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    基于虛擬再入角的快速離軌制動(dòng)制導(dǎo)方法

    2023-04-02 10:56:38權(quán)申明王竹晁濤楊明
    兵工學(xué)報(bào) 2023年3期
    關(guān)鍵詞:制導(dǎo)飛行器傾角

    權(quán)申明 , 王竹 晁濤 楊明

    (1. 哈爾濱工業(yè)大學(xué) 控制與仿真中心,黑龍江 哈爾濱150080; 2. 上海機(jī)電工程研究所,上海 201109)

    0 引言

    飛行器在再入點(diǎn)的狀態(tài)如再入速度傾角、再入位置、再入速度等,對飛行器在大氣層內(nèi)的飛行狀態(tài)和飛行能力有至關(guān)重要的影響[1-2]。良好的再入狀態(tài),對飛行器在大氣層內(nèi)的駐點(diǎn)熱流密度、總加熱量等物理約束、滑翔飛行的調(diào)節(jié)能力產(chǎn)生積極的作用,同時(shí)能夠增加飛行器的安全性和穩(wěn)定性,減輕制導(dǎo)控制系統(tǒng)的壓力。再入點(diǎn)各狀態(tài)約束值由飛行器設(shè)計(jì)的總體單位根據(jù)任務(wù)需求及飛行器性能計(jì)算得到,設(shè)計(jì)離軌段制導(dǎo)控制算法時(shí)可認(rèn)為是已知的。

    飛行器離軌制動(dòng)段制導(dǎo)算法可以規(guī)劃出一條滿足再入點(diǎn)狀態(tài)的轉(zhuǎn)移軌道。為方便研究,在初步設(shè)計(jì)軌道時(shí),通常假設(shè)飛行器在軌道轉(zhuǎn)移過程中可瞬間獲得所需的速度沖量且僅受地球中心引力場作用。

    文獻(xiàn)[3]指出,良好的離軌制動(dòng)飛行狀態(tài)是確保天地往返飛行器安全、準(zhǔn)確返回既定著陸場區(qū)的前提。傳統(tǒng)鈍頭體再入返回艙,受到橫向機(jī)動(dòng)能力和搜救能力限制,必須保證再入點(diǎn)有足夠的控制精度。離軌制動(dòng)可以視為軌道轉(zhuǎn)移的一種形式,現(xiàn)有的軌道轉(zhuǎn)移軌跡規(guī)劃算法設(shè)計(jì)時(shí),發(fā)動(dòng)機(jī)主要有脈沖推力(視為瞬時(shí)脈沖)、小推力和有限推力三種形式。其中,基于脈沖推力的計(jì)算較為簡單,相對成熟的Lambert 制導(dǎo)算法可在較短時(shí)間內(nèi)計(jì)算出變軌點(diǎn)的速度增量,然而實(shí)際飛行過程中,發(fā)動(dòng)機(jī)難以提供任意大小的發(fā)動(dòng)機(jī)推力;小推力軌道轉(zhuǎn)移通常用在深空探測等場景,推力較小,因此需要數(shù)日才能完成某任務(wù);有限推力離軌制動(dòng)形式在航天器返回、載荷釋放等場景下應(yīng)用廣泛,對該問題的研究具有工程意義。具體地,有限推力離軌規(guī)劃又可分為逼近式策略以及優(yōu)化式策略。

    在逼近式策略方面,文獻(xiàn)[4]提出兩次“推-滑”的離軌制導(dǎo)策略,分析了推力沿不同方向施加時(shí)能量和動(dòng)量矩的變化規(guī)律,給出臨界高度的計(jì)算公式及兩次“推-滑”的判斷條件。文獻(xiàn)[5]將離軌制動(dòng)過程分成能量耗散段和閉路導(dǎo)引控制段,探討了在燃料隨機(jī)耗盡情況下推力方向?qū)υ偃朦c(diǎn)參數(shù)的影響,分析了推力方向切換與能量窗口的關(guān)系。文獻(xiàn)[6]利用軌道瞬時(shí)根數(shù)進(jìn)行離軌制動(dòng)算法設(shè)計(jì),將離軌制動(dòng)問題轉(zhuǎn)化為制動(dòng)起點(diǎn)的緯度幅角的單參數(shù)搜索問題,并考慮了J2 項(xiàng)攝動(dòng)、初始狀態(tài)偏差、質(zhì)量與推力誤差的影響。文獻(xiàn)[7]借鑒運(yùn)載火箭能量管理的思路,為實(shí)現(xiàn)耗盡關(guān)機(jī),將離軌制動(dòng)過程分為能量耗散與閉環(huán)制導(dǎo)控制兩個(gè)階段,在運(yùn)算效率與制導(dǎo)精度方面均有一定的提升。逼近式策略方面的研究基于機(jī)理分析,從能量角度設(shè)計(jì)制動(dòng)方案,通常僅考慮再入點(diǎn)速度大小和方向約束,由于沒有考慮時(shí)間代價(jià),傳統(tǒng)的逼近式策略難以滿足快速離軌需求。

