多約束超螺旋滑模變結(jié)構(gòu)制導(dǎo)律

周蒙, 錢惟賢, 任侃

(南京理工大學(xué) 電子工程與光電技術(shù)學(xué)院，江蘇 南京 210094)

0 引言

在現(xiàn)代戰(zhàn)爭(zhēng)中，導(dǎo)彈已經(jīng)得到廣泛應(yīng)用。導(dǎo)彈的任務(wù)是在末制導(dǎo)階段能夠以較小的脫靶量精確打擊目標(biāo)；制導(dǎo)律的作用是為導(dǎo)彈自動(dòng)駕駛儀提供制導(dǎo)指令。一些特殊種類的導(dǎo)彈不僅需要精確打擊目標(biāo)，而且需要以期望的加速度、落點(diǎn)和落角度約束精確命中目標(biāo)。滑模變結(jié)構(gòu)控制在滑動(dòng)模態(tài)中對(duì)干擾具備不變性，對(duì)參數(shù)變化也不敏感，因此廣泛應(yīng)用在制導(dǎo)律設(shè)計(jì)中。國(guó)內(nèi)外學(xué)者針對(duì)以上問題，研究了1 階滑模變結(jié)構(gòu)制導(dǎo)律、2 階超螺旋滑模變結(jié)構(gòu)制導(dǎo)律。

傳統(tǒng)的1 階滑模算法主要研究滑模函數(shù)和趨近律設(shè)計(jì)?；Ｃ姘€性滑模面、終端滑模面、積分滑模面[1]。線性滑模面在距離較遠(yuǎn)情況下趨近速度較慢，而終端滑模面和積分滑模面的優(yōu)勢(shì)可以在距離較近情況下快速收斂至原點(diǎn)。傳統(tǒng)的趨近律是基于符號(hào)切換函數(shù)，但符號(hào)函數(shù)會(huì)引起滑模系統(tǒng)的抖振，目前趨近律多采用飽和函數(shù)和雙曲正切切換函數(shù)設(shè)計(jì)趨近律[2]。2 階超螺旋算法相對(duì)于1 階滑模算法具有更高的收斂速度，因此得以廣泛應(yīng) 用[3]。文獻(xiàn)[4]設(shè)計(jì)了一種基于雙螺旋算法的2 階滑模制導(dǎo)律，并基于地空導(dǎo)彈模型進(jìn)行了算法推導(dǎo)，開展了仿真驗(yàn)證。文獻(xiàn)[5]采用雙螺旋算法，結(jié)合終端滑?？刂评碚撛O(shè)計(jì)了帶有攻角約束的2 階滑模制導(dǎo)律，并通過仿真驗(yàn)證了算法的有效性。文獻(xiàn)[6]針對(duì)高超聲速飛行器，采用超螺旋算法設(shè)計(jì)了一種自適應(yīng)2 階滑模制導(dǎo)律，并利用二次型Lyapunov函數(shù)驗(yàn)證了其穩(wěn)定性，通過仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了該算法具有更高的魯棒性。文獻(xiàn)[7]針對(duì)攔截高速機(jī)動(dòng)目標(biāo)時(shí)需要滿足以指定攻擊角命中目標(biāo)的要求，采用超螺旋算法設(shè)計(jì)了一種2 階滑模制導(dǎo)律，仿真結(jié)果表明該算法具有較高的攔截性能和魯棒性。

以上研究所提出的滑模變結(jié)構(gòu)算法并未解決控制受限的問題?？刂剖芟奘堑湫偷姆蔷€性控制環(huán)節(jié)，會(huì)增加系統(tǒng)的超調(diào)、降低控制精度，嚴(yán)重時(shí)會(huì)引起系統(tǒng)的輸出發(fā)散[8]，因此控制受限因素有必要考慮。目前，針對(duì)控制受限問題，國(guó)內(nèi)外已經(jīng)出現(xiàn)了一些可以借鑒的成果，例如設(shè)計(jì)Anti-windup 抗飽和補(bǔ)償控制器[9-10]、應(yīng)用Nussbaum 型增益技術(shù)[11-12]設(shè)計(jì)Auxiliary System輔助控制系統(tǒng)[13-16]。

