數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)化思維的培育與教學(xué)對策

彭春燕(山東省臨沂市莒南縣第二小學(xué) 276600)

結(jié)構(gòu)化思維是一種重要的數(shù)學(xué)思維方式,可以引導(dǎo)小學(xué)生從已有知識結(jié)構(gòu)中調(diào)取解決當(dāng)前問題的方法、經(jīng)驗,使他們在面對陌生的數(shù)學(xué)問題時做出準(zhǔn)確判斷、進(jìn)而找到最佳解題策略。學(xué)生必須經(jīng)過持續(xù)訓(xùn)練才能養(yǎng)成結(jié)構(gòu)化思維習(xí)慣,這就要求教師有意識地在教材解讀、課程設(shè)置、活動設(shè)計和作業(yè)布置等環(huán)節(jié)增加培育結(jié)構(gòu)化思維所占的比重,引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)問題的發(fā)現(xiàn)、提出、分析、解決、遷移應(yīng)用等過程,將數(shù)學(xué)知識內(nèi)化為學(xué)生的思維結(jié)構(gòu),并進(jìn)一步形成結(jié)構(gòu)化思維。

一、數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)化思維的內(nèi)涵與功能

結(jié)構(gòu)化思維出自管理學(xué)領(lǐng)域,是對事物結(jié)構(gòu)進(jìn)行積極建構(gòu),使事物結(jié)構(gòu)更為優(yōu)化、有序化的思維過程。數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的結(jié)構(gòu)化思維是將廣義中的“事物”轉(zhuǎn)換為數(shù)學(xué)知識,其具體解釋為“能夠從多角度對數(shù)學(xué)問題展開觀察、分析,并利用關(guān)聯(lián)性、系統(tǒng)性、整體性的思維找到解題策略、解決數(shù)學(xué)問題的思維方法?！睌?shù)學(xué)結(jié)構(gòu)化思維的對象是數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu),它可以使學(xué)習(xí)者在建構(gòu)數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)的過程中形成完備的數(shù)學(xué)知識網(wǎng)絡(luò)。

在以往的教學(xué)案例中,數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)化思維偶有使用。如在“平行四邊形的面積”的學(xué)習(xí)中,教師會引領(lǐng)學(xué)生將“平行四邊形的面積”與已習(xí)得的“長方形的面積”關(guān)聯(lián)起來。而在“梯形的面積”這一板塊中,學(xué)生又會利用已學(xué)的平行四邊形、三角形等知識,研究、探析“梯形的面積”,且對這些基礎(chǔ)幾何圖形的面積公式進(jìn)行對比、聯(lián)系。在上述示例中,學(xué)生的思維已呈現(xiàn)出結(jié)構(gòu)化特點。但大部分?jǐn)?shù)學(xué)課堂對結(jié)構(gòu)化思維的運(yùn)用都停留在淺嘗輒止的階段,教師設(shè)計的結(jié)構(gòu)化思維培育環(huán)節(jié)很難調(diào)動學(xué)生的自主精神、探索動力。學(xué)生在學(xué)習(xí)中普遍不會將新與舊、數(shù)與形、抽象與具象的知識自主關(guān)聯(lián)起來。他們從往昔學(xué)習(xí)、生活實際中所獲的知識經(jīng)驗很難投入到新知識新領(lǐng)域的探索中,這就說明大部分學(xué)校對結(jié)構(gòu)化思維的培育還存在誤區(qū),需要加強(qiáng)指向結(jié)構(gòu)化思維培育的教學(xué)對策研究。

二、當(dāng)前小學(xué)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)化思維培育存在的問題

1.新舊知識間的聯(lián)系不夠緊密

數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)化思維重視知識間的溝通與遷移。當(dāng)前,教學(xué)較為忽視知識的類比遷移,尤其是在新舊知識之間沒有建立起交流渠道,導(dǎo)致數(shù)學(xué)知識呈現(xiàn)片面、靜止、孤立的狀態(tài),不利于學(xué)生的理解應(yīng)用。教師往往“教到哪里就只看哪里”,在這種情況下,學(xué)生的頭腦中無法生成整體化、結(jié)構(gòu)化的知識體系,也難以將新知識與自身所掌握的知識進(jìn)行同化。同時,教師也很少有意識地引導(dǎo)學(xué)生拓展、延伸舊知識,并自主探尋新知識,學(xué)會的知識如同“放在儲藏間的舊貨”一樣棄之不用,自然也不會將舊知識拿出來,同新知識進(jìn)行觀察、比較。這不僅使新的問題無法解決,還會造成數(shù)學(xué)知識技能的生疏與遺忘。