    在優(yōu)化式策略方面,文獻(xiàn)[8]提出的方法能夠?qū)崿F(xiàn)指定再入點(diǎn)位置的飛行器離軌任務(wù),但在內(nèi)層計(jì)算過程中需要反復(fù)調(diào)用求解非線性規(guī)劃求解器,因此難以實(shí)現(xiàn)制動(dòng)速度的在線計(jì)算。文獻(xiàn)[9]考慮再入返回飛行器對再入點(diǎn)高度和再入角的要求,推算了離軌制動(dòng)的軌道參數(shù)及所需速度增量,同時(shí)指出了慣性系速度傾角和地固系下的再入角差異較小。 文獻(xiàn)[10]針對建立了有限推力轉(zhuǎn)移軌跡優(yōu)化的凸優(yōu)化模型,并提出一種迭代逼近算法,但每步迭代計(jì)算中的凸優(yōu)化求解耗時(shí)在1.24~3.23 s 之間,算法難以實(shí)現(xiàn)在線優(yōu)化。文獻(xiàn)[11-12]針對燃料最優(yōu)問題進(jìn)行研究,在飛行器總體優(yōu)化設(shè)計(jì)階段具有重要意義,能夠節(jié)約大量成本。文獻(xiàn)[13]基于最優(yōu)控制理論推導(dǎo)了離軌機(jī)動(dòng)的最優(yōu)性條件,給出了協(xié)態(tài)變量和狀態(tài)變量的解析解,進(jìn)而轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)邊值問題,但初值的選取對求解結(jié)果有較大影響。文獻(xiàn)[14]針對轉(zhuǎn)移時(shí)間最優(yōu)和燃料最優(yōu)兩種性能指標(biāo),將原問題轉(zhuǎn)化為非線性規(guī)劃問題,將Bezier 曲線法得到的結(jié)果作為初值,采用內(nèi)點(diǎn)法與序列二次規(guī)劃算法進(jìn)行求解,雖然對初值的計(jì)算進(jìn)行了改進(jìn)與優(yōu)化,但是仍難以做到在線計(jì)算。文獻(xiàn)[15]分別針對共面、異面軌道轉(zhuǎn)移問題,研究了基于凸優(yōu)化方法的軌跡規(guī)劃,并選用不同指標(biāo)進(jìn)行了軌道機(jī)動(dòng)能力分析,但是算法實(shí)時(shí)性較差,難以工程實(shí)現(xiàn)。文獻(xiàn)[16]提出一種組合制導(dǎo)方法,前期采用燃料最優(yōu)的開環(huán)策略,采用基于標(biāo)稱軌跡的閉環(huán)制導(dǎo),受開環(huán)控制的影響,該方法的調(diào)節(jié)能力有待進(jìn)一步研究。文獻(xiàn)[17]針對動(dòng)能彈垂直再入問題利用自適應(yīng)偽譜法對有限推力制動(dòng)與連續(xù)小推力制動(dòng)兩種方式進(jìn)行了研究。上述研究成果往往需要借助工具箱,如SNOPT、SQP、CVX 等[18]。

