基于蒙特卡洛方法的火箭殘骸落點范圍預(yù)測

張 驍，劉丙杰

(海軍潛艇學(xué)院，山東 青島 266199)

0 引言

火箭的各級發(fā)動機在發(fā)射任務(wù)的預(yù)定位置會與主體分離，作為殘骸拋落至地面，如果不采取適當(dāng)?shù)陌踩侄危瑒t可能對地面人員和財產(chǎn)產(chǎn)生較大的威脅?，F(xiàn)已有研究人員對如何準確建立火箭殘骸的軌跡方程并實現(xiàn)落點預(yù)測進行了論述，如文獻[1-5]中的方法。

然而上述模型均不同程度存在建模過程過于理想化的問題，均未能充分體現(xiàn)火箭自身的各種誤差、分離力、高空風(fēng)和殘骸不定狀態(tài)等因素的影響，這也是該類模型無法進一步精確的原因所在。上述方法的結(jié)果均為殘骸落點位置的預(yù)測值，但在實際發(fā)射任務(wù)中受各種不可控因素的影響，落點往往會在一定范圍內(nèi)波動。因此必須對這個波動的范圍進行確定才能使任務(wù)單位在安全保障和殘骸搜索中確定具體的區(qū)域。

從實際條件出發(fā)，能夠?qū)λ◤椀滥Ｐ彤a(chǎn)生影響的因素多種多樣，其作用過程交叉重疊，具有極為明顯的多維性和復(fù)雜性，已經(jīng)超過一般解析法所能解決的范圍，因此蒙特卡洛方法在此處的使用是有必要的。

本研究將以文獻[6]中成型的殘骸落點計算模型為基礎(chǔ)，首先分析對落點計算結(jié)果可能造成影響的各因素進行分析，確定其影響方式和概率分布，然后利用蒙特卡洛方法進行模擬，進而得到包含倍標準差的落點范圍，盡可能的將殘骸影響范圍概括在內(nèi)，使模型更加具有實際使用的準確性和覆蓋性。

1 蒙特卡洛方法

1.1 蒙特卡洛方法基本介紹

法國數(shù)學(xué)家Buffon于18世紀首次提出使用隨機投針的方式來估算圓周率，雖然受限于當(dāng)時的實驗條件，其結(jié)果精度并不高，但卻充分體現(xiàn)了蒙特卡洛方法的思想。進入20世紀中后期隨著計算機的進步和核物理領(lǐng)域?qū)﹄S機實驗需求的增長，蒙特卡洛方法得到了充分發(fā)展，目前已廣泛運用到了不確定性分析、粒子輸運、數(shù)理統(tǒng)計、可靠性分析、經(jīng)濟學(xué)、稀薄氣體動力學(xué)等領(lǐng)域。

使用解析方法或數(shù)值方法可以有效的、確定的解決各種問題，但在實際應(yīng)用領(lǐng)域中的各種條件與關(guān)系往往十分復(fù)雜，數(shù)學(xué)模型只能在其大體正確的方向上進行充分簡化才有可能求解，而這樣的結(jié)果卻可能與實際情況已相去甚遠。而蒙特卡洛方法卻能夠在條件關(guān)系相對復(fù)雜或高維性突出的情況下對復(fù)雜系統(tǒng)直接進行模擬，決定了其具有強大的發(fā)展生命力。隨著計算能力和算法的發(fā)展，隨機數(shù)的產(chǎn)生和隨機抽樣方法已經(jīng)得以可靠解決，在基本蒙特卡洛方法的基礎(chǔ)上，馬爾科夫鏈蒙特卡洛方法、擬蒙塔卡洛方法、序貫蒙塔卡洛方法等方法得到了廣泛應(yīng)用[7]。

同時，蒙特卡洛方法又被比喻為“最后的方法”，意為在能夠使用解析方法或數(shù)值方法時盡量不要使用蒙特卡洛方法，也意為在其他方法都不能解決問題的情況下，也一定能通過蒙特卡洛方法進行模擬，它是解決問題的最后的方法。

1.2 直接模擬方法簡介

直接模擬法是指基于蒙特卡洛方法最基本的概率模型的方法，不使用任何的技巧來降低統(tǒng)計量的方差，也不需要任何的技巧來加速收斂。這樣的方法雖然在效率和精度上受一定的限制，但由于方法直觀，每次模擬的計算量需求較小，因此仍是不能被忽視的重要基本方法。

根據(jù)蒙特卡洛方法的定義，直接模擬法在進行每次模擬時，均從隨機變量X的概率分布f(x)中隨機抽取樣本值Xi，根據(jù)統(tǒng)計量與隨機變量的函數(shù)關(guān)系得到h(Xi)，在進行n次模擬之后，可得到統(tǒng)計量的估計值為：

