非同軸兩輪機(jī)器人自平衡與轉(zhuǎn)向閉環(huán)控制

周鑫強(qiáng),石曉輝,黃劍鳴

(重慶理工大學(xué) 車輛工程學(xué)院，重慶 400054)

0 引言

隨著自動控制理論和傳感器技術(shù)發(fā)展，兩輪機(jī)器人作為近幾年發(fā)展起來的新型移動機(jī)器人具有運(yùn)動靈活、能源清潔、結(jié)構(gòu)簡單等特點(diǎn)[1]，在安保巡邏、快遞運(yùn)輸、災(zāi)區(qū)救援等領(lǐng)域具有廣闊運(yùn)用前景[2]，因此受到國內(nèi)外眾多學(xué)者研究[3-8]。

非同軸兩輪機(jī)器人結(jié)構(gòu)類似于自行車，在側(cè)向方向上是不具有直接驅(qū)動的，屬于典型的欠驅(qū)動非完整約束系統(tǒng)[9]，在正常情況下車身是不平衡的容易傾倒。保持車身平衡就是自平衡控制問題，同時也是非同軸兩輪機(jī)器人轉(zhuǎn)向閉環(huán)控制的前提。

目前對于非同軸兩輪機(jī)器人基于前輪轉(zhuǎn)角來實現(xiàn)自平衡控制方面研究已經(jīng)取得了許多成果。例如文獻(xiàn)[10]中利用動量矩定理建立了自行車動力學(xué)模型，設(shè)計了變增益LQR(linear quadratic regulator，線性二次調(diào)節(jié)器)自平衡控制器，實現(xiàn)了自行車直線變速行駛；文獻(xiàn)[11]中利用拉格朗日方程建立了自行車動力學(xué)模型，針對車身側(cè)傾角和車身側(cè)傾角速度分別設(shè)計了PID(proportion integration differentiation，比例、積分、微分)控制器，利用雙PID切換控制實現(xiàn)了無人自行車的勻速直線運(yùn)動；文獻(xiàn)[12]中建立了無人自行車在直線行駛自平衡和90°車把定車運(yùn)動狀態(tài)下的動力學(xué)方程，利用泰勒級數(shù)法進(jìn)行線性化，針對兩種運(yùn)動狀態(tài)設(shè)計了自適應(yīng)模糊控制器；文獻(xiàn)[13]在勻速圓周和勻速直線運(yùn)動狀態(tài)下分別設(shè)計了相應(yīng)的模糊PID控制器，并借助車身傾角和車把轉(zhuǎn)角雙位置環(huán)控制器，改善了系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)。文獻(xiàn)[14]中分析了軸距、自行車質(zhì)心、前叉傾角對無人自行車系統(tǒng)穩(wěn)定性影響，提出速度修正函數(shù)與最優(yōu)控制相結(jié)合的全狀態(tài)反饋自平衡控制。

上述文獻(xiàn)中，針對無人自行車動力學(xué)模型中非線性時變的不確定部分采用模型線性化方法來處理，而該方法的理想條件是無人自行車處于低速、車身側(cè)傾角和前輪轉(zhuǎn)角較小工況。因此設(shè)計的自平衡控制器只有在該工況下具有較好的控制效果，為無人自行車自平衡控制提供了一定的研究思路和基礎(chǔ)。但是還是存在以下幾點(diǎn)問題：其一，沒有考慮到無人自行車在車速、車身側(cè)傾角和前輪轉(zhuǎn)角變化較大工況下不滿足動力學(xué)模型線性化處理的理想條件時，模型線性化處理對于無人自行車動力學(xué)模型準(zhǔn)確性和自平衡控制器控制效果產(chǎn)生的影響；其二，當(dāng)無人自行車側(cè)向方向上遭受干擾時，自平衡控制器使無人自行車車身恢復(fù)平衡所需的時間較長，往往需要花費(fèi)數(shù)秒鐘，因此需要提高自平衡控制器的響應(yīng)速度，從而縮短車身穩(wěn)定時間；其三，沒有進(jìn)一步研究當(dāng)前輪轉(zhuǎn)角作為自平衡控制器的控制量時，如何實現(xiàn)無人自行車的轉(zhuǎn)向閉環(huán)控制，只是停留在直線行駛和開環(huán)轉(zhuǎn)向階段，當(dāng)無人自行車面臨復(fù)雜路面情況時無法投入使用。