    由以上分析可以看出,基于逼近式和優(yōu)化式策略的離軌制動(dòng)算法均存在一定的不足:逼近式策略算法簡單,計(jì)算效率高,易于工程實(shí)現(xiàn),然而少有考慮時(shí)間最優(yōu)的離軌需求;優(yōu)化式策略可以求解同時(shí)考慮多個(gè)再入狀態(tài)約束下的快速離軌制動(dòng)問題,然而優(yōu)化計(jì)算效率較低,難以實(shí)時(shí)在線計(jì)算。隨著空間飛行器智能化需求的不斷提高,再入飛行任務(wù)已經(jīng)從到達(dá)地面固定目標(biāo)點(diǎn),逐步向著覆蓋全球任意位置發(fā)展,因此傳統(tǒng)的固定點(diǎn)離軌制動(dòng)、固定的再入難以適應(yīng)這種需求。對于已經(jīng)部署就位的航天器,其上所攜帶燃料固定,為了應(yīng)對一定范圍內(nèi)可變的任務(wù)要求,飛行器需要具備一定的再入點(diǎn)狀態(tài)調(diào)節(jié)能力。

    本文研究在離軌制動(dòng)任務(wù)確定之后,燃料有限情況下的多終端約束的時(shí)間最優(yōu)離軌制動(dòng)算法。本文的主要?jiǎng)?chuàng)新點(diǎn)如下:

    1)結(jié)合優(yōu)化算法的結(jié)果,通過其最優(yōu)軌道形式,提出燃料約束情況下的有限推力快速離軌制動(dòng)制導(dǎo)算法;

    2)提出虛擬再入角的概念,將時(shí)間最優(yōu)快速離軌制動(dòng)問題參數(shù)化為虛擬再入角的求解,簡化優(yōu)化問題;

    3)為滿足離軌制導(dǎo)算法的實(shí)時(shí)性要求,本文所提出的離軌制動(dòng)算法計(jì)算簡單、快速且具有較強(qiáng)的收斂性。

    1 問題描述

    飛行器軌道轉(zhuǎn)移示意圖如圖1所示。圖1中,M為飛行器接到任務(wù)時(shí)的位置,K為離軌制動(dòng)初始位置,E為再人點(diǎn)位置,C為地球表面目標(biāo)點(diǎn),h為軌道高度,hf為離軌段終端高度。選取軌道轉(zhuǎn)移時(shí)間固定或能量最小等為指標(biāo)后,可唯一確定出轉(zhuǎn)移軌道。

    圖1 軌道轉(zhuǎn)移示意圖Fig. 1 Schematic diagram of orbital transfer

    由于推力有限且連續(xù)作用,飛行狀態(tài)不能根據(jù)自由段解析彈道的特征解析計(jì)算,而是需要通過積分彈道方程來獲得。飛行器在大氣層外的運(yùn)動(dòng)模型可以描述為

    式中:r為飛行器位置矢量,r為飛行器質(zhì)心距地心的徑向距離,r=‖r‖;v為飛行器速度矢量;μ為地球引力常數(shù);pe為發(fā)動(dòng)機(jī)推力,pe表示制動(dòng)推力大小;m為飛行器質(zhì)量;Isp為發(fā)動(dòng)機(jī)比沖;g0為地球表面重力加速度大小。

    為了更加清晰地描述飛行器相對于地球的運(yùn)動(dòng)情況,給出慣性系下飛行器運(yùn)動(dòng)模型的另一種表示:

    式中:v為飛行器相對地速;θ為飛行器速度傾角,在上為正;λ和φ分別為飛行器星下點(diǎn)的經(jīng)度和緯度;χ為彈道偏角,順時(shí)針為正;α表示制動(dòng)角,即推力方向與速度方向的夾角(類似于攻角的定義);g為重力加速度,g=g0(R0/r)2,R0為地球平均半徑。

    2 離軌制動(dòng)算法設(shè)計(jì)

    優(yōu)化式策略通常基于最優(yōu)控制相關(guān)理論,求解復(fù)雜、效率低,往往需要調(diào)用優(yōu)化工具箱得到最優(yōu)結(jié)果;逼近式策略基于能量守恒等原理,結(jié)合衛(wèi)星軌道理論,實(shí)時(shí)計(jì)算可行的控制量,逐漸調(diào)整軌跡,可逐步逼近期望終端狀態(tài)。

    2.1 沖量假設(shè)的離軌制動(dòng)算法

    沖量假設(shè)簡化了飛行器離軌制動(dòng)的運(yùn)動(dòng)過程,認(rèn)為飛行器可瞬間獲得需要速度,給離軌制動(dòng)段的初步設(shè)計(jì)帶來了方便。