(1)

根據(jù)蒙特卡洛方法的基本框架，將方法步驟總結(jié)為以下4步[7-8]：

1)建立概率模型。通過對實際問題或復(fù)雜系統(tǒng)的詳細研究，找到影響統(tǒng)計量的一個或多種隨機因素，并使用一定的概率模型來描述隨機因素本身。

2)建立樣本空間。采用隨機抽樣的方法從概率模型所涵蓋的所有樣本中抽取出足夠數(shù)量且具有代表性的樣本空間。具有多種隨機因素時，需確保各隨機因素之間的獨立性，包括概率模型的獨立性和抽樣方法的獨立性。

3)確定和選取統(tǒng)計量。在確定統(tǒng)計量與各隨機因素之間的函數(shù)關(guān)系后，將各樣本空間值隨機對應(yīng)后分別代入函數(shù)關(guān)系進行反復(fù)模擬，得到統(tǒng)計量的多次取值。

4)統(tǒng)計分析。統(tǒng)計量的平均值即為受多種隨機因素影響的統(tǒng)計量的估計值，統(tǒng)計量的正負三倍均方差±3σ即為99.7%置信區(qū)間。

2 分離點參數(shù)影響分析

根據(jù)文獻[6]中已建立的模型，對殘骸落點計算結(jié)果具有決定性影響的6個數(shù)據(jù)包括分離點在發(fā)射坐標系中的位置x、y、z與速度在發(fā)射坐標系中的3個分量Vx、Vy、Vz?；诟鞣N原因，所獲得的這6個數(shù)據(jù)必然存在一定誤差，這些誤差通過模型中的積分傳導(dǎo)一步步影響到最后落點計算的結(jié)果。本節(jié)將分別通過解析法和蒙特卡洛法對此進行初步分析，為后兩節(jié)中實際問題的解決做好理論和算法鋪墊。

2.1 解析法分析

對應(yīng)分離點6個數(shù)據(jù)存在的誤差，分別使用△x、△y、△z、△Vx、△Vy、△Vz表達。此處可近似將殘骸視為彈頭，因兩者與火箭本體分離后都只存在被動段運動，因此其射程同樣都基本被分離點的6個數(shù)據(jù)所決定。根據(jù)文獻[9]，在彈道學(xué)中，在暫時不考慮地球自轉(zhuǎn)以及其他影響因素的情況下，彈頭落點的縱向誤差△L、橫向誤差△H與分離點6個數(shù)據(jù)之間的關(guān)系可分別使用以下兩個表達式近似

(2)

(3)

由式(2)～(3)可知，分離點數(shù)據(jù)誤差對殘骸落點縱橫誤差影響的大小主要取決于△Vx、△Vz、△y、△z前的誤差系數(shù)的大小。參考某實際發(fā)射任務(wù)中遠程火箭殘骸彈道數(shù)據(jù)，可大概得△L和△H的誤差系數(shù)分別為：

將系數(shù)代入式(3.2)(3.3)后可近似得到:

△L≈700△Vx+210△Vz+15△z+210△y

(4)

△H≈120△Vz+0.02△z

(5)

由此可見，分離點的殘骸速度和位置參數(shù)對落點的影響是十分明顯的，尤其是殘骸速度。如果分離時殘骸在x方向的速度誤差有1 m/s，則傳導(dǎo)至落點附近就會產(chǎn)生約700 m的縱向誤差，如果殘骸在z方向的速度誤差達到1 m/s，則傳導(dǎo)至落點時的橫向誤差就會達到120 m。

2.2 代入法分析

以某次發(fā)射任務(wù)中殘骸的彈道數(shù)據(jù)為例，通過將帶有誤差的分離點數(shù)據(jù)代入模型進行計算的方式，對比驗證2.1中解析法的分析結(jié)果，定量分析分離點6個數(shù)據(jù)的小量變動具體會對落點計算的結(jié)果產(chǎn)生多少影響。

初始分離點數(shù)據(jù)如表1所示，現(xiàn)將6個數(shù)據(jù)增大1 m或1 m/s，代入文獻[6]所建模型后得到六組結(jié)果，制作圖1。

如圖1和表1所示，在分別對分離點六項數(shù)據(jù)增大1 m或1 m/s的情況下，只有在對速度的3個分量增大時才會對殘骸落點結(jié)果產(chǎn)生明顯變化。圖中點1為不加分離點誤差的情況下原落點位置，經(jīng)過黑色*點的線表示發(fā)射方向，即縱向誤差方向。在僅誤差+1時，落點為點2所示位置，可見此時因的單獨增加，幾乎只有縱向誤差增大，橫向誤差僅有微量變化。在僅誤差+1時，落點為點3所示位置，可見此時因的單獨增加，同樣幾乎只有縱向誤差增大，橫向誤差僅有微量變化。在僅誤差+1時，落點為點4所示位置，可見此時因的單獨增加，縱向誤差和橫向誤差均變化明顯。