針對上述問題，文中利用動量矩定理法建立了非同軸兩輪機(jī)器人動力學(xué)模型，在車速、車身側(cè)傾角和前輪轉(zhuǎn)角變化較大工況下，基于建立的動力學(xué)模型設(shè)計了一種響應(yīng)快、超調(diào)低和魯棒性較強(qiáng)的RBF(radial basis function，徑向基函數(shù))神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模糊滑模自平衡控制器，利用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)能夠自適應(yīng)逼近非線性函數(shù)特性[15]，對動力學(xué)模型中非線性時變的未知部分進(jìn)行自適應(yīng)逼近，從而避免了由于模型線性化處理方法對動力學(xué)模型準(zhǔn)確性和自平衡控制器控制效果帶來的影響。隨后建立了非同軸兩輪機(jī)器人在大地坐標(biāo)上的運(yùn)動學(xué)方程，在得到的運(yùn)動方程基礎(chǔ)上建立了基于純跟蹤法的軌跡跟蹤控制器，設(shè)計利用非同軸兩輪機(jī)器人車身平衡時車身側(cè)傾角與前輪轉(zhuǎn)角的關(guān)系，將閉環(huán)轉(zhuǎn)向控制中所需的目標(biāo)前輪轉(zhuǎn)角替換為目標(biāo)車身側(cè)傾角，從而將軌跡跟蹤控制器與自平衡控制器結(jié)合起來，實現(xiàn)非同軸兩輪機(jī)器人帶有軌跡跟蹤的轉(zhuǎn)向閉環(huán)控制。

1 非同軸兩輪機(jī)器人動力學(xué)模型

針對非同軸兩輪機(jī)器人這類欠驅(qū)動、非線性系統(tǒng)，文中選擇動量矩定理法建立非同軸兩輪機(jī)器人的動力學(xué)模型。

如圖1和圖2所示，非同軸兩輪機(jī)器人主要由前輪、車體、后輪三部分組成。其中W為整車質(zhì)心位置；P1P2分別為前后輪與地面接觸點(diǎn)；h為質(zhì)心高度；l為軸距；b為質(zhì)心至后軸距離；δ為前輪轉(zhuǎn)角；φ為車身側(cè)傾角；ψ為偏航角；m為整車質(zhì)量；v為車速；J為非同軸兩輪機(jī)器人系統(tǒng)相對于接觸線的轉(zhuǎn)動慣量；Q點(diǎn)為速度瞬心。

圖1 非同軸兩輪機(jī)器人結(jié)構(gòu)示意圖

圖2 非同軸兩輪機(jī)器人俯視示意圖

根據(jù)質(zhì)點(diǎn)系相對于動軸的動量矩定理[16]，質(zhì)點(diǎn)系相對于動軸的動量矩對時間的導(dǎo)數(shù)等于外力系對動軸的主矩與加在質(zhì)心上的牽引慣性力的合力對動軸之矩的矢量和。非同軸兩輪機(jī)器人系統(tǒng)在平面運(yùn)動時的角速度和角加速度分別為：

(1)

(2)

式中,ω為角速度；ε為角加速度。

則質(zhì)心投影點(diǎn)W′繞速度瞬心Q轉(zhuǎn)動的速度為：

(3)

式中,rQW′為質(zhì)心投影點(diǎn)W′至速度瞬心點(diǎn)Q之間的距離；α為非同軸兩輪機(jī)器人俯視示意圖中QW′與QP2間的夾角。

則質(zhì)心投影點(diǎn)W′處的切向加速度αt和法向加速度αn分別為：

(4)

(5)

(5)

又因為非同軸兩輪機(jī)器人所受外力中的前后輪摩擦力在接觸線上不產(chǎn)生力矩作用，只有本身重力產(chǎn)生力矩，由動量矩定理可以得以下方程：

(6)

(7)

