脆性巖石多裂紋擴展的復合型相場模型研究

趙晨臣，饒秋華，易威，羅三

(1. 中南大學 土木工程學院，湖南 長沙 410075；2. 貴州路橋集團有限公司 貴州黔航交通工程有限公司，貴州 貴陽 550018)

在隧道開挖、邊坡支護等巖體工程中，天然巖體內(nèi)部存在的多裂隙受到地應力和工作荷載的作用后易發(fā)生起裂、擴展與貫通，存在巖體工程安全隱患問題[1-2]，因此，研究巖石多裂紋擴展演變過程及其機理具有重要的理論與實際意義。由于理論上難以得到多裂紋起裂、擴展與貫通至破壞全過程的解析解，實驗也難以實時檢測復雜荷載條件下多裂紋擴展軌跡，因此數(shù)值模擬成為分析巖石多裂紋擴展與貫通機理的重要手段。數(shù)值方法主要包括連續(xù)方法(如傳統(tǒng)有限元法[3]、邊界元法[4]等)和非連續(xù)方法(如離散元法[5-8]、不連續(xù)變形分析[9]、流形法[10-11]等)，前者通常需要在裂紋尖端建立復雜的奇異單元，后者通常需要通過材料有限的宏觀力學參數(shù)來精確標定大量的細觀參數(shù)、算法較為復雜。BOURDIN 等[12]提出一種新型連續(xù)介質(zhì)方法—相場模型，通過引入相場變量φ代替新萌生的裂紋，基于變分原理[13]和Griffiths 斷裂理論[14]建立相場控制方程，使得在模擬計算過程時無需顯式地追蹤裂紋面，而是通過相場變量的自動演化獲取裂紋路徑及位置。因此，相場模型在處理三維以及多裂紋問題上具有收斂性好、計算簡便等優(yōu)點，已經(jīng)成為研究斷裂問題的重要方法之一。由于經(jīng)典的相場模型未區(qū)分正、負彈性應變能，拉、壓應力將產(chǎn)生相同的應變能來驅(qū)動裂紋，從而在受壓時產(chǎn)生不真實的裂紋[15]。為模擬復雜加載條件下的裂紋擴展，AMOR 等[16-17]分別基于球/偏、拉/壓應變能分解提出了2 種改進的相場模型，但兩者均未考慮拉伸(I 型)和剪切(II 型)裂紋擴展的區(qū)別。因此，ZHANG 等[18]基于F-準則[19](修正的G準則)和Miehe 應變能分解方法，提出了拉/壓應變能分解的復合型相場模型，模擬分析了復雜加載條件下脆性巖石翼裂紋和次生裂紋擴展。ZHUANG 等[20]采用該復合型模型開展了復雜加載條件下類巖石閉合裂紋擴展模擬分析。借鑒ZHANG 的思路，采用AMOR 的應變能分解方法，可建立球/偏應變能分解的復合型相場模型，但該模型應用偏少，且這2種復合型相場模型的差異性和適用范圍缺乏比較研究。目前，求解相場控制方程主要有整體算法和交錯算法[21]，交錯法因比整體法更能有效地表征復雜裂紋的漸進性擴展全過程，且具有更高的收斂性而得到更廣泛的應用。本文采用交錯法[22]，通過自編ABAQUS 的子程序UMAT 和HETVAL，建立基于拉/壓應變能分解和球/偏應變能分解的2 種復合型相場模型數(shù)值求解方法，用于模擬脆性巖石雙裂紋擴展與貫通軌跡并進行比較分析；通過開展不同中心間距下含雙平行裂紋的紅砂巖試件單軸壓縮試驗，分析多裂紋擴展行為及機理，并與模擬結(jié)果對比，驗證2種復合型相場模型的有效性并闡明其異同性及適用范圍。