2.數(shù)與形的轉(zhuǎn)化程度不夠深入

為順應(yīng)課程改革的要求,數(shù)學(xué)教材的編撰也強(qiáng)調(diào)綜合性。教材中不會特意區(qū)分幾何模塊或代數(shù)模塊,這便給數(shù)學(xué)教師提出了新的教學(xué)要求。“數(shù)形結(jié)合”是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法,為幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)本質(zhì),教師可根據(jù)教學(xué)目的,將抽象的數(shù)字符號與直觀的幾何圖形進(jìn)行轉(zhuǎn)化。當(dāng)前,小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)普遍沒有高效利用“數(shù)形結(jié)合”教學(xué)方法,對過于簡單以至于觀察者無法提煉出規(guī)律的圖形,沒有進(jìn)行處理轉(zhuǎn)化,即沒有借助數(shù)的精確性來準(zhǔn)確地表達(dá)某些幾何特性。相較于形,小學(xué)數(shù)學(xué)中關(guān)于數(shù)的內(nèi)容更為抽象,但教師卻習(xí)慣性地忽視學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律,在教學(xué)中往往教到數(shù)字就只講數(shù)字,教到幾何就只講幾何,沒有利用圖像對數(shù)進(jìn)行直觀闡述。如此一來,學(xué)生無法發(fā)現(xiàn)蘊(yùn)藏在數(shù)中的隱蔽、復(fù)雜信息,也無法培養(yǎng)數(shù)學(xué)的結(jié)構(gòu)化思維。

3.數(shù)學(xué)與外部世界的對應(yīng)不夠貼切

數(shù)學(xué)問題雖然較為抽象,但與客觀現(xiàn)實具有較強(qiáng)的對應(yīng)關(guān)系。不少教師并沒有建立數(shù)學(xué)與現(xiàn)實的聯(lián)系,在知識講授中不善于使用簡化模型。如果教師不能引導(dǎo)學(xué)生從具體生活情境中發(fā)現(xiàn)、總結(jié)、提煉數(shù)學(xué)問題,學(xué)生即便能夠牢記公式步驟、推理過程,也不一定真正理解數(shù)學(xué)計算的內(nèi)在規(guī)律,更不會舉一反三地解決問題。有些教師雖有意識地使用教具模型幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)問題,但沒有考慮學(xué)生的接受能力與認(rèn)知規(guī)律,模型的功能沒有被充分發(fā)揮,成了“走過場”“充門面”的冗余工具。在這一情況下,學(xué)生雖能按照教師的要求操作模型、解答問題,但還很難將模型與所學(xué)內(nèi)容聯(lián)系起來,也無法將現(xiàn)實場景中的現(xiàn)象用數(shù)學(xué)語言進(jìn)行表達(dá)。

三、指向結(jié)構(gòu)化思維培育的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)對策

1.溝通新舊知識,加強(qiáng)對新知的同化與內(nèi)化

數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)化思維重視利用已有解題思路解決新的問題。在數(shù)學(xué)中,每一類問題都不是獨立存在的,而是與其他知識有著千絲萬縷的聯(lián)系。指向結(jié)構(gòu)化思維培育的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué),應(yīng)當(dāng)引領(lǐng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)這些聯(lián)系,找出隱藏在不同問題中的共同特征與相似結(jié)構(gòu),并將已有數(shù)學(xué)經(jīng)驗、知識遷移到新的領(lǐng)域,從而實現(xiàn)新知與舊知的結(jié)合與同化,將完整的知識體系內(nèi)嵌于心,為日后遷移應(yīng)用提供豐富的知識儲備。

在“除數(shù)是小數(shù)的除法”的教學(xué)中,為達(dá)到新舊知識的溝通與遷移,教師可以先引領(lǐng)學(xué)生復(fù)習(xí)除數(shù)為整數(shù)的除法知識。教師先給出一系列除法算式:60÷15、600÷150、6000÷1500、6÷1.5。對于五年級的學(xué)生而言,前三個除法式子不存在解答難度,且很容易看出,除數(shù)、被除數(shù)的值雖然不一樣,但答案卻是一樣的。教師再讓學(xué)生自由觀察討論前三題的其他共同點,學(xué)生發(fā)現(xiàn)它們的除數(shù)與被除數(shù)較相鄰題目均同時擴(kuò)大或縮小了10倍,學(xué)生便能將這一發(fā)現(xiàn)遷移到除數(shù)為小數(shù)的除法問題上,從而猜出最后一題的答案。接下來,教師給出算式8÷0.32,要求學(xué)生將其按照先前的猜測轉(zhuǎn)換為除數(shù)為整數(shù)的除法,學(xué)生往往能夠“照貓畫虎”,根據(jù)前文所提及的四組運(yùn)算,將算式寫作“800÷32”。此時,教師拋出“為什么前面要補(bǔ)上兩個‘0’”等問題,引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步總結(jié)出小數(shù)點移動的規(guī)律與“補(bǔ)0”的數(shù)量依據(jù)。在這一環(huán)節(jié)中,學(xué)生思考討論所總結(jié)出的知識還能繼續(xù)遷移到被除數(shù)與除數(shù)都是小數(shù)的除法題目中。學(xué)生在復(fù)習(xí)舊知、構(gòu)建新知的過程中將零散的數(shù)學(xué)知識整合起來,有利于建立結(jié)構(gòu)化的數(shù)學(xué)知識體系,進(jìn)而加強(qiáng)自身的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)化思維。

2.重視數(shù)形結(jié)合,把握數(shù)量之間的關(guān)系本質(zhì)

