理清關(guān)系，探尋思路巧解答

朱月紅

定義是解決問題的基礎(chǔ)

數(shù)學(xué)是講道理的。計算、證明過程的每一步都要嚴(yán)密、有理有據(jù)。定義是數(shù)學(xué)計算、推理的基礎(chǔ)。利用定義解題，可提高解題效率，取得事半功倍的效果。

例1 若m是方程2x2-3x-1=0的一個根，則6m2-9m+2019的值為 。

【分析】根據(jù)一元二次方程的解的定義即可求出答案。

解：根據(jù)題意，得2m2-3m-1=0，

∴2m2-3m=1。

∴原式=3（2m2-3m）+2019=2022。

故答案是2022。

【小貼士】本題考查一元二次方程的解，解題關(guān)鍵是正確理解一元二次方程的解的定義。同學(xué)們，你有沒有先解方程再分別代入求值？這樣的話，既費時又易錯。

數(shù)學(xué)思想是解題的靈魂

數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)技能、數(shù)學(xué)方法的本質(zhì)體現(xiàn)，是形成數(shù)學(xué)能力、數(shù)學(xué)意識的橋梁，是靈活運用數(shù)學(xué)知識、方法的靈魂。方程與不等式之間存在聯(lián)系，在求解時隱含了各種思想方法，這些思想方法是架設(shè)在數(shù)學(xué)知識間的橋梁。

例2 解方程：[1x-2]=[4x+1]。

【分析】方程兩邊可同乘（x-2）（x+1），化成整式方程求解。

解：方程兩邊同乘（x-2）（x+1），得

x+1=4（x-2），

∴x=3。

檢驗：將x=3代入（x-2）（x+1），得

（x-2）（x+1）≠0。

∴x=3是原方程的解。

∴原方程的解是x=3。

【小貼士】本題考查了分式方程的求解。解分式方程的基本思想是“轉(zhuǎn)化思想”，把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程。特別要注意，解分式方程時一定要驗根。

例3 若方程組[3x+2y=k+1，2x+3y=4k-1]的解滿足x＞y，求k的取值范圍。

解法1：用含k的代數(shù)式分別表示x、y，得[x=-k+1，y=2k-1。]

∵x＞y，∴-k+1＞2k-1。

∴k＜[23]。

解法2：觀察所給方程組的未知數(shù)系數(shù)，不難發(fā)現(xiàn)，兩個方程中未知數(shù)x、y的系數(shù)進行了互換。若將兩個方程相加，得到5x+5y=5k，則未知數(shù)x、y的系數(shù)相同；若將兩個方程相減，得到x-y=2-3k，則未知數(shù)x、y的系數(shù)互為相反數(shù)，特殊的系數(shù)特征會有特殊的解法。不等式x＞y移項后，可轉(zhuǎn)化為x-y＞0，呈現(xiàn)出兩個方程相減后的整體x-y，將這個整體用含k的代數(shù)式表示，即可得到關(guān)于k的不等式，從而得解。請同學(xué)們試一試。

【小貼士】請同學(xué)們比較一下解法1和解法2，再次感受整體思想和轉(zhuǎn)化思想。我們在解題時不要急于下筆，要認(rèn)真觀察并分析題意，選擇合適的方法，養(yǎng)成回顧反思的學(xué)習(xí)習(xí)慣，這樣才能積累解題經(jīng)驗。

方程和不等式之間既有聯(lián)系，又有差異，在一定意義上具有特殊與一般的關(guān)系，因而決定了這兩部分內(nèi)容的考查既有一些相似的特點，又各有側(cè)重。在學(xué)習(xí)中，我們要理清關(guān)系，分析思路，方可尋得出路。

［作者單位：江蘇省泰州市醫(yī)藥高新區(qū)（高港區(qū)）教師發(fā)展中心］