研究生“最優(yōu)控制”課程教學(xué)案例建設(shè)研究

梁衛(wèi)征 張瑞成 王曉爽 李鵬飛 孫偉良

華北理工大學(xué)電氣工程學(xué)院 河北唐山 063210

最優(yōu)控制理論主要研究使控制系統(tǒng)的性能指標(biāo)實(shí)現(xiàn)最優(yōu)化的基本條件和綜合方法。其基本原理主要是貝爾曼(R.Richard Bellman)提出的動(dòng)態(tài)規(guī)劃和龐特里亞金等人提出的極小值原理，它是現(xiàn)代控制理論的重要組成部分，也是控制科學(xué)與工程學(xué)科碩士研究生的一門必修課程，該課程理論性強(qiáng)、綜合程度較高，學(xué)生學(xué)習(xí)的難度較大。目前，在大多數(shù)的高校中，對(duì)這門課程的講授仍以課堂教學(xué)為主和課下作業(yè)為輔的教學(xué)方式，學(xué)生學(xué)習(xí)興趣差，學(xué)習(xí)效果不好。因此，選擇合適的教學(xué)方法和手段是教師面臨的主要任務(wù)。

楊自軍指出高質(zhì)量的教學(xué)案例建設(shè)是案例教學(xué)質(zhì)量的保障，科學(xué)運(yùn)用教學(xué)案例是提升案例教學(xué)效果的關(guān)鍵[1]。張西文等針對(duì)“巖土工程數(shù)值分析”課程精選了10個(gè)巖土工程典型工程問題，并進(jìn)行教學(xué)案例庫建設(shè)[2]。譚中標(biāo)等針對(duì)“現(xiàn)代生物技術(shù)”課程，建設(shè)了包括理論綜合、思維訓(xùn)練、實(shí)踐操作等類型的教學(xué)案例，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣[3]。劉同海等圍繞“農(nóng)業(yè)物聯(lián)網(wǎng)技術(shù)”課程教學(xué)目標(biāo)和內(nèi)容，開發(fā)了課堂理論教學(xué)+網(wǎng)絡(luò)在線演示+現(xiàn)場(chǎng)操作等分階段、多層次、重應(yīng)用、動(dòng)手操作的教學(xué)新模式[4]。高斌等為提高食品專業(yè)碩士學(xué)位研究生的食品安全事件的分析回應(yīng)能力，以食品安全經(jīng)典案例為切點(diǎn)，將案例教學(xué)法融入“食品安全案例”課程中[5]。

綜上可知，為了激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提升教學(xué)效果，很多研究生課程都開發(fā)了教學(xué)案例，而最優(yōu)控制的教學(xué)案例還比較少見。為此，根據(jù)課程教學(xué)目標(biāo)與工程應(yīng)用，開發(fā)了基于Matlab/Simulink的仿真教學(xué)案例。從控制原理、對(duì)象模型、仿真程序和仿真結(jié)果幾方面入手，重點(diǎn)針對(duì)經(jīng)典變分法、極小值原理、線性二次型控制等開發(fā)教學(xué)案例，構(gòu)建了理論教學(xué)、仿真演示、實(shí)踐操作的教學(xué)模式。

一、“最優(yōu)控制”課程的體系結(jié)構(gòu)

“最優(yōu)控制”是控制科學(xué)與工程相關(guān)學(xué)科碩士研究生的一門學(xué)位課程。課程內(nèi)容主要包含最優(yōu)控制的變分法、極小值原理及其應(yīng)用、動(dòng)態(tài)規(guī)劃、二次型目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)控制問題等。其中經(jīng)典變分法、極小值原理和動(dòng)態(tài)規(guī)劃是“最優(yōu)控制”課程的三大基石[6]。

經(jīng)典變分法是研究對(duì)泛函求極值的一種數(shù)學(xué)方法，僅適用于控制變量的取值范圍不受限制的情況。

極小值原理是基于分析力學(xué)中哈密頓方法的推廣，它可用于控制變量受限制的情況，能給出所求問題中最優(yōu)控制所滿足的條件。它既適用于連續(xù)系統(tǒng)，也適用于離散系統(tǒng)求解。

動(dòng)態(tài)規(guī)劃是數(shù)學(xué)規(guī)劃方法之一，同樣適用于控制變量受限制的情況。它既適用于連續(xù)系統(tǒng)，也適用于離散系統(tǒng)求解，而且是非常適合于在計(jì)算機(jī)上進(jìn)行計(jì)算的有效方法之一。