    針對更加一般性離軌制動(dòng)問題,飛行器一旦進(jìn)入離軌制動(dòng)階段,為實(shí)現(xiàn)高度的降低,飛行軌跡為橢圓軌道。

    設(shè)v1為當(dāng)前位置需用速度,r1表示由地心指向飛行器實(shí)時(shí)位置的向量,r2表示由地心指向期望再入點(diǎn)位置的向量,h0為飛行器離軌點(diǎn)高度,θ1為根據(jù)能量守恒和動(dòng)量矩不變原理反求出r1處的期望速度傾角。沖量假設(shè)下的離軌制動(dòng)問題描述為:已知r1處的初始速度v0和初始速度傾角θ0,r2處的終端速度v2和終端速度傾角θf,求解沖量假設(shè)下的離軌段制動(dòng)參數(shù)Δθ和Δv,v1和制動(dòng)速度的夾角為φ。矢量r1和r2的大小分別為r1和r2,v1和v2的大小分別為v1和v2。圖2 為橢圓軌道離軌段航跡示意圖。

    圖2 橢圓軌道離軌段航跡示意圖Fig. 2 Deorbit trajectory of an elliptical orbit

    下面針對圖2 所示的任意橢圓軌道進(jìn)行算法設(shè)計(jì)。根據(jù)能量守恒和動(dòng)量矩不變原理,有

    通過式(3)可以求解出θ1和v1,代入下式中:

    由此可以得到離軌段制動(dòng)參數(shù)Δθ和Δv,若能夠瞬時(shí)沿著φ的方向提供一個(gè)Δv,則飛行器將沿著新軌道運(yùn)動(dòng),最終到達(dá)再入點(diǎn)。

    2.2 有限推力離軌制動(dòng)算法

    通常情況下,天基再入滑翔飛行器的離軌制動(dòng)發(fā)動(dòng)機(jī)推力有限,因此2.1 節(jié)的沖量假設(shè)離軌制動(dòng)制導(dǎo)方法難以適用。此外,即使發(fā)動(dòng)機(jī)可瞬時(shí)提供任意方向及大小的推力,由于空間中攝動(dòng)因素的存在,其離軌段終端將產(chǎn)生較大偏差,影響再入飛行。因此,采用有限推力方式的離軌制動(dòng)制導(dǎo)方法研究更有實(shí)際意義,脈沖假設(shè)下的計(jì)算結(jié)果可作為參考。

    由于燃料的消耗,飛行器質(zhì)量不斷減少,根據(jù)給定的發(fā)動(dòng)機(jī)參數(shù),可以利用推力和比沖進(jìn)行計(jì)算。

    在有限推力模型中,采用沖量假設(shè)下的離軌制動(dòng)制導(dǎo)方法,可以求解得到?jīng)_量假設(shè)下的離軌段離軌參數(shù)Δθ和Δv。在求解有限推力下的離軌段軌跡時(shí),給定天基再入滑翔飛行器的制動(dòng)點(diǎn)狀態(tài)及再入點(diǎn)狀態(tài)約束,計(jì)算推力大小與方向變化曲線,控制飛行器按照期望再入角、再入速度到達(dá)再入點(diǎn)高度。

    結(jié)合2.1 節(jié)瞬時(shí)脈沖仿真結(jié)果,設(shè)計(jì)一種采用逼近式策略的考慮有限推力的制導(dǎo)步驟如下:

    步驟1根據(jù)飛行器實(shí)時(shí)狀態(tài)、再入角度及速度,由式(3)按照瞬時(shí)脈沖方式確定出當(dāng)前時(shí)刻所需的速度和角度信息。

    步驟2結(jié)合飛行器當(dāng)前角度和速度信息,計(jì)算制動(dòng)速度Δv及制動(dòng)角度。

    步驟3沿著制動(dòng)角度方向,改變飛行器速度增量為Δv,發(fā)動(dòng)機(jī)采用最大推力。

    步驟4若所需速度小于其設(shè)定閾值,即,則關(guān)閉發(fā)動(dòng)機(jī),飛行器沿橢圓軌道自由運(yùn)動(dòng),否則循環(huán)步驟1~步驟3 的計(jì)算。

    2.3 快速離軌制動(dòng)算法設(shè)計(jì)