表1 分離點誤差+1時殘骸落點變化

圖1 分離點誤差+1時殘骸落點示意圖

通過代入法驗證得到的結(jié)果與解析法中分析的情況基本相符，可充分證明分離點參數(shù)對落點計算的結(jié)果是存在明顯影響的，即使是速度分量的細微變化都會對殘骸落點計算的結(jié)果產(chǎn)生幾百上千米的誤差影響，因此在使用蒙特卡洛方法對誤差范圍進行預(yù)測的時候，不能忽略可能對分離點數(shù)據(jù)造成誤差的影響因素。

3 單項因素影響分析

3.1 推進劑影響分析

推進劑作為火箭的能量來源，對火箭的彈道參數(shù)有著決定性的直接影響。

3.1.1 混合比偏差

如圖2所示，推進劑流量和推力是發(fā)動機中的主要內(nèi)容，是影響火箭射程的最主要原因，也是影響殘骸分離點參數(shù)的重要因素之一?；旌媳葮藴势钆c混合比非標準偏差之和即為混合比總偏差，是影響發(fā)動機特性的最主要因素，其中混合比非標準偏差又占據(jù)主要地位[10-11]。

圖2 發(fā)動機特性影響因素

推進劑質(zhì)量混合比是指液體火箭發(fā)動機氧化劑的質(zhì)量流量與燃料的質(zhì)量流量之比。理論上來說，火箭發(fā)動機按照額定混合比進行燃燒后，所有推進劑應(yīng)當(dāng)剛好消耗完畢，但實際上，發(fā)動機在工作結(jié)束后仍會有一定的推進劑剩余，此即混合比偏差。

引起混合比偏差的因素分內(nèi)在和外在，對于外在因素引起的偏差可通過計算來補正，而基于內(nèi)在因素產(chǎn)生的偏差則是隨機的，一般服從正態(tài)分布，往往只能通過實驗來驗證。

推進劑密度偏差、推進劑飽和蒸汽壓偏差和推進劑靜壓差共同構(gòu)成了混合比非標準偏差，同時三者又主要受推進劑發(fā)射溫度偏差的影響。該溫度偏差為外在因素，對發(fā)動機特性偏差起最主要的影響，也即發(fā)動機方面對殘骸分離點參數(shù)影響最大的因素。針對?；嘶鸺齺碚f，推進劑發(fā)射溫度主要受艙室溫度的影響，在目前溫度控制水平下，艇上火箭在發(fā)射前能夠通過空調(diào)保持在穩(wěn)定溫度，因此可忽略由此導(dǎo)致的偏差。

3.1.2 推進劑質(zhì)量偏差

目前某?；鸺钠痫w質(zhì)量中80%左右均為推進劑質(zhì)量，加注質(zhì)量偏差是火箭起飛質(zhì)量偏差的最主要組成部分，將對分離點參數(shù)產(chǎn)生直接影響。一般推進劑加注總質(zhì)量會超過100 t，在保障單位的實際加注過程中，只能通過控制加注體積來控制加注質(zhì)量，由此存在以下幾點原因?qū)е录幼①|(zhì)量偏差：

1)推進劑加注過程中環(huán)境溫度帶來的誤差。加注過程一般在洞庫進行，溫度相對穩(wěn)定，但隨季節(jié)變換仍會有±2 ℃的誤差。

2)容積測量偏差。該誤差包含兩部分，一是加注系統(tǒng)流量計本身的誤差，二是核火箭推進劑參考液位的容積標定存在誤差，兩者作用之下會產(chǎn)生可觀的推進劑加注容積測量誤差。該誤差屬于隨機誤差，符合正態(tài)分布規(guī)律。

3)加注過程引起推進劑升溫。加注設(shè)備運行時間較長，自身發(fā)熱明顯，對推進劑會產(chǎn)生加溫效果。根據(jù)文獻顯示，推進劑經(jīng)管路被加注到儲箱的整個過程中會發(fā)生-1～2.5 ℃的溫度變化，引起推進劑密度變化，從而產(chǎn)生質(zhì)量偏差。

在上述三條因素作用之下，推進劑實際加注質(zhì)量與標準質(zhì)量存在較大誤差，符合正態(tài)分布規(guī)律，其3值約占?；嘶鸺偲痫w重量的0.5%，對分離點參數(shù)可能產(chǎn)生明顯影響。