文獻(xiàn)[9]針對(duì)控制飽和問題，提出了一種基于觀測(cè)器的新型Anti-windup 抗飽和補(bǔ)償控制器，通過仿真證明了該控制策略是一種非常有效的方法。文獻(xiàn)[10]考慮全狀態(tài)飽和的無人水面艦艇控制模型，設(shè)計(jì)一種Anti-windup 抗飽和補(bǔ)償器，實(shí)現(xiàn)了對(duì)受限的補(bǔ)償作用。文獻(xiàn)[11]為解決火箭炮位置伺服系統(tǒng)運(yùn)行過程中所存在不確定非線性因素的影響，采用動(dòng)態(tài)面濾波法，并結(jié)合自適應(yīng)魯棒控制理論，設(shè)計(jì)了精確位置控制器，并進(jìn)行了仿真驗(yàn)證。文獻(xiàn)[12]為解決航天器安全接近問題，考慮存在外部擾動(dòng)和輸入受限的情況，并基于滑?？刂评碚?，設(shè)計(jì)了有限時(shí)間收斂的姿態(tài)控制器。文獻(xiàn)[13]針對(duì)具有輸入飽和輸出受限的純反饋非線性系統(tǒng)，設(shè)計(jì)了神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)自適應(yīng)控制器，進(jìn)行了穩(wěn)定性證明和算法仿真驗(yàn)證。文獻(xiàn)[14]引用有限時(shí)間收斂理論，結(jié)合滑?？刂评碚?，研究了控制受限情況下的制導(dǎo)律設(shè)計(jì)問題，以動(dòng)能攔截器攔截臨近空間高速機(jī)動(dòng)目標(biāo)為背景，進(jìn)行了算法設(shè)計(jì)和仿真。文獻(xiàn)[15]采用羅德里格斯姿態(tài)參數(shù)，對(duì)剛性航天器姿態(tài)跟蹤動(dòng)力學(xué)進(jìn)行了描述，考慮模型不確定和輸入受限問題，設(shè)計(jì)了魯棒自適應(yīng)狀態(tài)反饋受限控制器。文獻(xiàn)[16]針對(duì)無人機(jī)姿態(tài)控制問題，考慮了控制輸入飽和與狀態(tài)約束的情況，設(shè)計(jì)了動(dòng)態(tài)輔助系統(tǒng)，控制系統(tǒng)可以在有限時(shí)間內(nèi)穩(wěn)定，且信號(hào)有界。文獻(xiàn)[17]為解決欠驅(qū)動(dòng)船控制受限問題，采用動(dòng)態(tài)輔助系統(tǒng)，結(jié)合反步法設(shè)計(jì)中的虛擬控制律，設(shè)計(jì)了控制算法，并進(jìn)行了仿真驗(yàn)證。受限輔助系統(tǒng)的主要思想為：在輔助系統(tǒng)設(shè)計(jì)過程中，將執(zhí)行機(jī)構(gòu)飽和輸出的誤差信號(hào)反饋到標(biāo)準(zhǔn)控制器中，從而消除輸入受限的非線性對(duì)系統(tǒng)的影響；在運(yùn)動(dòng)過程中，系統(tǒng)如果產(chǎn)生飽和，則會(huì)導(dǎo)致輔助系統(tǒng)作用，使飽和量的幅值發(fā)生衰減，直到控制量進(jìn)入線性控制區(qū)域，從而輔助系統(tǒng)的輸出也隨之衰減為零。

本文引用某導(dǎo)彈彈目相對(duì)運(yùn)動(dòng)模型，并轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)2 階系統(tǒng)模型?；谶B續(xù)滑模函數(shù)設(shè)計(jì)1 階滑模制導(dǎo)律，采用雙曲正切切換函數(shù)代替符號(hào)切換函數(shù)；基于改進(jìn)的超螺旋算法設(shè)計(jì)2 階超螺旋滑模制導(dǎo)律(STG)；為解決加速度受限帶來的非線性問題，設(shè)計(jì)基于輔助系統(tǒng)的輔助制導(dǎo)律(ASG)，弱化飽和受限帶來的影響。理論分析和仿真結(jié)果驗(yàn)證了所設(shè)計(jì)的制導(dǎo)律具有較高的制導(dǎo)精度；ASG 的設(shè)計(jì)能夠有效解決加速度受限的問題。

1 制導(dǎo)模型

將導(dǎo)彈和目標(biāo)均視為質(zhì)點(diǎn)，在慣性坐標(biāo)系Oxy下建立圖1 所示彈目相對(duì)運(yùn)動(dòng)關(guān)系。圖1 中，q為彈目視線角，v為導(dǎo)彈的運(yùn)動(dòng)速度，θ為導(dǎo)彈的彈道傾角，am為導(dǎo)彈的加速度，M為導(dǎo)彈，T為目標(biāo)。