1 基于交錯法的復合型相場模型數(shù)值求解

1.1 基本相場模型

BOURDIN于2000年基于斷裂變分模型建立了含相場變量φ的勢能函數(shù)：

式中：相場變量φ=0 表示材料完好；φ=1 表示材料斷裂；l表示裂紋彌散寬度(圖1)，l=27EGC/(512σ2t)；E和σt分別為材料的彈性模量和抗拉強度。

圖1 相場變量φ表示的彌散裂紋Fig. 1 A discrete crack in terms of a phase field φ

利用最小勢能原理，便可通過式(1)得到經(jīng)典的相場模型的控制方程(平衡方程和相場演化方程)：

經(jīng)典相場模型由總彈性應變能ψe控制相場變量φ的演化，即驅(qū)動裂紋擴展。由于ψe對于應力和應變區(qū)分不了正負，拉應力和壓應力將產(chǎn)生相同的應變能來驅(qū)動裂紋，從而在受壓時產(chǎn)生不真實的裂紋。

為了彌補經(jīng)典相場模型的不足，Amor和Miehe分別于2009 年和2010 年提出了2 種不同的應變能分解方法對相場演化方程進行改進：Amor 提出將總彈性應變能ψe分解為拉伸(ψve+)，壓縮(ψve-)球應變能和偏應變能(ψde)，認為壓縮球應變能ψve-不能驅(qū)動裂紋擴展。

式中：κ是體積彈性模量；I是n階單位矩陣；n為空間維數(shù)。

Miehe 提出將總彈性應變能ψe分解為拉伸(ψ+e)和壓縮(ψ-e)應變能，認為只有拉伸應變能ψ+e才能驅(qū)動裂紋擴展。

式中：η是一個數(shù)值參數(shù)(0<η<<1)，以避免當φ=1時計算不收斂；λ和μ是拉梅常數(shù)；運算符號 的定義為 x ±(x±|x|)/2；tr()表示矩陣求跡運算。同時，為避免卸載后彈性應變能釋放而導致裂紋愈合，引入了一個歷史場變量H表示從開始時刻(t=0)加載到任意t時刻在位置x處的最大驅(qū)動裂紋擴展的彈性應變能[13]，以替代式(3)中的總彈性應變能ψe，得到改進后的相場演化方程：

其中Amor 提出的球/偏應變能分解和Miehe 提出的拉/壓應變能分解所對應的歷史場變量H分別為：

由于式(6)H和Gc均未考慮I型、II型裂紋擴展機理的不同，即未區(qū)分I 型、II 型的歷史場變量(HI，HII)和臨界能量釋放率(GIC，GIIC)，并認為GC=GIC，導致上述2 種改進的相場模型只能模擬任意加載條件下I 型裂紋擴展，而不能模擬II 型裂紋擴展。

1.2 復合型相場模型

為了準確模擬復雜加載條件下I 型、II 型裂紋擴展，ZHANG 等[18]于2017 年基于F-準則[19]和Miehe 拉、壓應變能分解方法，考慮區(qū)分I 型和II 型的歷史場變量(HI，HII)和臨界能量釋放率(GIC，GIIC)，即采用HI/GIC+HII/GIIC替代公式(6)中的2H/GC，建立了拉/壓應變能分解的復合型相場模型：

同理，本文基于ZHANG 的相場控制方程以及Amor 球/偏應變能分解方法，也可建立球/偏應變能分解的復合型相場模型：

比較可知，上述2個復合型相場模型的本質(zhì)區(qū)別在于HI和HII的物理意義不同：基于拉/壓應變能分解的復合型相場模型認為只有受拉部分的應變能驅(qū)動I 型和II 型裂紋擴展，實際上受壓部分的應變能也會影響II 型裂紋擴展；而基于球/偏應變能分解的復合型相場模型則認為受拉部分的球應變能驅(qū)動I 型裂紋擴展、偏應變能驅(qū)動II 型裂紋擴展。因此，兩者的HI公式表達式類似，但HII差別很大。

1.3 復合型相場模型的交錯法求解

采用交錯算法[22]，借助ABAQUS 有限元軟件平臺，自行編寫材料本構模型的用戶子程序UMAT 和驅(qū)動相場變量演化的用戶子程序HETVAL，可實現(xiàn)復合型相場模型的數(shù)值求解。首先，通過對控制方程(式(2)，(9)或(10))進行線性離散，得到其數(shù)值弱形式：