3.2 動基座誤差影響分析

?；鸺秊楸ＷC自身發(fā)射的成功率和精準度，對發(fā)射時發(fā)射平臺的狀態(tài)是有嚴格要求的，平臺的速度、加速度、偏轉(zhuǎn)角、晃動加速度均要保持在一定范圍內(nèi)，因為初始發(fā)射狀態(tài)對?；鸺哂袠O大影響。同樣的，初始發(fā)射狀態(tài)對本章所關(guān)心的分離點參數(shù)也必然具有較大影響。

這里的?；脚_屬于典型的動基座，其在水中航行時存在的6自由度的運動，其晃動加速度、平移加速度和相對地球運動柯氏加速度對火箭制導(dǎo)裝置的調(diào)平會產(chǎn)生較大影響。在平臺上進行瞄準的難度較大，而對遠程火箭來說瞄準過程中的分級別誤差就可能對最終結(jié)果帶來上萬米的偏差。動基座對瞄準造成的影響主要存在于兩個方面，一是對平臺調(diào)平的影響，二是引入真北基準過程中的誤差[12]。

海基火箭的導(dǎo)航系統(tǒng)無法獲得真北方向，目前只能通過光電瞄準方式將?；脚_自身導(dǎo)航系統(tǒng)的北向基準傳遞給火箭，并以此為火箭的真北基準。這一過程不僅傳遞了平臺自身的導(dǎo)航誤差，還帶來了光電瞄準過程中的新誤差。同時平臺的縱搖和橫搖也影響光電瞄準的精準度[13]。

上述誤差雖然可通過一些方法進行濾波或補償，但必然無法完全消除，在本研究中將對分離點參數(shù)產(chǎn)生一定影響，因此可簡化認為動基座誤差影響最終歸類到分離點參數(shù)誤差中。

3.3 制導(dǎo)系統(tǒng)誤差影響分析

在內(nèi)外各種干擾的影響下，火箭的運動必然會產(chǎn)生偏差，制導(dǎo)系統(tǒng)的作用就是通過修正來消除這些誤差對精度的影響。由于制導(dǎo)系統(tǒng)本身存在誤差且制導(dǎo)方法的不完善，制導(dǎo)系統(tǒng)并不能完全消除由內(nèi)外因素產(chǎn)生的誤差，稱為制導(dǎo)誤差。目前某?；鸺谥鲃佣尾捎脩T性制導(dǎo)方式，在主動段終點的誤差主要來源就是制導(dǎo)系統(tǒng)的誤差。根據(jù)理論可知，制導(dǎo)誤差分為制導(dǎo)方法誤差和制導(dǎo)工具誤差。

火箭所用的制導(dǎo)方法均需對彈道飛行過程中所遇條件和狀況為基準，設(shè)計一定方法來針對性消除這些誤差。而實際飛行條件定然與設(shè)計飛行條件不完全相符，因此既定的制導(dǎo)方法就無法消除這些誤差。隨著制導(dǎo)技術(shù)的發(fā)展和對地球物理的研究，制導(dǎo)方法誤差已經(jīng)削減到了較小的范圍[14]。

以慣性導(dǎo)航為例，制導(dǎo)工具誤差主要包括加速度計、陀螺儀、平臺和計算機等工具的誤差所引起的落點誤差(本研究指分離點誤差)。一般來說在主動段結(jié)束位置的所有誤差中，制導(dǎo)工具誤差占總誤差量在70%左右[15]。

在3.1和3.2中所論述的推進劑影響與動基座誤差均是制導(dǎo)系統(tǒng)工作需要消除的誤差，因此可將三者的總誤差合一代入模型中進行計算。

3.4 分離力影響分析

目前在火箭進行級間、發(fā)動機分離時一般可采用兩種方法，一是采用爆炸分離的方式，二是采用反向噴流的方式。無論哪種方式都可簡單理解為通過分離力的影響斷開飛行器主體與發(fā)動機殘骸之間的連接，產(chǎn)生速度差，進而使兩者之間產(chǎn)生位移差，達到分離的效果。

本模型采用的初始狀態(tài)來源于火箭在分離時刻的運動狀態(tài)與位置，嚴格來說此時采集的數(shù)據(jù)僅代表火箭本體而非發(fā)動機殘骸，因為此時兩者已經(jīng)進行了分離動作，實際已經(jīng)產(chǎn)生了速度差和位移差。為準確預(yù)測殘骸的落點范圍，必須對分離力進行分析，量化其對殘骸速度與位置的具體影響，進而可通過蒙特卡洛方法預(yù)測由分離力所造成的落點范圍變化。