圖1 彈目相對(duì)運(yùn)動(dòng)關(guān)系Fig. 1 Relative motion between a guided projectile and a target

設(shè)R為彈目相對(duì)距離，根據(jù)圖1 所示的運(yùn)動(dòng)關(guān)系，可以得到炮彈和目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)方程為

將式(1)的第2 個(gè)方程兩端求導(dǎo)，可得

根據(jù)導(dǎo)彈的飛行動(dòng)力學(xué)方程，有

將am作為自動(dòng)駕駛儀的制導(dǎo)指令，根據(jù) 式(2)和式(3)，可得

式中：

式中：umin< 0，umax> 0 為已知常數(shù)。

本文研究的導(dǎo)彈打擊固定目標(biāo)，采用衛(wèi)星和慣性組合導(dǎo)航，算法參數(shù)通過衛(wèi)星和慣性制導(dǎo)的組合導(dǎo)航給出的位置和速度參數(shù)，結(jié)合目標(biāo)位置參數(shù)，通過坐標(biāo)關(guān)系計(jì)算獲得導(dǎo)彈和目標(biāo)在導(dǎo)引坐標(biāo)系內(nèi)的視線角和角速度，進(jìn)而求得導(dǎo)引律在導(dǎo)引周期的值。由于當(dāng)前衛(wèi)星和慣性制導(dǎo)的組合導(dǎo)航參數(shù)測(cè)量值精度高且輸出穩(wěn)定，能夠滿足導(dǎo)引律和設(shè)計(jì)指標(biāo)的要求。

2 滑模制導(dǎo)律設(shè)計(jì)

本文采用基于趨近律的方法設(shè)計(jì)1 階滑模制導(dǎo)律(OSMG)，采用改進(jìn)的超螺旋算法設(shè)計(jì) 2 階OSMG，采用輔助系統(tǒng)理論設(shè)計(jì)ASG。設(shè)計(jì)步驟分為三步：

1)根據(jù)導(dǎo)彈式(5)彈目相對(duì)運(yùn)動(dòng)模型，設(shè)計(jì)線性滑模面，采用基于趨近律的方法設(shè)計(jì) 1 階OSMG，并給出Lyapunov 穩(wěn)定性證明；

2)采用改進(jìn)的超螺旋算法公式設(shè)計(jì)基于超螺旋算法的2 階OSMG，并構(gòu)造Lyapunov 函數(shù)進(jìn)行穩(wěn)定性證明；

3)利用制導(dǎo)模型信息，采用輔助系統(tǒng)理論設(shè)計(jì)ASG，構(gòu)造Lyapunov 函數(shù)證明所設(shè)計(jì)ASG 的漸進(jìn)穩(wěn)定性。

2.1 1 階OSMG 設(shè)計(jì)

設(shè)期望的彈目視線角為qc，視線角跟蹤誤差為e=qc-q。設(shè)計(jì)線性滑模面S1：

式中：c1為正實(shí)系數(shù)；為視線角跟蹤誤差1 階導(dǎo)數(shù)。式(7)求導(dǎo)，并將式(4)代入，可得

采用趨近律如下：

式中：μ1、μ2為制導(dǎo)律設(shè)計(jì)參數(shù)，μ1＞0，μ2＞ 0。

根據(jù)式(8)和式(9)可得1 階OSMG

構(gòu)造如下Lyapunov 函數(shù)：

式(11)求導(dǎo)，可得

將式(11)代入式(12)，可得

2.2 2 階STG 設(shè)計(jì)

針對(duì)導(dǎo)彈標(biāo)準(zhǔn)2 階系統(tǒng)模型式(5)，選取如下滑模面S2：

式中：c2為設(shè)計(jì)參數(shù)，滿足c2＞ 0。將式(14)求導(dǎo)，可得

式(5)代入式(15)，可得

為解決系統(tǒng)固有的抖振，采用飽和函數(shù)代替符號(hào)切換函數(shù)，對(duì)文獻(xiàn)[19-20]所述的超螺旋算法進(jìn)行改進(jìn)，公式如下：

式中：k1、k2為制導(dǎo)律設(shè)計(jì)參數(shù)，滿足k1＞ 0，k2＞ 0 。

根據(jù)式(16)和式(17)，可得2 階STG：

針對(duì)超螺旋系統(tǒng)的穩(wěn)定性借助Lyapunov 穩(wěn)定性定理，需要選擇一個(gè)矩陣P構(gòu)造出Lyapunov 函數(shù)。當(dāng)該函數(shù)正定且其導(dǎo)數(shù)負(fù)定時(shí)，則說明該系統(tǒng)具備漸進(jìn)穩(wěn)定性。