式中：Bu,Bφ和Nu,Nφ為位移場和相場的空間導數(shù)矩陣和形狀函數(shù)矩陣，?σ∕?ε為雅可比矩陣。

其次，采用交錯法分步求解公式(11)～(13)中的變量u和φ，即將平衡方程和相場演化方程當作2個獨立的方程分別進行求解。最后依托ABAQUS軟件平臺完成求解過程：首先在主程序中構建幾何模型并設置材料參數(shù)和邊界條件，其中：u0=0為初始位移，Δu為每個加載步的恒定位移增量(為保證計算精度，Δu盡可能取小)，uf為預設的加載總位移(為保證材料破壞，uf盡可能取大)，并計算應變張量ε；其次，將ε傳遞到子程序UMAT 中，在該子程序中通過定義本構方程?σ∕?ε(公式(13))并利用ε求解平衡方程(式(11))得到應力張量σ，并通過式(9)和(10)計算歷史場變量HI和HII；最后，將HI和HII傳遞到子程序HETVAL 中通過相場演化方程(式(12))計算出相場變量φ。如此循環(huán)，直到un=uf結(jié)束。

2 多裂紋擴展模擬計算

本文以單軸壓縮下含雙平行裂紋的紅砂巖試件作為算例，采用基于拉/壓應變能分解和球/偏應變能分解的2種復合型相場模型，分別模擬計算紅砂巖試件從裂紋起裂、擴展到貫通破壞全過程，并與試驗結(jié)果進行對比分析。

2.1 計算模型

如圖2 所示，紅砂巖試件尺寸為150 mm×150 mm×40 mm，內(nèi)含2 條與水平方向夾角為β=45°的平行裂紋AB 和CD，長度均為2a=30 mm，垂直間距為h=20 mm。2 條裂紋中心點連線沿裂紋方向的投影距離(簡稱中心點平行間距)分別為s=15 ，30 ，45 和60 mm。表1 列出了紅砂巖的基本力學性能參數(shù)，其中：彈性模型E和泊松比v由單軸壓縮試驗測得，I型斷裂韌度KIC由三點彎試驗測得，II 型斷裂韌度KIIC由剪切盒試驗測得，I 型、II型臨界能量釋放率(GIC、GIIC)根據(jù)I 型、II型斷裂韌度(KIC和IC)和彈性模量E計算得到(GC=K2C/E)，并設定相場數(shù)值參數(shù)為l=0.2 mm。采用下端固定的位移邊界條件、上端恒定位移的加載邊界形式，位移增量Δu=0.02 mm，最大位移uf=4.5 mm。選取平面應力單元(CPS4)進行網(wǎng)格劃分，并在2 條裂紋尖端附近細化網(wǎng)格(單元最小尺寸為0.1 mm)。

圖2 雙平行裂紋試件計算模型Fig. 2 Calculation model of the double-cracked specimen

表1 紅砂巖基本力學性能參數(shù)Table 1 Basic mechanical properties of the red sandstone

2.2 計算結(jié)果與分析

為了描述簡便，以下將基于拉/壓應變能分解的復合型相場模型簡稱為T/C-PFM(PFM 相場模型英文縮寫)，將基于球/偏應變能分解的復合型相場模型簡稱為V/D-PFM。

2.2.1 基于拉/壓應變能分解的復合型相場模型

圖3～6 為T/C-PFM 計算得到的單軸壓縮下含雙平行裂紋的紅砂巖試件裂紋擴展演變過程，其中黑色代表新萌生的裂紋(相場變量φ=1)，白色代表試件完好部分(相場變量φ=0)。

可見，當s較小時(s=15 mm)，4 個裂紋尖端同時出現(xiàn)翼裂紋(I 型)起裂并沿垂直于原裂紋面方向擴展(圖3(a)，3(b))；隨著荷載增加，裂紋尖端B和C處萌生了共面次生裂紋(II 型)并擴展至邊緣導致試件破壞(圖3(c)和3(d))，其中巖橋貫通模式為B和C尖端的翼裂紋分別擴展至D和A尖端(圖3(c))。

圖3 不同位移加載步下雙裂紋擴展數(shù)值模擬結(jié)果(s=15 mm)Fig. 3 Simulation results of the double-crack propagation under different loading steps (s=15 mm)