為了滿足后文驗證動力學(xué)模型線性化處理方法在車速、車身側(cè)傾角和前輪轉(zhuǎn)角變化較大條件下對模型準(zhǔn)確性和自平衡控制效果影響的需要，所以對得到的動力學(xué)方程中非線性時變的不確定部分進(jìn)行線性化處理。假設(shè)非同軸兩輪機(jī)器人車身側(cè)傾角φ和前輪轉(zhuǎn)角δ均在較小范圍內(nèi)變動，則sinφ≈φ,cosφ=1,sinδ=δ,cosδ=1得線性動力學(xué)方程：

(8)

(9)

式中,

表1 非同軸兩輪機(jī)器人結(jié)構(gòu)參數(shù)

2 非同軸兩輪機(jī)器人運(yùn)動學(xué)模型

如圖3所示，為非同軸兩輪機(jī)器人在大地坐標(biāo)上的運(yùn)動示意圖。其中δ為前輪轉(zhuǎn)角；ψ為偏航角；l為軸距；Q點(diǎn)為速度瞬心；RF,RB分別為速度瞬心至前后輪距離；v為車速。

圖3 非同軸兩輪機(jī)器人運(yùn)動示意圖

假設(shè)單位時間dt內(nèi)，非同軸兩輪機(jī)器人經(jīng)過的距離為ds，偏航角度變化為dψ，則根據(jù)幾何關(guān)系有：

(11)

而RB=l/tanδ,所以由上式可得：

(12)

此外結(jié)合非同軸兩輪機(jī)器人在大地坐標(biāo)系上的速度為(vx,vy)=(vcosψ,vsinψ),得到非同軸兩輪機(jī)器人在大地坐標(biāo)上的運(yùn)動學(xué)方程為：

(13)

3 非同軸兩輪機(jī)器人控制器設(shè)計

圖4 非同軸兩輪機(jī)器人系統(tǒng)整體控制框圖

3.1 自平衡控制器設(shè)計

RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模糊滑?？刂扑枷胧抢肦BF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)逼近特性，對滑?？刂坡芍邪膭恿W(xué)模型中不確定性函數(shù)進(jìn)行逼近，將逼近后得到的新函數(shù)代替原有的不確定性函數(shù)，并結(jié)合模糊控制思想[17]對指數(shù)趨近律中的等速趨近項參數(shù)進(jìn)行模糊控制，以此來削弱系統(tǒng)抖振。

從滑模控制的定義可知[18]，一個滑模控制器的設(shè)計主要包括滑模面函數(shù)和控制律設(shè)計。

3.1.1 滑模面函數(shù)設(shè)計

為了跟蹤軌跡跟蹤控制器傳遞來的期望車身側(cè)傾角，從而實現(xiàn)車身平衡，所以滑模面函數(shù)設(shè)計如下：

(14)

(15)

e=φd-φ

(16)

(17)

(18)

式中,e為跟蹤誤差；φd為期望車身側(cè)傾角；c為模糊滑?？刂扑惴刂茀?shù)。

3.1.2 滑?？刂坡稍O(shè)計

(19)

式中,

則式(15)變?yōu)椋?/p>

(20)

趨近律選擇指數(shù)趨近律：

(21)

式中,n,k為模糊滑模控制算法參數(shù)。

由式(20)～(21)得控制律u為：

(22)

在控制律式(22)中包含的函數(shù)f與非同軸兩輪機(jī)器人質(zhì)心高度h、車速v、軸距l(xiāng)、前輪轉(zhuǎn)角δ和車身側(cè)傾角φ參數(shù)有關(guān)，所以在非同軸兩輪機(jī)器人行駛過程中會發(fā)生改變是非線性時變的不確定性函數(shù)。利用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對其逼近，可以消除其不確定性對自平衡控制產(chǎn)生的影響。

3.1.3 RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)設(shè)計

RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)初始結(jié)構(gòu)取2-5-1，即輸入個數(shù)為2，隱含層神經(jīng)元個數(shù)為5，輸出個數(shù)為1,輸入輸出算法為：

(23)

f(x)=W*Th(x)+ε

(24)

式中,x為網(wǎng)絡(luò)輸入；f(x)為網(wǎng)絡(luò)輸出;i表示網(wǎng)絡(luò)輸入層第i個輸入，j為網(wǎng)絡(luò)隱含層第j個網(wǎng)絡(luò)輸入；h=[hj]T為高斯基函數(shù)的輸出；W*為理想網(wǎng)絡(luò)權(quán)值；ε為網(wǎng)絡(luò)逼近誤差，ε≤εn；cj和bj分別為高斯函數(shù)中心點(diǎn)坐標(biāo)和寬度參數(shù)。

