方程與不等式中的常見錯誤剖析

郭金網(wǎng)

方程與不等式是初中數(shù)學(xué)的核心知識，在中考中具有十分重要的地位，主要包括一元一次方程、二元一次方程（組）、一元二次方程、分式方程、一元一次不等式（組）等。下面，老師結(jié)合幾道例題對方程與不等式中的易錯點進行剖析。

一、概念理解不透徹

例1 下列方程是關(guān)于x的一元一次方程的是（ ）。

A.ax+b=0

B.x（x+1）=x2+2x+1

C.x+y=2

D.x+[1x]=1

【錯解】A（或C、D）。

【錯因分析】本題出錯的原因是對一元一次方程的概念理解不清。一元一次方程的定義是：含有一個未知數(shù)且未知數(shù)項的最高次數(shù)為一次的整式方程叫作一元一次方程。根據(jù)定義我們知道，一元一次方程應(yīng)該包含三個條件：（1）一個未知數(shù)；（2）最高次數(shù)為一次；（3）整式方程。一元一次方程的一般式為ax+b=0（a≠0）。我們?nèi)绻袛嘁粋€方程是否為一元一次方程，可先將其化為一般式，再看它是否滿足上述三個條件。A選項未考慮a≠0；B選項應(yīng)先將其化為一般式再判斷；C選項有兩個未知數(shù)；D選項是分式方程。

【正確答案】B。

二、忽視隱含條件

例2 若關(guān)于x的分式方程[1x-2][+2x+2]=[x+2mx2-4]的解大于1，則m的取值范圍是 。

【錯解】m＞0。

【錯因分析】本題出錯的原因是僅考慮方程的解大于1，而未考慮分式方程的隱含條件“分母不等于0”。方程與不等式的隱含條件主要有：一元一次方程ax+b=0中a≠0；一元二次方程ax2+bx+c=0中a≠0，利用韋達定理解題時要考慮b2-4ac≥0；分式方程中分母不等于0等。

【正確答案】解方程[1x-2][+2x+2]=[x+2mx2-4]，得x=m+1，

由題意得[m+1＞1，m+1≠2，m+1≠-2，]

解得m＞0且m≠1。

所以m的取值范圍是m＞0且m≠1。

三、臨界點理解有誤

例3 關(guān)于x的不等式組

[-x+a＜2，3x-12≤x+1]恰有3個整數(shù)解，則a的取值范圍是 。

【錯解】2＜a＜3（或2＜a≤3、2≤a≤3）。

【錯因分析】本題出錯的原因是對問題中的“恰有3個整數(shù)解”理解不到位，進而在確定a的取值范圍時，對其臨界點理解有誤所致。我們可以先求出不等式的解集，再根據(jù)整數(shù)解的個數(shù)確定有哪幾個整數(shù)解，得到a的大致取值范圍，最后考慮哪些臨界值可以取到。

【正確答案】解不等式組

[-x+a＜2，3x-12≤x+1，]得a-2＜x≤3，

由不等式組[-x+a＜2，3x-12≤x+1]恰有3個整數(shù)解，可知整數(shù)解為1、2、3，進而a-2在0和1之間，再分別考慮當(dāng)a-2取臨界值0和1時，是否滿足題意，可得0≤a-2＜1，解得2≤a＜3。所以a的取值范圍是2≤a＜3。

通過上面三道題目的錯因分析，相信同學(xué)們對方程與不等式中的易錯點有了更深入的了解。下面有兩道練習(xí)題，請同學(xué)們試一試：

1.若關(guān)于x的方程[mx-1x-1]=3無解，則m的值為（ ）。

A.1 B.1或3 C.1或2 D.2或3

2.關(guān)于x的不等式組

[-13x＞23-x，12x-1＜12（a-2）]有且只有三個整數(shù)解，則a的最大值是（ ）。

A.3 B.4 C.5 D.6

（作者單位：江蘇省泰州市大泗學(xué)校）