題干中所給的條件選擇合適的方法對(duì)問 題進(jìn)行求解.這就需要熟練地掌握平面向量的相關(guān)知 識(shí)，合理展開聯(lián)想，運(yùn)用發(fā)散性思維，將所學(xué)知識(shí)與向 量關(guān)聯(lián)起來，只有這樣，在解答此類問題時(shí)才能做到 得心應(yīng)手.

（作者單位：南昌大學(xué)附屬學(xué)校）