二、“最優(yōu)控制”課程教學(xué)案例構(gòu)建

(一)基本思路

根據(jù)“最優(yōu)控制”課程的體系結(jié)構(gòu)，結(jié)合科學(xué)研究將工程應(yīng)用引入進(jìn)來，重點(diǎn)開發(fā)經(jīng)典變分法、極小值原理、狀態(tài)調(diào)節(jié)器和跟蹤問題幾個(gè)典型的教學(xué)案例。下面對(duì)幾個(gè)典型案例所研究的對(duì)象數(shù)學(xué)模型進(jìn)行簡(jiǎn)單概述，其控制的基本原理參見文獻(xiàn)[6]，仿真程序和結(jié)果將在下一小節(jié)論述。

(二)教學(xué)案例構(gòu)建

1.經(jīng)典變分法教學(xué)案例

設(shè)一艘輪船駛經(jīng)一水流區(qū)域。水流方向?yàn)橐阎奈恢煤瘮?shù)：

(1)

式中x和y為直角坐標(biāo)；p和q分別是水流在x和y方向的速度分量；V是輪船相對(duì)水的速度，為一常數(shù)。試問怎樣駕駛輪船，使船以最短時(shí)間從起點(diǎn)(0，0)駛至終點(diǎn)(10，20)？

輪船運(yùn)動(dòng)微分方程可寫為

(2)

式中u為輪機(jī)駕駛方向與x軸之間的航向角，為控制變量，其值不受約束。

性能指標(biāo)取為：

(3)

輪船相對(duì)水的速度V取為3m/s。

2.極小值原理教學(xué)案例

以集裝箱起重機(jī)的水平行走軌道為橫坐標(biāo)，與軌道垂直的方向?yàn)榭v坐標(biāo)。設(shè)初始位置為(9.5，0)，終點(diǎn)為(0，0)，動(dòng)力加速度|u(t)|≤0.75，阻力加速為0.1，若運(yùn)行速度達(dá)到最大限制速度2m/s時(shí)，貨物以最大運(yùn)行速度進(jìn)行勻速運(yùn)動(dòng)，然后再進(jìn)行減速。

則起升機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)微分方程為[7]：

(4)

性能指標(biāo)為：

(5)

3.狀態(tài)調(diào)節(jié)器教學(xué)案例

二階倒立擺結(jié)構(gòu)如圖1所示，s為小車偏離平衡位置的位移，l1為下擺質(zhì)心到軸心的距離，l2為上擺質(zhì)心到軸心的距離，θ1為下擺角，θ2為上擺角。

圖1 二階倒立擺系統(tǒng)

令:

x=[x1x2x3x4x5x6]T

則系統(tǒng)的狀態(tài)方程為:

(6)

(7)

4.跟蹤問題教學(xué)案例

軋機(jī)主傳動(dòng)系統(tǒng)力學(xué)模型可以等效為圖2所示的兩慣性質(zhì)量—彈簧系統(tǒng)：其中Jm、JL分別為電機(jī)和負(fù)載端的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，Tm、TL、Tsh分別為電機(jī)力矩、負(fù)載阻力矩和彈性軸扭轉(zhuǎn)力矩，Ksh為彈性軸剛度系數(shù)，ωm、ωL為電機(jī)和負(fù)載的角速度。

圖2 軋機(jī)主傳動(dòng)系統(tǒng)模型圖

(8)

(9)

性能指標(biāo)取為：

(10)

其中:

Jm=1552kg·m2，JL=1542kg·m2，

Ksh=5.93×106N·m·rad-1，Q=1，R=1

三、“最優(yōu)控制”課程教學(xué)案例開發(fā)與實(shí)例

基于Matlab軟件平臺(tái)，將上述工程應(yīng)用開發(fā)為“最優(yōu)控制”課程典型教學(xué)案例，主界面如圖3所示，點(diǎn)擊啟動(dòng)按鈕進(jìn)入教學(xué)案例仿真界面。每個(gè)案例包括模型建立、控制原理展示、程序編制和仿真結(jié)果展示幾部分。下面以軋機(jī)主傳動(dòng)速度跟蹤系統(tǒng)為例，介紹其基本運(yùn)行過程。

圖3 系統(tǒng)運(yùn)行主界面

圖4為跟蹤問題控制的基本原理，圖5為跟蹤控制問題的Matlab仿真程序，圖6為給定跟蹤速度為27.3rad/s控制效果。

圖4 跟蹤問題控制原理

圖5 Matlab仿真程序

圖6 系統(tǒng)運(yùn)行仿真曲線

結(jié)語

針對(duì)經(jīng)典變分法、極小值原理、狀態(tài)調(diào)節(jié)器和跟蹤問題，結(jié)合工程實(shí)際并利用Matlab開發(fā)了“最優(yōu)控制”課程教學(xué)案例，使學(xué)生對(duì)最優(yōu)控制的幾種典型方法從控制原理、對(duì)象模型、仿真程序和仿真結(jié)果等幾方面都能夠進(jìn)行深入了解，將理論與實(shí)際更好地進(jìn)行了結(jié)合，提高了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、分析問題和解決問題的能力，增加了教學(xué)過程的交互性、啟發(fā)性與創(chuàng)新性。