數(shù)與形是數(shù)學(xué)中最基本的研究對象,將這兩部分內(nèi)容轉(zhuǎn)化、結(jié)合,有利于學(xué)生對抽象事物的理解、解題思路的優(yōu)化。把數(shù)學(xué)中復(fù)雜的數(shù)字問題轉(zhuǎn)化為直觀的圖像,再引導(dǎo)學(xué)生觀察、分析、比較和歸納形與數(shù)之間的關(guān)系,從而使學(xué)生深入理解數(shù)與數(shù)的關(guān)系本質(zhì)。

在“異分母分?jǐn)?shù)的加、減法”教學(xué)中,教師可以使用數(shù)形結(jié)合的講解方法,加深學(xué)生對算理的理解。以算式“2/3+1/9”為例,教師可以刻畫一幅扇形圖:將圓形劃分為9 份,其中一份標(biāo)為紅色,三份為藍(lán)色。這幅圖對應(yīng)了“2/3+1/9”的運(yùn)算本質(zhì),學(xué)生在對圖像的認(rèn)識中不難領(lǐng)會“異分母分?jǐn)?shù)的加減法需要先將兩個分?jǐn)?shù)劃分為同分?jǐn)?shù)單位”這一原則。

以“將3.27 保留一位小數(shù)求取近似數(shù)”為例,教師可以先提出“為何保存一位的小數(shù)求近似數(shù)要看第二位?”等問題,學(xué)生往往會圍繞數(shù)字來回答該問題。這時候,教師可出示直線刻度圖,將數(shù)字3與4之間平均分成10份,再將10份中的第2條刻度線與第三條刻度線之間再平分10份,便可以找到“3.27”對應(yīng)的位置。學(xué)生看到該圖后便能夠察覺到,相較于“3.2”“3.27”,3同“3.3”的距離更為接近。在此過程中,學(xué)生先獲悉圖畫信息,再建立圖形與數(shù)字的聯(lián)系,最終通過圖畫理解數(shù)字與數(shù)字之間的關(guān)系,這有利于學(xué)生對復(fù)雜數(shù)學(xué)問題的理解與解決,有助于學(xué)生在數(shù)與形的融會貫通中建立起數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)化思維。

3.建立直觀模型,澄清數(shù)學(xué)與現(xiàn)實的對應(yīng)關(guān)系

數(shù)學(xué)模型一般指將復(fù)雜、前沿問題簡潔化、形式化的研究方案。小學(xué)數(shù)學(xué)問題雖談不上復(fù)雜、高深,但仍可以真實性、簡易性、直觀性、系統(tǒng)性為目的,建立能夠客觀反映數(shù)學(xué)現(xiàn)象的實物模型,并以此明晰抽象理論與現(xiàn)實世界的對應(yīng)關(guān)系。

在“乘法分配律”教學(xué)中,教師可以利用低年級知識“長方體體積”進(jìn)行建模。教師先拿出三個立方體,它們的長寬高分別為7cm、5cm、4cm;3cm、5cm、4cm;4cm、5cm、4cm。這三個立方體寬與高是相等的,區(qū)別就在于長度:第一個立方體的長度等于其余兩個立方體長度的和。也就是說,將后兩個立方體拼合為一體后形成的新立方體與第一個立方體是全等的。教師再要求學(xué)生計算新立方體的體積,會發(fā)現(xiàn)在學(xué)生的計算中存在兩種求體積方法,第一種是(3×20)+(4×20),第二種則是(3+4)×20。采用第一種方法的學(xué)生是將兩個立方體分別求積再相加,而采用第二種方法的學(xué)生則是將兩個立方體想象為一體,先算新立方體的長,再算它的體積。上述兩種計算方法均正確、合理,并且它們的計算結(jié)果顯然相同,這準(zhǔn)確地反映了乘法分配律。教師借助立方體模型將抽象的數(shù)字符號直觀地呈現(xiàn)出來,有利于學(xué)生建立起抽象理論與具象事物的聯(lián)系,將復(fù)雜、晦澀的數(shù)學(xué)信息轉(zhuǎn)化為簡潔、清晰的結(jié)構(gòu)化知識,最終建立起數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)化思維。

四、結(jié)語

結(jié)構(gòu)性思維有利于小學(xué)生建立對數(shù)學(xué)問題的結(jié)構(gòu)化認(rèn)知,增強(qiáng)其發(fā)現(xiàn)、分析、解決數(shù)學(xué)問題的能力。教師需要使用多樣的教學(xué)策略,在緊扣教材內(nèi)容的基礎(chǔ)上了解學(xué)生認(rèn)知規(guī)律,引導(dǎo)學(xué)生主動溯源新知識,厘清知識脈絡(luò)、延展思考維度,使學(xué)生更加系統(tǒng)、完整地把握數(shù)學(xué)知識,并形成結(jié)構(gòu)化思維。最終,學(xué)生將學(xué)會用數(shù)學(xué)思維去觀察、認(rèn)知、解構(gòu)世界,甚至能用數(shù)學(xué)工具能動地改造現(xiàn)實世界。