(25)

(26)

由新的控制律式(26)、式(20)和式(24)得：

(27)

其中：

設(shè)計Lyapunov函數(shù)為：

(28)

式中,γ為模糊滑?？刂扑惴▍?shù)，γ>0。

則由式(26)～(28)得：

(29)

取自適應(yīng)律為：

(30)

則式(29)變?yōu)椋?/p>

(31)

3.1.4 模糊規(guī)則設(shè)計

在得到的新控制律式(26)中，由于采用了指數(shù)趨近律，使得系統(tǒng)抖振較大。為了保證系統(tǒng)快速趨近切換面s=0，同時削弱系統(tǒng)抖振，可以對指數(shù)趨近律中的等速趨近項參數(shù)n進(jìn)行模糊控制。根據(jù)專家經(jīng)驗?zāi)：?guī)則應(yīng)該設(shè)計如下：

圖5 輸入量的隸屬度函數(shù)曲線

圖6 輸出量隸屬度函數(shù)曲線

3.2 軌跡跟蹤控制器設(shè)計

針對軌跡跟蹤算法有純跟蹤法[19]、MPC(model predictive control，模型預(yù)測控制)法[20]、LQR[21]法等，本文選擇純跟蹤法作為路徑跟蹤方法。純跟蹤法的基本思想是以車輛后輪作為中心位置，然后根據(jù)預(yù)瞄距離ld在參考軌跡上尋找預(yù)瞄點(diǎn)C，假設(shè)車輛后輪以轉(zhuǎn)彎半徑為R到達(dá)預(yù)瞄點(diǎn)，根據(jù)預(yù)瞄距離ld、轉(zhuǎn)彎半徑R、預(yù)瞄點(diǎn)與中心位置偏角θ就可以確定前輪轉(zhuǎn)角δ，純跟蹤法原理如圖7所示。

圖7 純跟蹤法原理圖

為了使非同軸兩輪機(jī)器人沿者半徑為R的軌跡到達(dá)參考路徑上的預(yù)瞄點(diǎn)C，在ΔOCP2中需滿足以下關(guān)系：

(32)

化簡得到：

(33)

根據(jù)阿克曼轉(zhuǎn)向關(guān)系得到：

(34)

所以從式(33)和式(34)得到：

(35)

從式(35)可以看出純跟蹤法計算得到的是目標(biāo)前輪轉(zhuǎn)角δd，而前文自平衡控制器輸入是目標(biāo)車身側(cè)傾角φd，所以不能直接作為自平衡控制器輸入。而根據(jù)非線性動力學(xué)方程式(8)可以看出，當(dāng)非同軸兩輪機(jī)器人車身平衡后，車身側(cè)傾角φ和前輪轉(zhuǎn)角δ是具有耦合關(guān)系的，根據(jù)耦合關(guān)系可以將目標(biāo)前輪轉(zhuǎn)角δd轉(zhuǎn)換為目標(biāo)車身側(cè)傾角φd，耦合關(guān)系如下：

-gltanφd=v2tanδd

(36)

4 仿真實驗和分析

利用MATLAB/Simulink搭建的非同軸兩輪機(jī)器人仿真系統(tǒng)如圖8所示。

圖8 MATLAB/Simulink仿真系統(tǒng)

圖8中期望軌跡模塊內(nèi)部存放的是期望軌跡的(x,y)坐標(biāo)；其余軌跡跟蹤控制器模塊、自平衡控制器模塊、角度轉(zhuǎn)換模塊、運(yùn)動學(xué)模塊、動力學(xué)模塊的輸入輸出參數(shù)和功能已經(jīng)在第3節(jié)中進(jìn)行了詳細(xì)介紹。

模型準(zhǔn)確性實驗和自平衡實驗步驟如下。

步驟1：只保留自平衡控制器模塊和動力學(xué)模塊，隔離有關(guān)軌跡跟蹤功能模塊，期望車身側(cè)傾角φd設(shè)置為0度，使得非同軸兩輪機(jī)器人僅具有自平衡功能。