當s持續(xù)增大(s=30 mm，45 mm，60 mm)，首先仍在4個尖端處出現(xiàn)沿垂直于原裂紋面方向的翼裂紋(I 型)起裂擴展(圖4(a)～6(a))，而后發(fā)生不同形式的巖橋貫通模式：當s=30 mm 時，由B和C尖端處的翼裂紋分別擴展至C和B尖端形成貫通(圖4(b))；s=45 mm 和s=60 mm 時貫通模型相同，即由B和C尖端處2 條翼裂紋間出現(xiàn)新裂紋相向擴展至貫通(圖5(b)和6(b))。隨著加載繼續(xù)增加，在A和D尖端處出現(xiàn)共面次生裂紋(II 型)擴展至試件邊緣導致試件破壞(圖4(c)-4(d)-6(c)-6(d))?？梢?，隨s不斷增大，當2 條平行裂紋之間的相互影響逐漸變小，裂紋外尖端(A和D)的起裂破壞形式(圖4～6)趨近單裂紋單軸壓縮試驗結(jié)果[23-25]。

圖4 不同位移加載步下雙裂紋擴展數(shù)值模擬結(jié)果(s=30 mm)Fig. 4 Simulation results of the double-crack propagation under different loading steps (s=30 mm)

圖5 不同位移加載步下雙裂紋擴展數(shù)值模擬結(jié)果(s=45 mm)Fig. 5 Simulation results of the double-crack propagation under different loading steps (s=45 mm)

2.2.2 基于球/偏應變能分解的復合型相場模型

圖7～10 為V/D-PFM 計算得到的單軸壓縮下含雙平行裂紋的紅砂巖試件裂紋擴展過程，其中黑色代表新萌生的裂紋(相場變量φ=1)，白色代表試件完好部分(相場變量φ=0)。該模型模擬結(jié)果中裂紋起裂點、起裂擴展方向、二次裂紋種類和巖橋貫通破壞模式均不同于T/C-PFM 模擬結(jié)果。當s較小時(s=15 mm)，裂紋起裂點并非同時發(fā)生在2條裂紋的4個裂紋尖端(圖3(a))，而僅發(fā)生在2個裂紋尖端A和D處，且起裂擴展方向并非沿垂直于原裂紋面方向而是沿近似豎直方向(圖7(a))，但兩者均為翼裂紋(I 型)起裂。隨著荷載增加，在A和D處的翼裂紋擴展方向逐漸轉(zhuǎn)向平行于原裂紋面方向，并在裂紋尖端B和C處出現(xiàn)了反翼裂紋(II 型)擴展(圖7(b))而并非共面次生裂紋(圖3(c))；接著在A和D處的翼裂紋繼續(xù)擴展至試件邊緣，并且在A和D處出現(xiàn)反翼裂紋擴展(圖7(c))；最后的巖橋貫通是A和D處的反翼裂紋分別擴展至另一條裂紋尖端C和B處形成裂紋貫通而導致試件破壞(圖7(d))而非翼裂紋(圖3(d))。

圖6 不同位移加載步下雙裂紋擴展數(shù)值模擬結(jié)果(s=60 mm)Fig. 6 Simulation results of the double-crack propagation under different loading steps (s=60 mm)

圖7 不同位移加載步下雙裂紋擴展數(shù)值模擬結(jié)果(s=15 mm)Fig. 7 Simulation results of the double-crack propagation under different loading steps (s=15 mm)

圖8 不同位移加載步下雙裂紋擴展數(shù)值模擬結(jié)果(s=30 mm)Fig. 8 Simulation results of the double-crack propagation under different loading steps (s=30 mm)

圖9 不同位移加載步下雙裂紋擴展數(shù)值模擬結(jié)果(s=45 mm)Fig. 9 Simulation results of the double-crack propagation under different loading steps (s=45 mm)

圖10 不同位移加載步下雙裂紋擴展數(shù)值模擬結(jié)果(s=60 mm)Fig. 10 Simulation results of the double-crack propagation under different loading steps (s=60 mm)