3.4.1 爆炸分離影響分析

火箭一般通過使用分離類火工裝置來實現(xiàn)爆炸分離，該類火工裝置在過程中共起到兩方面作用，一是在分離之前保證前后兩個分離部件能夠可靠的連接并工作；二是在執(zhí)行動作時能夠確保可靠分離且不影響設(shè)備正常運行。分離火工裝置主要有點式和線式兩種，前者包括爆炸螺栓和爆炸螺母等，后者主要包括聚能切割索和分離膨脹管等[16]。

爆炸分離的過程涉及沖擊動力學(xué)領(lǐng)域的多學(xué)科知識，從理論上來量化爆炸分離過程對火箭發(fā)動機殘骸產(chǎn)生的影響是較為困難的，需另行建模。因此較為可行的方法是對此進行實驗來觀察和記錄同等條件下爆炸分離對殘骸的影響。但目前的發(fā)射任務(wù)單位并沒有實際能力對分離過程進行模擬也無法獲得實際任務(wù)中殘骸在分離過程中的受力情況與運動狀態(tài)[17]。

3.4.2 反向噴流影響分析

反向噴流同樣被廣泛運用在航天分離機構(gòu)中，相較爆炸分離方式而言，反向噴流對發(fā)動機殘骸帶來的影響更便于量化，本節(jié)將主要對此進行研究并應(yīng)用到模型中代表分離力的影響。

反向噴流裝置動作前，分離機構(gòu)依靠鎖扣或銷釘將火箭主體和發(fā)動機連在一起，裝置動作時，分離機構(gòu)接受控制系統(tǒng)的命令點燃分離電爆管，該電爆管的爆炸力較小，僅用于將鎖扣或者銷釘打開，同時高溫高壓的燃氣將進入發(fā)動機頭部的反推噴管，產(chǎn)生反向推動力，促使火箭主體與發(fā)動機分離[18]。

根據(jù)工業(yè)部門資料顯示，某型采用反向噴流裝置的發(fā)動機自身質(zhì)量m約為1 600 kg，反向噴流作用時長約0.3±0.05秒，期間平均作用力約4 000 N，該力的方向與發(fā)動機運動方向相反，根據(jù)動量定理有公式：

(6)

(7)

根據(jù)分離時刻彈道傾角和偏向角的大小，可將該速度差換算至速度坐標系中，即可將分離力對殘骸落點的影響轉(zhuǎn)換為分離點參數(shù)誤差的影響進行計算。

3.5 高空風(fēng)影響分析

在航天發(fā)射所關(guān)注的氣象學(xué)問題中，將風(fēng)分為淺層風(fēng)和高空風(fēng)。淺層風(fēng)變化劇烈，對初期發(fā)射時的姿態(tài)控制有較大影響，甚至在條件惡劣時會造成無法完成發(fā)射任務(wù)，為此，需統(tǒng)計歷年的測量資料，對淺層風(fēng)的運行規(guī)律和陣風(fēng)特征進行掌握。高空風(fēng)一般關(guān)注的是位于淺層風(fēng)以上至30 km高度之間的大氣運動，會對彈道火箭的運行安全和精度產(chǎn)生重要影響，一般重點關(guān)注其水平運動狀態(tài)，其風(fēng)向以正北為0°，沿順時針方向增大。

發(fā)動機殘骸因自身比值較大，更容易受到風(fēng)力影響，低空風(fēng)因為涉及范圍較小，在殘骸不帶有緩降措施的時候幾乎可以忽略不計，而高空風(fēng)因為涉及高度范圍廣、風(fēng)力大，因此應(yīng)當(dāng)使用一定方法將其計算在內(nèi)。

高空風(fēng)因距離地面較遠，只受地轉(zhuǎn)偏向力的作用，因此風(fēng)向最終是與等壓線平行的，其運行存在一定規(guī)律，但要想準確探測卻也并不容易。通常需要使用儀器觀測飛升氣球在一定時間內(nèi)的運動與軌跡來推算高層大氣的平均風(fēng)向和風(fēng)速，還可使用雷達、導(dǎo)航、衛(wèi)星等測風(fēng)方式。但任務(wù)部隊的實際測控能力往往有限，甚至在海上機動時連淺層風(fēng)和海況都無法得知，因此只能根據(jù)一般性規(guī)律對高空風(fēng)的影響進行一定量化[19-20]。

殘骸分離后已經(jīng)位于空氣極為稀薄的高空，再入30 km大氣后才再次受到高空風(fēng)的影響，正如第二章對殘骸彈道的分析，在此過程中殘骸速度驟減，其在稠密大氣層中的實際飛行距離較短，即可采用目標地的高空風(fēng)狀況進行近似計算。文獻[21]對高度在100 km以下風(fēng)場進行了研究，這里使用文獻中給出的某中緯度地區(qū)高空風(fēng)測量值進行計算，如表2所示。