設(shè)超螺旋系統(tǒng)的狀態(tài)變量X為

構(gòu)建Lyapunov 二次型函數(shù)V2：

式中：所選擇的矩陣P為

在式(21)中，只要滿足k2＞ 0，矩陣P為正定矩陣，Lyapunov 函數(shù)V2為正定矩陣的二次型，則說明V2為正定二次型。超螺旋系統(tǒng)設(shè)計(jì)參數(shù)k1、如果滿足以下條件[21]：

則可以使Lyapunov 函數(shù)的導(dǎo)數(shù)負(fù)定。所設(shè)計(jì)的 式(18)2 階STG 滿足Lyapunov 穩(wěn)定性。進(jìn)一步說明該超螺旋系統(tǒng)的狀態(tài)變量X可以在有限時(shí)間到達(dá)滑模面以及其導(dǎo)數(shù)也能在有限時(shí)間內(nèi)收斂至原點(diǎn)。制導(dǎo)律的攻擊角度受限問題還有待解決，因此需要進(jìn)行ASG 的設(shè)計(jì)。

2.3 考慮加速度受限的制導(dǎo)律設(shè)計(jì)

參照文獻(xiàn)[22-23]中的輔助控制器設(shè)計(jì)方法，利用式(5)模型信息，設(shè)計(jì)如下ASG，弱化控制限制對(duì)制導(dǎo)律的影響。ASG 狀態(tài)變量為F，可表示為

由式(23)可知 ASG 的運(yùn)行分如下兩種 情況：

1)滑模變結(jié)構(gòu)制導(dǎo)律運(yùn)行正常，沒有超過限制，式(23)表示的ASG 不作用；

2)滑模變結(jié)構(gòu)制導(dǎo)律超過了約束限制，制導(dǎo)律會(huì)生成誤差量Δu，則滑模變結(jié)構(gòu)制導(dǎo)律進(jìn)入超限設(shè)定，ASG 運(yùn)行解算，將滑模變結(jié)構(gòu)制導(dǎo)律限制在設(shè)置的限制值范圍。

為證明本文所設(shè)計(jì)的ASG 的穩(wěn)定性，構(gòu)造如下的Lyapunov 函數(shù)：

根據(jù)式(24)可得

將式(23)代入式(25)，可得

綜合上述3 種制導(dǎo)律，2 階STG 收斂速度比 1 階OSMG 快，2 階超螺旋滑?？刂茖鹘y(tǒng)滑?？刂浦写嬖诘母哳l率切換式由W轉(zhuǎn)移到，從而使得高頻率的切換項(xiàng)不再影響W，避免了滑模變結(jié)構(gòu)制導(dǎo)律輸出信號(hào)出現(xiàn)高頻率的振蕩現(xiàn)象，從而獲得更好的制導(dǎo)品質(zhì)。因此將2 階STGu2和ASGF結(jié)合形成包含多約束的滑模變結(jié)構(gòu)制導(dǎo)律：

設(shè)V為表示多約束OSMG 對(duì)應(yīng)系統(tǒng)狀態(tài)方程的Lyapunov 函數(shù)，令V=V2+V3，由于V2和V3的倒數(shù)負(fù)定，則V的導(dǎo)數(shù)也為負(fù)定，表示多約束OSMG 對(duì)應(yīng)系統(tǒng)狀態(tài)方程滿足Lyapunov 穩(wěn)定性。

3 仿真分析

基于式(5)彈目相對(duì)運(yùn)動(dòng)模型進(jìn)行 1 階OSMG、2 階STG 和ASG 的仿真。設(shè)定導(dǎo)彈的飛行速度v為350 m/s，加速度am閾值設(shè)為[-5g，5g]，選取初始條件為：導(dǎo)彈飛行高度3 000 m，目標(biāo)在地面 2 000 m 處，制導(dǎo)律狀態(tài)變量m，q0=arctan(3/2)×π/180°，初始彈道傾角θ0=-15 °。

為驗(yàn)證2 階雙螺旋算法STG 和ASG 的優(yōu)勢(shì)，設(shè)置仿真方案如下：方案1，OSMG；方案2，STG；方案3，STG+ASG。