    通過分析不難發(fā)現(xiàn),以上兩種方法沒有考慮時(shí)間最優(yōu)性指標(biāo),僅考慮了再入點(diǎn)高度、速度大小與速度傾角,因此求得的離軌制動(dòng)軌跡難以滿足快速離軌的需求。

    通過最優(yōu)控制理論中的時(shí)間最優(yōu)結(jié)論可知,時(shí)間最優(yōu)情況下控制量通常是Bang-Bang 控制,類似于開關(guān)控制量,離軌制動(dòng)階段飛行器所攜帶的燃料有限,因此假設(shè)時(shí)間最優(yōu)的離軌制動(dòng)問題中,制動(dòng)發(fā)動(dòng)機(jī)推力大小與制動(dòng)角度形式如圖3 所示。圖3中,O點(diǎn)為原點(diǎn),α軸表示制動(dòng)角,t軸為時(shí)間,α1(t)為0~t1時(shí)間內(nèi)的制動(dòng)角變化曲線,α2(t)為t2~t3時(shí)間內(nèi)的制動(dòng)角變化曲線,pemax為最大制動(dòng)推力,t1為制動(dòng)發(fā)動(dòng)機(jī)首次關(guān)機(jī)時(shí)刻,t2為第2 次開機(jī)時(shí)刻,t3為第2 次關(guān)機(jī)時(shí)刻,t4為到達(dá)再入點(diǎn)的時(shí)刻。

    圖3 時(shí)間最優(yōu)制動(dòng)發(fā)動(dòng)機(jī)工作狀態(tài)示意圖Fig. 3 Schematic diagram of time-optimal deorbit

    求解α(t),使得終端時(shí)間tf最小,同時(shí)滿足初始各狀態(tài)與終端各狀態(tài),可描述為

    式中:u為制動(dòng)角變化曲線α(t);Δm為飛行器總質(zhì)量變化量;mfuel為燃料質(zhì)量。

    可將式(5)描述的問題轉(zhuǎn)化為非線性規(guī)劃問題,進(jìn)而基于偽譜法進(jìn)行求解,但是該類方法計(jì)算效率較差,工程實(shí)現(xiàn)性不強(qiáng)。還可將該非線性規(guī)劃問題轉(zhuǎn)化為凸優(yōu)化問題,凸優(yōu)化在求解最優(yōu)控制問題的快速性與最優(yōu)性上均有顯著提升[19],然而現(xiàn)階段凸優(yōu)化算法仍難以滿足在線實(shí)時(shí)計(jì)算的速度需求。

    由于傳統(tǒng)的有限推力離軌制動(dòng)算法并未考慮時(shí)間最優(yōu)性,存在一定不足。設(shè)計(jì)改進(jìn)的有限推力離軌制動(dòng)算法如圖 4 虛線曲線所示,引入虛擬再入角的概念,在前期采用虛擬再入角,后期采用實(shí)際期望再入角作為約束。

    圖4 改進(jìn)方法與傳統(tǒng)方法彈道傾角變化曲線示意圖Fig. 4 Curve of the flight path angle with the improved method and the traditional method

    定義1虛擬再入角:

    在再入返回的初期,設(shè)計(jì)不同于實(shí)際期望終端速度傾角θf的某固定或者時(shí)變再入角作為制導(dǎo)輸入指令,稱角度為虛擬再入角(在后期仍使用θf作為期望再入角)。

    在離軌制動(dòng)前期主要控制再入速度傾角與再入速度大小,后期根據(jù)文獻(xiàn)[4]中得到的垂直速度方向施加力不改變能量大小的結(jié)論,通過預(yù)測剩余燃料消耗時(shí)間,進(jìn)行正推與反推的能量耗散策略。后期使用剩余燃料朝著目標(biāo)點(diǎn)飛行,由于后期時(shí)間相對短,終端速度不會(huì)偏差太大。本文設(shè)計(jì)的快速離軌制動(dòng)制導(dǎo)仿真流程如圖 5 所示。

    圖5 快速離軌制動(dòng)制導(dǎo)仿真流程圖Fig. 5 Flow chart of simulation of fast deorbit guidance

    因此,可將問題式(5)轉(zhuǎn)化為如下問題:

    并使用凸優(yōu)化方法對關(guān)鍵參數(shù) Δt1、Δt2,以及第一階段的虛擬期望終端傾角求解。

    基于沖量假設(shè)的有限推力下離軌制動(dòng)算法存在的問題在于沒有考慮快速離軌的需求,但在再入速度傾角和速度大小的控制上,計(jì)算量小且精度較高?;谕箖?yōu)化的離軌制動(dòng)可以考慮時(shí)間最優(yōu)約束,仍難以實(shí)時(shí)計(jì)算,但是通過與有限推力離軌制動(dòng)算法相結(jié)合,將最優(yōu)結(jié)果作為有限推力制動(dòng)方法虛擬終端約束,從而給出快速離軌制動(dòng)制導(dǎo)算法。

    2.4 基于凸優(yōu)化方法的子問題求解

    文獻(xiàn)[19]給出了一種可以處理非線性等式的凸優(yōu)化問題的方法。在時(shí)間最優(yōu)的離軌制動(dòng)問題中,給定起始時(shí)刻的高度、速度,要求飛行器以最短時(shí)間到達(dá)某一高度,并滿足終端的速度大小及傾角 要求。

    使用凸優(yōu)化對問題進(jìn)行求解需要分為三個(gè)步驟。

    2.4.1 狀態(tài)方程歸一化

    式中:σ為松弛變量,代表推力-加速度。設(shè)狀態(tài)量為x=(r,v,z)T,控制量為u=(τ,σ)T,將狀態(tài)方程寫為如下矩陣形式:

    當(dāng)使用迭代方法求解最優(yōu)解時(shí),式(10)可看作線性方程。

    2.4.2 求解初始軌跡

    使用迭代方法求解時(shí)間最優(yōu)離軌制動(dòng)問題時(shí),首先需要一條初始軌跡,在此基礎(chǔ)進(jìn)行優(yōu)化。

    求解時(shí)間最優(yōu)離軌問題,需要將離軌過程分為N段,每一段時(shí)間間隔為t0/N,求解N+ 1個(gè)狀態(tài)變量及控制變量。飛行器初始位置、速度與終端時(shí)刻位置、速度約束可表示為

    離軌過程約束為式(9)~式(13),由于地心距r為歸一化后的變量,在離軌過程中近似為1,在對結(jié)果精確度要求不高的情況下,式(9)中的r可近似為1,變?yōu)榫€性方程。

    由于所有約束及目標(biāo)函數(shù)均為凸的,此問題為一標(biāo)準(zhǔn)的凸優(yōu)化問題。

    2.4.3 迭代求解時(shí)間最優(yōu)離軌制動(dòng)問題

    求解時(shí)間最優(yōu)離軌制動(dòng)問題不指定固定的再入點(diǎn)以及離軌時(shí)間,只要求到達(dá)固定的再入高度時(shí)滿足指定的速度大小及傾角,因此需要引入時(shí)間變量。此時(shí)式(9)與式(13)均為非線性等式約束。同時(shí),為保證結(jié)果的精確,需要在初始解的基礎(chǔ)上進(jìn)行多次迭代求解。

    當(dāng)凸優(yōu)化問題中含有非線性等式約束hi(y) = 0,i= 1,… ,q時(shí),假設(shè)當(dāng)前迭代結(jié)果為y[k],y= (f x,u,tf)。求解y[k+1]的過程如下:

    在y[k]處對函數(shù)進(jìn)行泰勒展開,hi(y) =0可以寫為

    同時(shí),又有展開式

    凸優(yōu)化問題的約束為

    優(yōu)化結(jié)果為yp,將在y[k]處1階展開:

    式(18)兩側(cè)同乘(yp-y[k])T/2,得到

    因此便將非凸約束hi(y) =0轉(zhuǎn)換為凸約束。

    時(shí)間最優(yōu)的離軌制動(dòng)問題中,除了考慮式(9)~式(11)的約束之外,其余約束為

    以離軌段終端時(shí)間tf最短為指標(biāo)。式(9)的離散形式以及式(22)為非線性約束,將其按前述可得到凸函數(shù)的約束條件,并附加約束

    即可求得y[k+1]以及u[k+1],多次迭代直至收斂,得到時(shí)間最優(yōu)離軌制動(dòng)結(jié)果。

    至此,將離軌制動(dòng)問題轉(zhuǎn)化為凸優(yōu)化問題,使用2階錐規(guī)劃方法進(jìn)行求解,求解工具詳見文獻(xiàn)[20]。

    2.5 基于最優(yōu)軌跡的虛擬指令計(jì)算

    根據(jù)凸優(yōu)化求解得到的優(yōu)軌跡中發(fā)動(dòng)機(jī)推力大小曲線,可以看出時(shí)間最優(yōu)的離軌制動(dòng)問題中,控制量呈現(xiàn)“推-滑-推”的特點(diǎn),從而根據(jù)其時(shí)間變化規(guī)律可得 Δt1、 Δt2,根據(jù)速度、傾角變化曲線,根據(jù)式(4)可以反求出虛擬再入角θ?f大小。

    3 數(shù)值仿真及分析

    考慮有兩臺推力發(fā)動(dòng)機(jī),每臺推力為500 N,比沖為300 s,離軌到再入階段單獨(dú)計(jì)算燃料質(zhì)量,燃料為250 kg。

    根據(jù)2.1~2.3 節(jié)給出的不同方法,考慮從某圓軌道進(jìn)行離軌制動(dòng),初始高度h0=500 km,初始速度為v0=7 616.7 m/s,初始傾角θ0= 0°,期望終端高度hf=120 km、終端速度vf=7 950 m/s、終端傾角θf=-2 .5°為例,分別給出不同方法的仿真結(jié)果。需要指出的是,本文所提出的快速離軌制動(dòng)制導(dǎo)方法采用類似的策略在橫向進(jìn)行虛擬指令設(shè)計(jì)后,可適用于三維空間中的異面離軌制動(dòng),仿真中僅以縱向運(yùn)動(dòng)為例。

    3.1 基于凸優(yōu)化仿真結(jié)果

    將快速離軌制動(dòng)問題轉(zhuǎn)化為凸優(yōu)化問題,進(jìn)而使用2階錐規(guī)劃進(jìn)行求解。仿真結(jié)果如圖6所示。通過多約束下時(shí)間最優(yōu)離軌制動(dòng)的仿真計(jì)算,可以看出飛行軌跡能夠?qū)崿F(xiàn)時(shí)間最優(yōu)的指標(biāo);從推力大小曲線可以看出,發(fā)動(dòng)機(jī)工作狀態(tài)類似Bang-Bang控制,與最優(yōu)控制的時(shí)間最優(yōu)控制問題結(jié)果一致;由圖6(f)可以看出,飛行器終端時(shí)刻燃料用盡,終端各狀態(tài)滿足要求。同時(shí),為了驗(yàn)證方法有效性,放寬燃料限制,當(dāng)燃料足夠時(shí),推力可以長時(shí)間最大推力工作,通過改變制動(dòng)角來實(shí)現(xiàn)時(shí)間最優(yōu)指標(biāo)。

    圖6 多約束下時(shí)間最優(yōu)離軌制動(dòng)狀態(tài)量變化曲線Fig. 6 Curves of time-optimal deorbit with multiple constraints

    綜合以上仿真曲線可以看出,時(shí)間最優(yōu)下的仿真結(jié)果雖比有限推力離軌制動(dòng)的制動(dòng)時(shí)間指標(biāo)更優(yōu),但是從編程實(shí)現(xiàn)及運(yùn)算效率上來看,代價(jià)較大。即使在初值合理的情況下,單次優(yōu)化耗時(shí)在 1 s 以上,因此難以實(shí)現(xiàn)在線制導(dǎo)的目標(biāo)。

    3.2 快速離軌制動(dòng)算法仿真

    為驗(yàn)證本文算法的有效性,選取不同終端狀態(tài)θf=-1 .5° 、θf=-2 .5° 、θf=-3 .5° 、θf=- 4.5° 進(jìn)行仿真,基于文獻(xiàn)[6]中在線制導(dǎo)算法的仿真結(jié)果如圖 7 所示,基于本文快速離軌制動(dòng)制導(dǎo)算法仿真結(jié)果如圖 8 所示。