根據(jù)表2可知，目標地區(qū)的高空風(fēng)風(fēng)速VF與風(fēng)向FX均呈現(xiàn)一定規(guī)律，考慮30 km以上時空氣極為稀薄，因此在H小于30 km的位置建立VF、FX與高度H的映像關(guān)系：

H→VF

(8)

H→FX

(9)

表2 某中緯度地區(qū)某時不同高度風(fēng)向和風(fēng)速表

實際上高空風(fēng)與高速運動中的殘骸的相互關(guān)系是較為復(fù)雜的，這里進行一定的簡化，通過其風(fēng)向和風(fēng)速直接計算高空風(fēng)作用在殘骸之上的力，然后將這個力分解到發(fā)射坐標系中，在每一步積分計算加速度的時候?qū)⑦@個力代入。同時為不失一般性，假設(shè)風(fēng)向為隨機，平均分布在0°至360°之間，風(fēng)力仍按照式(8)進行表示，并假設(shè)存在±10%的測量誤差，誤差符合正太分布。

考慮到此處風(fēng)向?qū)嶋H為殘骸所在位置的風(fēng)向，其正北方向與發(fā)射坐標系、速度坐標系等均無法一一對應(yīng)，因此需要找到合適的方法將高空風(fēng)帶來的阻力轉(zhuǎn)換到發(fā)射坐標系中。

可以殘骸所在位置為原點，地理正北為x軸正方向，垂直于地面過原點向上為y軸正方向，z軸與x軸和y軸成右手螺旋關(guān)系建立高空風(fēng)坐標系xFyFzF。因殘骸處于運動之中，該方法建立的坐標系的地理正北即x軸方向也處于隨時變化之中，因此需要在每個積分周期中都重新建立新的坐標系。在該坐標系中計算高空風(fēng)阻力后，使用坐標轉(zhuǎn)換的方法依次換至地心直角坐標系、發(fā)射坐標系，然后可代入發(fā)射坐標系中計算考慮高空風(fēng)之后的殘骸加速度并積分得到彈道和落點信息。

排除其他因素干擾，僅將高空風(fēng)影響代入模型，使用蒙特卡洛方法反復(fù)計算1 000次，得到圖3和圖4。

圖3 考慮高空風(fēng)影響的蒙特卡洛方法落點預(yù)測結(jié)

圖4 隨機風(fēng)向的數(shù)值分布

圖3中三角標記表示不考慮高空風(fēng)影響時對文獻[6]中例4的落點計算位置，黑色星號為考慮高空風(fēng)影響后的1 000次落點計算結(jié)果。圖4為隨機風(fēng)向的數(shù)值分布，表示所用風(fēng)向具有較好的隨機特性，能夠均勻分布在0～360度之間。可見在考慮高空風(fēng)后會在殘骸彈道的縱向和橫向均產(chǎn)生約200～300 m的概率落點范圍，但與直觀猜想結(jié)果明顯不同的是落點范圍并不是圍繞在理想落點周圍均勻分布，而是明顯偏向一側(cè)。

從射程變化上來看，相對理想落點射程增加的點與射程減少的點基本等量，說明在考慮高空風(fēng)后確實對殘骸射程產(chǎn)生了影響，但因風(fēng)速基本固定，所以蒙特卡洛方法所示落點范圍并未圍繞理想落點。

從對殘骸落地時間的預(yù)測上來看，原理想預(yù)測數(shù)值為630秒，添加高空風(fēng)影響后的時間預(yù)測數(shù)值為733秒，實際真實數(shù)值為736秒，說明在添加高空風(fēng)影響后更加接近實際殘骸的運動狀態(tài)。殘骸在進入大氣層30 km范圍內(nèi)后，受高空風(fēng)影響導(dǎo)致速度變化更加劇烈，明顯延長了殘骸實際飛行時間。

3.6 殘骸不定狀態(tài)影響分析

殘骸的不定狀態(tài)主要指兩個方面，一是殘骸在分離時刻就可能存在剩余燃料，造成質(zhì)量上的不確定；二是殘骸再入大氣層后受到強烈空氣阻力的影響，可能發(fā)生質(zhì)量和表面積上的較大變化。前者的誤差數(shù)值較小，概率分布基本為正態(tài)分布，作用于殘骸運動的全程。后者的數(shù)值波動范圍可能很大，概率分布與殘骸本身的材料和結(jié)構(gòu)密切相關(guān)，難以通過簡單分析得知，這里只做一定假設(shè)。