步驟2：根據(jù)實驗中所需的工況，按照表2分別配置動力學(xué)模型中初始車身側(cè)傾角φ0、初始前輪轉(zhuǎn)角δ0、車速v。

步驟3：首先對自平衡控制器中RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)參數(shù)bj和cj進(jìn)行訓(xùn)練優(yōu)化，再對模糊滑?？刂扑惴▍?shù)c,k,γ,n進(jìn)行優(yōu)化，保證自平衡控制器具有良好的控制效果。

步驟4：進(jìn)行仿真實驗，獲取所需的實驗數(shù)據(jù)，對實驗數(shù)據(jù)進(jìn)行分析總結(jié)。

軌跡跟蹤實驗步驟如下。

步驟1：導(dǎo)入之前實驗中隔離的有關(guān)軌跡跟蹤功能模塊。

步驟2：根據(jù)軌跡跟蹤實驗所需的工況，按照表2分別配置動力學(xué)模型中初始車身側(cè)傾角φ0、初始前輪轉(zhuǎn)角δ0、車速v。

步驟3：對軌跡跟蹤控制器中的參數(shù)前視距離ld進(jìn)行優(yōu)化，保證軌跡跟蹤控制器具有良好跟蹤能力。

步驟4：進(jìn)行仿真實驗，獲取所需的實驗數(shù)據(jù)，對實驗數(shù)據(jù)進(jìn)行分析總結(jié)。

仿真實驗之前，對前文線性化處理后得到的線性動力學(xué)方程式(9)分別設(shè)計了基于經(jīng)典滑模控制算法的自平衡控制器和基于純跟蹤算法的軌跡跟蹤控制器，與本文對非線性動力學(xué)方程式(8)設(shè)計的RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模糊滑模自平衡控制器和純跟蹤法軌跡跟蹤控制器進(jìn)行對比實驗。實驗中工況類型見表2，自平衡控制器中模糊滑模控制算法參數(shù)優(yōu)化結(jié)果為c=50,k=20,n=10,γ=20。

表2 工況種類

4.1 RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)參數(shù)cj和bj訓(xùn)練優(yōu)化

圖9 均方差與隱含層神經(jīng)元個數(shù)關(guān)系曲線

圖10 訓(xùn)練樣本和測試樣本曲線

圖11 逼近結(jié)果和逼近誤差曲線

從圖9中可以看出，隱含層神經(jīng)元個數(shù)為300個時，此時均方差為0.348 8，當(dāng)隱含層神經(jīng)元個數(shù)繼續(xù)增加1 000個時，均方差僅下降了0.033。由于隱含層神經(jīng)元個數(shù)增加不僅會使得網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)變復(fù)雜，還會增加網(wǎng)絡(luò)逼近所需的時間，所以為了加快RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)逼近速度，同時保證良好的逼近效果，將隱含層神經(jīng)元個數(shù)設(shè)置為300。訓(xùn)練優(yōu)化后的RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)變?yōu)?-300-1，參數(shù)bj=0.65，矩陣cj列大小與隱含層神經(jīng)元個數(shù)有關(guān)變?yōu)?行300列大小的矩陣。從圖11中可以看出，利用訓(xùn)練優(yōu)化好后的RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對測試樣本逼近具有良好的效果，誤差分布在[-1,1]之間。

4.2 模型準(zhǔn)確性實驗分析

為了驗證在面對車速、車身側(cè)傾角和前輪轉(zhuǎn)角變化較大情況下，本文提出的利用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對非線性動力學(xué)模型式(19)中非線性時變不確定函數(shù)f逼近造成的模型誤差，在表2所示3種工況下進(jìn)行模型準(zhǔn)確性實驗，實驗結(jié)果如下所示。其中圖12為兩種處理非線性時變不確定函數(shù)f方法造成的模型誤差曲線；表3為模型誤差實驗數(shù)據(jù)，表中模型誤差收斂時間是指模型誤差曲線進(jìn)入[-1,1]范圍內(nèi)時所需的時間。

圖12 兩種處理方法造成的模型誤差曲線

表3 兩種處理方法的模型誤差實驗數(shù)據(jù)