    對比圖7、圖8仿真結(jié)果曲線可以看出,兩種方法均能滿足終端高度、速度、傾角的終端約束。在傳統(tǒng)算法中,未考慮快速離軌制動(dòng)需求時(shí),燃料有剩余,且隨著終端傾角(幅值)的增大,離軌制動(dòng)段飛行時(shí)間減小,燃料消耗增加,這是由于空間軌道中,速度方向的改變需要較大的速度增量。對比以上圖7(f)、圖8(f)子圖燃料質(zhì)量變化曲線可知,為滿足離軌制動(dòng)快速性的需求,本文算法能夠?qū)⑷剂虾谋M,離軌段節(jié)約時(shí)間最大值約為500 s。在計(jì)算效率方面,單步計(jì)算耗時(shí)均在5 ms以內(nèi),能夠滿足在線制導(dǎo)的需求。

    圖7 傳統(tǒng)離軌制動(dòng)制導(dǎo)算法仿真結(jié)果Fig. 7 Simulation results of the traditional deorbit guidance algorithm

    圖8 快速離軌制動(dòng)制導(dǎo)算法仿真結(jié)果Fig. 8 Simulation results of the fast deorbit guidance algorithm

    3.3 蒙特卡洛仿真

    在實(shí)際離軌制動(dòng)過程中,飛行器發(fā)動(dòng)機(jī)受到各種偏差因素的影響,本文主要考慮推力大小攝動(dòng)Δpe、推力方向攝動(dòng)Δφ、燃料質(zhì)量攝動(dòng)Δm,各偏差均為均勻分布如表1 所示。

    表1 參數(shù)攝動(dòng)表Table 1 Parameter perturbations

    進(jìn)行1 000 組蒙特卡洛仿真實(shí)驗(yàn),仿真結(jié)果如圖 9 所示(Rf表示離軌制動(dòng)段射程)。

    圖9 蒙特卡洛仿真參數(shù)散布圖Fig. 9 Distribution of Monte Carlo simulation parameters

    根據(jù)終端狀態(tài)散布結(jié)果可以看出,該算法對終端速度與終端傾角控制精度較高,其中終端速度偏差為±0.2 m/s,終端傾角偏差為±0.002°。由于該算法未對射程進(jìn)行精確控制,該狀態(tài)的絕對偏差較大為±50 km,然而該值相對于整個(gè)再入階段相對誤差較小,約為0.5%,同時(shí)考慮到后續(xù)的再入滑翔階段,對射程調(diào)節(jié)能力較強(qiáng),因此離軌制動(dòng)階段射程的影響可忽略。

    4 結(jié)論

    本文針對快速離軌制動(dòng)的需求,提出基于虛擬再入角的快速離軌制動(dòng)制導(dǎo)方法。借鑒固體運(yùn)載火箭助推段末期的能量管理策略,通過設(shè)置合理的虛擬再入角與虛擬指令控制邏輯,設(shè)計(jì)“做正功”與“做負(fù)功”的切換規(guī)律,進(jìn)行多余能量的耗散,可以實(shí)現(xiàn)快速離軌制動(dòng)算法的在線設(shè)計(jì)。得出主要結(jié)論如下:

    1)引入虛擬再入角的概念將離軌制動(dòng)最優(yōu)控制問題參數(shù)化,采用少次的凸優(yōu)化方法求解最優(yōu)軌跡進(jìn)行虛擬再入角的更新,該算法相比于傳統(tǒng)凸優(yōu)化方法具有計(jì)算簡單、運(yùn)算效率高的特點(diǎn)。

    2)相比于現(xiàn)有制導(dǎo)算法,基于虛擬再入角的快速離軌制動(dòng)算法考慮了離軌耗時(shí)的因素,在燃料耗盡的情況下,能夠節(jié)約最多500 s 的離軌時(shí)長,滿足了離軌制動(dòng)快速性的需求。

    3)該算法對離軌階段發(fā)動(dòng)機(jī)推力大小與方向、燃料質(zhì)量攝動(dòng)具有較強(qiáng)的魯棒性,再入點(diǎn)速度控制精度為±0.2 m/s,再入角控制精度為±0.002°。

    在本文工作的基礎(chǔ)上,后續(xù)將考慮J2 攝動(dòng)的快速離軌制動(dòng)在線制導(dǎo)算法,考慮地球橢球體引起的非球形引力的等因素的影響,進(jìn)一步增強(qiáng)本文算法的工程意義。

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