解讀隱含條件，避免化簡出錯

周瀾

對于二次根式，我們要注意被開方式的取值范圍，特別是在一些較復(fù)雜問題中。

例1 已知實數(shù)n滿足[（2-n）2]+[n-5]=[n2]，求n的值。

【錯誤解法】將等式兩邊平方，得（2-n）2+n-5=n2，4-4n+n2+n-5=n2，化簡得3n=-1，n=[-13]。

【糾錯】如果將結(jié)果n=[-13]代回到等式中，會使得式子沒有意義！問題出在何處呢？從第一步看，等式兩邊平方就出錯了。等式左邊不可能是（2-n）2+n-5，根據(jù)完全平方式展開，左邊應(yīng)該是（2-n）2+n-5+2[（2-n）2]·[n-5]，所以后面全部是錯誤的。

【思路分析】那就從n的取值范圍出發(fā)，發(fā)現(xiàn)[n-5]隱含著n-5≥0，容易得出n≥5。

將等式化簡為含絕對值符號的形式，[2-n]+[n-5]=|n|，結(jié)合n≥5，得n-2+[n-5]=n，進一步化簡為[n-5]=2，即可解得n=9。

【變式】已知實數(shù)a滿足[2019-a]+[a-2020]=a，求代數(shù)式a-20192的值。

【思路分析】觀察等式，發(fā)現(xiàn)隱含著a-2020≥0，即a≥2020。于是等式左邊的[2019-a]可以去掉絕對值符號，得a-2019

+[a-2020]=a，進一步化簡為[a-2020]=2019，這樣兩邊平方，得a-2020=20192，即a=20192+2020，代入代數(shù)式a-20192，可求出值為2020。

例2 化簡求值：已知y=[8x-1]+[1-8x][+12]，求代數(shù)式[xy+yx+2]

[-xy+yx-2]的值。

學(xué)生1的解法：

由[8x-1≥0，1-8x≥0，]得x=[18]，

∴y=[12]。

[xy+yx+2][-xy+yx-2]

=[x2+y2+2xyxy][-x2+y2-2xyxy]

=[（x+y）2xy][-（x-y）2xy]

=[（18+12）218×12][-（18-12）218×12]

=[14]×[58][-14]×[38]

=[116]。

學(xué)生2的解法：

先求出x=[18]，y=[12]。

[xy+yx+2][-xy+yx-2]

=[（x+y）2xy][-（x-y）2xy]

=[（x+y）-（x-y）xy][xy]

=[2yxy][xy]

=[2x][xy]

=[218]·[18×12]

=16×[14]

=4。

【糾錯】學(xué)生1的思路是先根號內(nèi)通分，然后代入x、y的值，但在計算過程中處理分數(shù)的運算出錯（最后兩步出錯）；學(xué)生2的主要思路是根號內(nèi)通分，配成完全平方式后化為最簡二次根式，但第二步就出錯，因為將根號內(nèi)（x-y）2開方時沒有加絕對值，即[x-y]，而是跳步驟直接寫成了x-y，從而出現(xiàn)“高位錯誤”，究其原因是忽略了x、y的值已被確定，x-y是一個負數(shù)。我們可以發(fā)現(xiàn)，學(xué)生1若不是計算出錯，應(yīng)該能獲得正確結(jié)果（答案為1）；而學(xué)生2是對二次根式性質(zhì)[a2]=[a]的理解不夠透徹，忽略了對被開方式中底數(shù)a的正負情況討論。

為了鞏固這個易錯點，給出如下一道習(xí)題，作為跟進訓(xùn)練。

甲、乙兩人計算a+[1-4a+4a2]的值，當(dāng)a=2時，得到不同的答案。

甲的解答是：a+[1-4a+4a2]=a+[（1-2a）2]=a+1-2a=-a+1=-1；

乙的解答是：a+[1-4a+4a2]=a+[（1-2a）2]=a+2a-1=3a-1=5。

請評價甲、乙兩人的解答。

（作者單位：江蘇省海安市城南實驗中學(xué)）