從圖12中可以看出，在3種工況下非同軸兩輪機(jī)器人車身平衡后兩種處理方法造成的模型誤差都能收斂到0附近，這是因為此時期望車身側(cè)傾角φd和期望前輪轉(zhuǎn)角δd都設(shè)置為0度，即非同軸兩輪機(jī)器人做直線行駛，使得非線性時變不確定函數(shù)f最終值為0。只有當(dāng)期望車身側(cè)傾角φd和期望前輪轉(zhuǎn)角δd都不為0度時，即非同軸兩輪機(jī)器人做連續(xù)轉(zhuǎn)向運(yùn)動，此時模型線性化處理方法不滿足理想條件，造成的模型誤差會以一個非0值一直存在。而RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)利用其逼近特性，造成的模型誤差會盡可能收斂到0。

雖然模型誤差能否收斂到0對自平衡控制器控制效果具有影響，但是影響的主要因素是模型誤差能否在短時間內(nèi)快速、平穩(wěn)的收斂到0。從表3中數(shù)據(jù)可以看出，RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)逼近方法產(chǎn)生的模型最大誤差與模型線性化處理方法產(chǎn)生的模型最大誤差相比：在工況1下，從49.90下降至9.55，減少了40.35；在工況2下，從136.90下降至31.50，減少了105.40；在工況3下，從246.30下降至99.82，減少了146.48。因此在面對車速、車身側(cè)傾角和前輪轉(zhuǎn)角變化較大情況下，RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)逼近方法能夠有效的減小模型最大誤差，從而提高了動力學(xué)模型的準(zhǔn)確性，更有利于后續(xù)的自平衡控制。雖然所需的模型誤差收斂時間相較于模型線性化處理方法雖然增加了0.26 s、0.28 s和0.29 s，但仍處于可接受范圍。

4.3 自平衡實驗分析

圖13 自平衡實驗車身側(cè)傾角響應(yīng)曲線

為了驗證在面對車速、車身側(cè)傾角和前輪轉(zhuǎn)角變化較大情況下，本文設(shè)計的RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模糊滑模自平衡控制器控制效果好壞，在表2所示3種工況下進(jìn)行自平衡實驗，實驗結(jié)果如下所示。其中圖13和圖14分別為實驗過程中車身側(cè)傾角響應(yīng)曲線和前輪轉(zhuǎn)角響應(yīng)曲線，其中車身平衡后車身側(cè)傾角和前輪轉(zhuǎn)角都應(yīng)在0 deg附近；表4為車身側(cè)傾角實驗數(shù)據(jù)，其中車身平衡所需時間是指車身側(cè)傾角曲線收斂到[-1,1]deg范圍內(nèi)所需的時間。

圖14 自平衡實驗前輪轉(zhuǎn)角響應(yīng)曲線

表4 車身側(cè)傾角實驗數(shù)據(jù)

結(jié)合圖13和表4可以看出，RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模糊滑模自平衡控制器與經(jīng)典滑模自平衡控制器相比：在工況1下，車身側(cè)傾角曲線超調(diào)量下降了約3.54 deg，車身平衡時間增加了0.02 s；在工況2下，車身側(cè)傾角曲線超調(diào)量下降了約9.04 deg，車身平衡時間增加了0.09 s；在工況3下，車身側(cè)傾角曲線超調(diào)量下降了約19.19 deg，車身平衡時間增加了0.12 s。該結(jié)果與動力學(xué)模型準(zhǔn)確性有關(guān)：因為RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)處理方法能夠有效的減小模型最大誤差，所以使得車身側(cè)傾角曲線超調(diào)量能夠有效的下降至0 deg附近；又因為RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)處理方法所需的模型誤差收斂時間增加，所以使得車身平衡所需時間也相應(yīng)增加。因此在車速、初始車身側(cè)傾角和初始前輪轉(zhuǎn)角快速增大情況下，RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模糊滑模自平衡控制器與經(jīng)典滑模自平衡控制器相比，具有更低的超調(diào)量和更好的魯棒性，雖然車身平衡所需時間增加了，但是也遠(yuǎn)低于文獻(xiàn)[8-12]中的自平衡控制器。