制導(dǎo)律設(shè)計(jì)參數(shù)選取結(jié)果如下：

1)OSMG 設(shè)計(jì)參數(shù)：c1=0.1，μ1=10，μ2=5，μ3=2，qc=-80°；

2)STG 設(shè)計(jì)參數(shù)：c2=0.1，k1=4，k2=10；

3)ASG 設(shè)計(jì)參數(shù)：c3=5，be=2，σ=0.1。

本節(jié)通過制導(dǎo)算法仿真，結(jié)果如下：圖2 為導(dǎo)彈加速度；圖3 為滑模面誤差；圖4 為滑模面函數(shù)的1 階導(dǎo)數(shù)；圖5 為導(dǎo)彈彈道曲線；圖6 為導(dǎo)彈的彈道傾角曲線；圖7 為視線角速度；圖8 為ASG的輸入輸出變量。

圖2 導(dǎo)彈加速度Fig. 2 Accelerated speed of the guided projectile

通過制導(dǎo)律1、2 和3 的仿真，圖3 和圖4 說明所設(shè)計(jì)的制導(dǎo)律均能夠使得滑模面誤差和1 階導(dǎo)數(shù)收斂至原點(diǎn)；圖5 說明本文所設(shè)計(jì)的制導(dǎo)律均能夠使導(dǎo)彈精確打擊2 000 m 處的目標(biāo)，落點(diǎn)精度均小于1 m；圖6 說明所涉及的制導(dǎo)律均可以使導(dǎo)彈在接近目標(biāo)時(shí)達(dá)到-80°彈道傾角，1 階OSMG 落角 偏差為2°，2 階STG 落角偏差為2.6°，均滿足落角要求；圖7 說明制導(dǎo)能夠使導(dǎo)彈保持較小的視線角速度；圖8 說明所設(shè)計(jì)的ASG 在發(fā)生加速度飽和時(shí)候開始動(dòng)作，保證較小的加速度。

圖3 滑模面誤差Fig. 3 Sliding-mode surface error

圖4 滑模函數(shù)的1 階導(dǎo)數(shù)Fig. 4 Derivative of the sliding-mode surface

圖5 導(dǎo)彈彈道曲線Fig. 5 Trajectory of the guided projectile

圖6 導(dǎo)彈彈道傾角Fig. 6 Trajectory obliquity of the guided projectile

圖7 導(dǎo)彈視線角速度Fig. 7 Line-of-sight velocity of the guided projectile

圖8 輔助系統(tǒng)的輸入和輸出變量Fig. 8 Input and output variables of the auxiliary system

對(duì)比設(shè)置的3 種仿真方案，制導(dǎo)律性能概括為如下兩點(diǎn)：

1)對(duì)比制導(dǎo)律1 和制導(dǎo)律2 的仿真結(jié)果，可以發(fā)現(xiàn)，如圖3 和圖4 所示，1 階OSMG 在仿真開始9 s 達(dá)到收斂，而2 階STG 在仿真開始7 s 就達(dá)到收斂，說明STG 能夠提高收斂速度。

2)對(duì)比制導(dǎo)律2 和制導(dǎo)律3，通過圖1 可以看出，在仿真開始發(fā)生加速度飽和時(shí)，ASG 開始作用，減小了加速度指令，并且能夠在同樣的時(shí)間內(nèi)打中目標(biāo)。

4 結(jié)論

本文將彈目相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)的2 階系統(tǒng)模型，方便OSMG 推導(dǎo)設(shè)計(jì)。基于雙曲正切切換函數(shù)，采用線性滑模面設(shè)計(jì)基于趨近律的1 階OSMG。采用改進(jìn)的超螺旋算法進(jìn)行2 階OSMG設(shè)計(jì)，有效地縮短了滑模狀態(tài)變量的收斂時(shí)間。通過構(gòu)造Lyapunov 函數(shù)分別對(duì)1 階和2 階OSMG 進(jìn)行穩(wěn)定性證明。在此基礎(chǔ)上，采用輔助系統(tǒng)理論設(shè)計(jì)ASG，弱化加速度受限對(duì)制導(dǎo)系統(tǒng)的影響，并進(jìn)行制導(dǎo)律的對(duì)比仿真。仿真結(jié)果表明，本文提出的自適應(yīng)STG 能夠在更短的時(shí)間內(nèi)收斂，具備較高的制導(dǎo)精度，滿足落點(diǎn)和落角要求；設(shè)計(jì)的ASG 在加速度受限的情況下也能夠以期望的落角和落點(diǎn)精確命中目標(biāo)，滿足制導(dǎo)系統(tǒng)要求。