理想狀態(tài)下殘骸在分離時刻的質(zhì)量為1 673.97 kg，有效參考面積為3.141 6 m2，假設(shè)分離時刻燃料剩余質(zhì)量均值為100 kg，均方差為30 kg。假設(shè)進入大氣(一般解體高度在60 km至80 km)后殘骸出現(xiàn)解體，造成質(zhì)量和有效面積的變化，主殘骸的平均剩余質(zhì)量80%，均方差為10%，平均剩余有效面積90%，均方差為9%。以此建立殘骸不定狀態(tài)蒙特卡洛矩陣，排除其他情況的干擾，代入模型后運用蒙特卡洛方法進行100次預(yù)測，結(jié)果如圖5所示。

圖5 殘骸不定狀態(tài)蒙特卡洛預(yù)測結(jié)果

設(shè)置如上條件后，在不增加其他干擾因素的情況下，殘骸本身質(zhì)量與面積的改變對落點范圍的影響僅限于殘骸彈道的縱向，以理想落點為中心，達到約±3公里的范圍。

3.7 小結(jié)

本節(jié)共對6種可能影響理想殘骸彈道的因素進行了分析和模型驗證。

3.1～3.3中推進劑、動基座和制導(dǎo)系統(tǒng)誤差均直接影響殘骸與火箭本體分離時的運動參數(shù)情況，可統(tǒng)一衡量后合并進行處理。如果在進行預(yù)測時使用的是基于理想彈道的標準分離點參數(shù)，在代入模型之前就應(yīng)當(dāng)考慮這三者對殘骸的影響，如果是基于實測的殘骸分離點參數(shù)，則不需考慮這三者的影響，可直接將參數(shù)代入進行計算。

3.4中分離力在進行計算的時候采用的方法仍然是調(diào)整分離點參數(shù)，但它的影響并不是直接改變了火箭達到分離點時的運動速度和位置，而是體現(xiàn)在分離動作過程中對殘骸的作用上。分離力的影響在基于標準分離點參數(shù)和基于實測分離點參數(shù)的蒙特卡洛落點范圍預(yù)測中都應(yīng)當(dāng)考慮。

3.5和3.6中高空風(fēng)與殘骸不定狀態(tài)對落點的影響相對獨立，不與其他因素相關(guān)，也不影響分離點參數(shù)，可按照上文中方法單獨計算其影響也可與其他因素結(jié)合進行預(yù)測。無論是基于標準分離點參數(shù)還是基于實測分離點參數(shù)，這兩種影響因素均需考慮在內(nèi)。圖6為僅考慮高空風(fēng)和殘骸不定狀態(tài)時的落點范圍。

圖6 考慮高空風(fēng)和殘骸不定狀態(tài)的蒙特卡洛落點范圍預(yù)測

4 綜合因素影響分析及驗證

4.1 基于實測分離點參數(shù)的蒙特卡洛落點范圍預(yù)測

如果具備對火箭與發(fā)動機殘骸分離點進行實時觀測和定位的能力，并且進行落點范圍預(yù)測的目的是便于發(fā)射后對殘骸進行搜尋，則可以采用基于實測分離點參數(shù)的蒙特卡洛落點范圍預(yù)測。

該方法不需考慮分離前各因素對落點的影響，即不需要考慮動基座、推進劑和制導(dǎo)系統(tǒng)對分離點參數(shù)的影響。除了高空風(fēng)和殘骸不定狀態(tài)之外，只需要將分離力的影響轉(zhuǎn)換至分離點參數(shù)中即可。

根據(jù)3.3中對各單項因素的分析和驗證，分離力對殘骸速度造成的影響為-0. 75±0.125 m/s，換算至例4中Vx和Vy的值為-0.671±0.112 m/s，和-0.334±0.055 8 m/s。代入模型中，并與高空風(fēng)和殘骸不定狀態(tài)一同計算得圖7。

圖7 基于實測分離點參數(shù)的蒙特卡洛落點范圍預(yù)測一

圖7所示結(jié)果與圖6的結(jié)果在橫縱分布和經(jīng)緯度上均極為相似，主要因為計算所得的分離力影響比較微弱，如果加強分離力的影響，改為Vx和Vy的值為-1.671±0.312 m/s，和-1.334±0.355 8 m/s，則的到結(jié)果如圖8。

圖8 基于實測分離點參數(shù)的蒙特卡洛落點范圍預(yù)測二

圖8與圖7的結(jié)果相比，兩者在橫縱分布的跨度上基本相同，但射程因調(diào)整提高了分離力的影響而明顯縮短了約1.3 km。

4.2 基于標準分離點參數(shù)的蒙特卡洛落點范圍預(yù)測

如果不具備對發(fā)射后火箭飛行情況的實時掌握能力，或者進行落點范圍預(yù)測的目的主要為發(fā)射前掌握殘骸落點范圍，可采用基于標準分離點的蒙特卡洛落點范圍預(yù)測方式。