此外從圖15中還可以看出在3種工況下,經(jīng)典滑模自平衡控制器的前輪轉(zhuǎn)角波動幅度為[-59.5,76.8]deg，RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模糊滑模自平衡控制器的前輪轉(zhuǎn)角波動幅度為[-22.5,49.6]deg，明顯小于經(jīng)典滑模自平衡控制器。因此RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)自平衡控制器使車身平衡所需的前輪轉(zhuǎn)角更小，而前輪轉(zhuǎn)角作為控制量，所以系統(tǒng)能量消耗也更小。并且實際使用中非同軸兩輪機(jī)器人前輪轉(zhuǎn)角是有限位的，可能無法滿足經(jīng)典滑模自平衡控制器所需前輪轉(zhuǎn)角波動范圍的要求。

4.4 軌跡跟蹤實驗分析

圖15 運(yùn)行軌跡

圖16 跟蹤誤差曲線

圖17 軌跡跟蹤實驗車身側(cè)傾角響應(yīng)曲線

表5 跟蹤誤差實驗數(shù)據(jù)

從圖15～17和表5中可以看出，RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)自平衡控制器憑借車身側(cè)傾角曲線更低的超調(diào)量和更快的收斂速度，能夠快速準(zhǔn)確的跟蹤目標(biāo)軌跡，其中最大跟蹤誤差從3.58 m下降至0.19 m，減小了3.39 m；成功跟蹤時間從28.80 s下降至5.45 s，減小了23.35 s。此外在24 s左右時，兩者的跟蹤誤差曲線發(fā)生波動，是由于非同軸兩輪機(jī)器人行駛到兩個半圓相交處導(dǎo)致目標(biāo)軌跡方向發(fā)生突變，但是RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模糊滑模自平衡控制器的跟蹤誤差曲線波動很快得到抑制。因此利用車身平衡后車身側(cè)傾角與前輪轉(zhuǎn)角耦合關(guān)系，將轉(zhuǎn)向閉環(huán)控制中所需的目標(biāo)前輪轉(zhuǎn)向角替換為目標(biāo)車身側(cè)傾角，使RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模糊滑模自平衡控制器與純跟蹤軌跡跟蹤控制器相結(jié)合，實現(xiàn)帶有軌跡跟蹤的轉(zhuǎn)向閉環(huán)控制是可行的，并且具有良好的軌跡跟蹤效果。

5 結(jié)束語

1)在非同軸兩輪機(jī)器人基于前輪轉(zhuǎn)角的自平衡控制中，即使前輪轉(zhuǎn)角作為控制量用于自平衡控制，也可通過車身平衡時的車身側(cè)傾角與前輪轉(zhuǎn)角之間的耦合關(guān)系，將轉(zhuǎn)向閉環(huán)控制中的目標(biāo)轉(zhuǎn)向角替換成目標(biāo)車身側(cè)傾角，將閉環(huán)轉(zhuǎn)向控制與自平衡控制結(jié)合，從而實現(xiàn)轉(zhuǎn)向閉環(huán)控制。

2)對于動力學(xué)模型中非線性時變的不確定部分使用模型線性化處理方法，在車速、前輪轉(zhuǎn)角和車身側(cè)傾角變化較大的情況下會產(chǎn)生較大的模型誤差。而利用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)逼近非線性動力學(xué)模型中不確定部分的方法，在上述情況下可以很好的抑制產(chǎn)生的模型誤差，使3種工況下的模型最大誤差分別下降了40.73、135.14和137.74。

3)模型準(zhǔn)確性對于自平衡控制會產(chǎn)生較大影響，并進(jìn)一步影響到軌跡跟蹤控制。主要原因是模型誤差曲線超調(diào)量和收斂時間增大，會導(dǎo)致自平衡控制中車身側(cè)傾角曲線的超調(diào)量和車身穩(wěn)定所需時間增加，使得自平衡控制效果變差。而自平衡控制效果會影響到軌跡跟蹤控制效果，其中車身側(cè)傾角曲線超調(diào)量和車身穩(wěn)定所需時間增加，使得最大跟蹤誤差和成功跟蹤目標(biāo)軌跡所需時間增大。所以本文設(shè)計的自平衡控制器和軌跡跟蹤控制器，憑借較高的模型準(zhǔn)確性，具有超調(diào)量低、魯棒性強(qiáng)和響應(yīng)快的優(yōu)點(diǎn)。