函數(shù)構(gòu)題　抓住本質(zhì)　重在審題

劉玉晶

一次函數(shù)是初中所學(xué)函數(shù)部分最為基礎(chǔ)且非常重要的一個類型，在中考命題中占據(jù)了一定的分量. 其中考的考點(diǎn)主要集中在一次函數(shù)的定義、圖象性質(zhì)、求解析式，與不等式和方程的結(jié)合，最終落腳點(diǎn)為一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用.主要采用以函數(shù)為主線，將函數(shù)圖象、性質(zhì)、方程及不等式等相關(guān)知識綜合運(yùn)用，利用數(shù)形結(jié)合的思想解決相應(yīng)的實(shí)際問題.

考點(diǎn)分析

考點(diǎn)1：一次函數(shù)圖象及性質(zhì)、確定一次函數(shù)的解析式

解題思路：首先要理解題意并觀察圖象，從中獲取信息，正確理解自變量和函數(shù)所代表的實(shí)際意義，并且要常常進(jìn)行“數(shù)”與“形”之間的互換，如函數(shù)圖象如何轉(zhuǎn)化為函數(shù)解析式；然后利用一次函數(shù)圖象及性質(zhì)、解析式等知識解決問題，從而將問題轉(zhuǎn)化為方程與函數(shù)問題，這里涉及函數(shù)、方程的綜合運(yùn)用.

易錯點(diǎn)：對自變量或者函數(shù)所代表的實(shí)際意義理解不準(zhǔn)確；忽視一次函數(shù)圖象的性質(zhì).

解題要點(diǎn)：掌握一次函數(shù)圖象及性質(zhì)是解決這類題型的基礎(chǔ).解題時要讀懂題意，理順關(guān)系，要全面分析關(guān)系，領(lǐng)悟?qū)嵸|(zhì)，即良好的審題能力和讀圖能力以及處理和轉(zhuǎn)化條件的能力也是解決一次函數(shù)圖象應(yīng)用題的重要因素.

考點(diǎn)2：利用一次函數(shù)、方程、不等式等知識解決現(xiàn)實(shí)生活中的優(yōu)惠方案問題

解題思路：解這類題，需要在了解實(shí)際問題中各個量關(guān)系的基礎(chǔ)上，先確定一次函數(shù)的解析式，然后找到相關(guān)的信息建立與方程或不等式的聯(lián)系，計(jì)算出可能的方案選項(xiàng)，然后根據(jù)一次函數(shù)的增減性確定解決方案.

易錯點(diǎn)：忽略不等式模型的建立；沒有注意到自變量的限制條件.

解題要點(diǎn)：首先要根據(jù)題目中的條件列出解析式，其次通過分析題意找出自變量的取值范圍，再次根據(jù)一次函數(shù)的增減性及取值范圍，確定自變量的值，作出決策，最后把數(shù)學(xué)結(jié)果回歸到實(shí)際問題中去，通過分析、判斷、驗(yàn)證得到實(shí)際問題的結(jié)果.注意：回歸時要利用實(shí)際意義的條件進(jìn)行檢驗(yàn)取舍，找出正確結(jié)果.

真題分析

例1 （2022·黑龍江·牡丹江）在一條平坦筆直的道路上依次有A，B，C三地，甲從B地騎電瓶車到C地，同時乙從B地騎摩托車到A地，到達(dá)A地后因故停留1分鐘，然后立即掉頭（掉頭時間忽略不計(jì)）按原路原速前往C地，結(jié)果乙比甲早2分鐘到達(dá)C地，兩人均勻速運(yùn)動，圖1是兩人距B地路程y（米）與時間x（分鐘）之間的函數(shù)圖象．請解答下列問題：

（1）填空：甲的速度為______米/分鐘，乙的速度為______米/分鐘；

（2）求圖象中線段FG所在直線表示的y（米）與時間x（分鐘）之間的函數(shù)解析式，并寫出自變量x的取值范圍；

（3）出發(fā)多少分鐘后，甲、乙兩人之間的路程相距600米？請直接寫出答案．

解析：（1）利用速度 = 路程 ÷ 時間，找準(zhǔn)甲、乙的路程和時間即可得出結(jié)論.答案：300；800.