該方法需考慮3.3中所有因素的影響。假定推進劑、動基座和制導(dǎo)系統(tǒng)誤差對分離點位置參數(shù)的總影響被控制在正負萬分之一的范圍內(nèi)，對Vx和Vy的影響在正負千分之一范圍內(nèi)，對Vz的影響在正負十分之一范圍內(nèi)，代入模型得圖9。

圖9 基于標準分離點參數(shù)的蒙特卡洛落點范圍預(yù)測結(jié)果

4.3 驗證

在任務(wù)單位歷年的發(fā)射演練中，射向和目標點各不相同，其中與前述所用實例同等條件的共13次，因此將利用這些數(shù)據(jù)對模型進行驗證。

表3 實測落點經(jīng)、緯度

4.3.1 驗證方法

本研究的主要目的是通過使用蒙特卡洛方法在已有落點計算模型的基礎(chǔ)上得到可能的落點范圍。驗證該方法是否合理需要將預(yù)測得到的200次落點與實測的13次落點在范圍和密度上進行對比。然而實測數(shù)值過少，雖然均位于預(yù)測范圍之內(nèi)，但難以直觀證明。

可采用統(tǒng)計學(xué)中兩獨立樣本檢驗的方法，將預(yù)測值與實測值視為兩個獨立樣本，通過分析均數(shù)、中位數(shù)、離散趨勢和偏度等描述性統(tǒng)計量來檢驗兩者是否來自于同一個總體。根據(jù)數(shù)據(jù)特點，本文決定借助spss統(tǒng)計分析軟件，采用Mann-Whitney U檢驗法和Kolmogorov-Smirnov Z雙樣本檢驗法。

這兩種方法均會得到一個概率P值，表示兩樣本之間的差異有多大概率是由抽樣中的偶然造成的。一般來說只有在P值小于0.05的時候才能夠表明待測兩樣本之間存在明顯差異。

4.3.2 驗證結(jié)果

在spss中創(chuàng)建變量“經(jīng)度”、“緯度”和“分類”，其中預(yù)測經(jīng)度和實測經(jīng)度均放置于“經(jīng)度”下，分別在“分類”中使用1和2代表，緯度數(shù)據(jù)進行同樣操作。零假設(shè)為預(yù)測樣本與實測樣本之間無明顯差異，然后進行兩獨立樣本檢驗，結(jié)果如表4和表5所示。

表4 檢驗統(tǒng)計量a

表5 檢驗統(tǒng)計量b

如檢驗結(jié)果所示，使用Mann-Whitney U檢驗法時，預(yù)測經(jīng)度樣本與實測經(jīng)度樣本之間的漸進顯著性為0.636，明顯大于0.05，應(yīng)當(dāng)支持零假設(shè)，即預(yù)測經(jīng)度樣本與實測經(jīng)度樣本之間無明顯差異。同樣，預(yù)測緯度樣本與實測緯度樣本之間的漸進顯著性為0.531，表明兩者之間無明顯差異。在使用Kolmogorov-Smirnov Z雙樣本檢驗法時漸進顯著性分別為0.693、0.634，同樣應(yīng)當(dāng)支持零假設(shè)。

根據(jù)檢驗結(jié)果可知，預(yù)測樣本與實測樣本之間具有良好的一致性，可以認為是同一總體的抽樣。因此使用本文方法得到的火箭殘骸落點范圍預(yù)測結(jié)果能夠有效體現(xiàn)實際情況。

至此，可認為在文獻[6]的基礎(chǔ)上已成功建立基于蒙特卡洛方法的落點范圍預(yù)測模型，可用于解決相關(guān)任務(wù)單位在演習(xí)或者實際發(fā)射中遇到的問題。

5 結(jié)束語

本研究是在已建立的落點預(yù)測模型基礎(chǔ)上，使用蒙特卡洛方法對火箭殘骸的可能落點范圍進行了預(yù)測。主要工作體現(xiàn)在對6種影響因素的逐個分析與綜合運用上，使模型進一步具有了更加可靠、全面的實際運用能力。

該落點范圍預(yù)測模型還存在一點突出性問題，即單項因素影響分析中對實際情況的假設(shè)過于簡化，或者只進行了定性分析而沒有實際的概率分布模型。這一問題的主要原因是研究人員與任務(wù)單位、研發(fā)機構(gòu)之間的共同溝通和任務(wù)實踐不足造成的，可在模型實際推動運用后獲得足夠數(shù)據(jù)的情況下對模型的重要參數(shù)進行補充。