（2）根據(jù)（1）中的計(jì)算可得出點(diǎn)G的坐標(biāo)，設(shè)直線FG的解析式為：y = kx + b，將F，G的坐標(biāo)代入，求解方程組即可.直線FG的解析式為：y = 800x - 2400（3 ≤ x ≤ 6）.

（3）根據(jù)題意可知存在三種情況，然后分別計(jì)算即可．

當(dāng)0 ≤ x ≤ 1時，甲從B地騎電瓶車到C地，同時乙從B地騎摩托車到A地；

當(dāng)2 ≤ x ≤ 3時，甲從B地繼續(xù)往C地走，乙從A地往B地走；

當(dāng)x > 3時，甲從B繼續(xù)往C地走，乙從B地往C地走.

綜上，出發(fā)[6/11]分鐘或[18/5]分鐘或6分鐘后，甲、乙兩人之間的路程相距600米．

例2 （2022·山東·濟(jì)寧）某運(yùn)輸公司安排甲、乙兩種貨車24輛恰好一次性將328噸的物資運(yùn)往A，B兩地，兩種貨車載重量及到A，B兩地的運(yùn)輸成本如下表：

（1）求甲、乙兩種貨車各用了多少輛.

（2）如果前往A地的甲、乙兩種貨車共12輛，所運(yùn)物資不少于160噸，其余貨車將剩余物資運(yùn)往B地．設(shè)甲、乙兩種貨車到A，B兩地的總運(yùn)輸成本為w元，前往A地的甲種貨車為t輛．

①寫出w與t之間的函數(shù)解析式；

②當(dāng)t為何值時，w最??？最小值是多少？

解析：（1）設(shè)甲種貨車用了x輛，可得：16x + 12（24 - x） = 328，即可解得甲種貨車用了10輛，乙種貨車用了14輛.

（2）①根據(jù)題意得：w = 1200t + 1000（12 - t） + 900（10 - t） + 750[14 - （12 - t）] = 50t + 22 500；

②根據(jù)前往A地的甲、乙兩種貨車共12輛，所運(yùn)物資不少于160噸，可得4 ≤ t ≤ 10，由一次函數(shù)性質(zhì)可得當(dāng)t為4時，w最小，最小值是22 700元．

總結(jié)提升

方法提煉：

1.用一次函數(shù)解決實(shí)際問題的一般步驟為：

（1）根據(jù)題意，設(shè)定問題中的變量；

（2）建立一次函數(shù)關(guān)系式模型；

（3）利用與方程或不等式（組）的知識，結(jié)合實(shí)際問題，確定自變量的取值范圍；

（4）利用一次函數(shù)的性質(zhì)來解決實(shí)際問題

2.用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式：

已知兩點(diǎn)A（x1，y2），B（x2，y2）（x1 ≠ x?），求直線AB的解析式.

注意：利用[k=y1-y2x1-x2]可快速求出k的值.

專題精練

某商店決定購進(jìn)A、B兩種北京冬奧會紀(jì)念品. 若購進(jìn)A種紀(jì)念品10件，B種紀(jì)念品5件，需要1000元；若購進(jìn)A種紀(jì)念品5件，B種紀(jì)念品3件，需要550元．

（1）求購進(jìn)A、B兩種紀(jì)念品的單價.

（2）若該商店決定拿出1萬元全部用來購進(jìn)這兩種紀(jì)念品，考慮到市場需求，要求購進(jìn)A種紀(jì)念品的數(shù)量不少于B種紀(jì)念品數(shù)量的6倍，且購進(jìn)B種紀(jì)念品數(shù)量不少于20件，那么該商店共有幾種進(jìn)貨方案？

（3）若銷售每件A種紀(jì)念品可獲利潤20元，每件B種紀(jì)念品可獲利潤30元，在第（2）問的各種進(jìn)貨方案中，哪一種方案獲利最大？求出最大利潤．

答案：（1）25元，150元；（2）5種；（3）購進(jìn)A種紀(jì)念品226件，B種紀(jì)念品29件獲利最大，最大利潤為5390元.