當s=30 mm 時，在4個裂紋尖端處出現(xiàn)翼裂紋(I 型)起裂并沿近似豎直方向擴展，但A和D尖端處裂紋擴展更快(圖8(a)和8(b))；而后B和C處的翼裂紋逐漸擴展至另一條裂紋中間位置形成貫通，A和D處的翼裂紋擴展方向逐漸變?yōu)槠叫杏谠鸭y面方向(圖8(c))；最后A和D尖端處翼裂紋擴展至邊緣導致試件破壞(圖8(d))。隨著s繼續(xù)增大(s=45 mm 和60 mm)，裂紋起裂擴展至破壞的形式趨于穩(wěn)定(圖9～0)：在4 個裂紋尖端出現(xiàn)翼裂紋(I型)起裂并沿近似豎直方向擴展(圖9(a)和10(a))；接著尖端B和C處的翼裂紋相向擴展至貫通(圖9(b)和10(b))；當荷載繼續(xù)增加，在A和D處出現(xiàn)反翼裂紋(II型)擴展(圖9(c)和10(c))，最后A和D尖端處翼裂紋擴展方向逐漸轉(zhuǎn)向平行與原裂紋面的方向直至擴展到邊緣導致試件破壞(圖9(d)、10(d))。由圖4～6 和圖8～10 可以得出，隨著中心間距s的增大，2 種模型模擬結(jié)果的差異性(包括起裂擴展方向、二次裂紋種類和破壞模式)沒有明顯變化(同s=15 mm時情況)。

2.2.3 2種復合型相場模型模擬結(jié)果比較

關于裂紋起裂的比較：T/C-PFM 和V/D-PFM的模擬結(jié)果中均為翼裂紋(I 型)起裂，但起裂點與起裂擴展方向不同。前者兩條裂紋在不同的s情形下均為4個尖端同時沿著垂直于原裂紋面的方向起裂，后者并非同時起裂，當s較小時最先由2 個外尖端(A和D)出現(xiàn)翼裂紋起裂，當s較大時，2 個內(nèi)尖端(B和C)距離變近、相互影響變大，導致內(nèi)尖端(B和C)處起裂擴展更快(起裂擴展方向沿近似豎直方向)。

關于二次裂紋的比較：T/C-PFM 和V/D-PFM的模擬結(jié)果中次生裂紋雖然都為II型裂紋，但前者模擬出現(xiàn)的為共面二次裂紋，而后者模擬中出現(xiàn)的為反翼裂紋，這是因為2 種復合型相場模型的II型裂紋驅(qū)動力HII(式(16)和(17))的差別很大，前者認為受壓部分應變能不驅(qū)動II型裂紋擴展。

關于巖橋貫通與破壞模式的比較：當s較小時，T/C-PFM 和V/D-PFM 的模擬結(jié)果中雖然巖橋貫通的軌跡相同(均為尖端B和C分別于尖端D和A間形成貫通)，但前者為I 型裂紋貫通(圖3(d))，而后者為II 型裂紋貫通(圖7(d))。當s不斷增大，2 種相場模型模擬的巖橋貫通與試件的最終破壞形式都趨于穩(wěn)定：模擬結(jié)果均為2個內(nèi)尖端(B和C)產(chǎn)生裂紋相互貫通，但前者模擬結(jié)果的貫通裂紋是加載一段時間后在2個內(nèi)尖端(B和C)處新萌生的傾斜次生裂紋(圖6(b))，而后者模擬結(jié)果中的貫通裂紋為內(nèi)尖端(B和C)最先出現(xiàn)的翼裂紋相向擴展形成(圖10(b))。分析最后的破壞形式，前者模擬為共面次生裂紋擴展至試件邊緣導致最終破壞，而后者模擬則為翼裂紋擴展至邊緣導致最終破壞。

可見，雙平行裂紋的中心間距對裂紋的起裂點位置和起裂方向影響較小，均在4個裂紋尖端發(fā)生I 型起裂(形成4 條翼裂紋)，但對翼裂紋擴展導致的巖橋貫通模式和二次萌生裂紋(發(fā)生在原裂紋尖端)較大。當中心間距較小時，2條裂紋之間2組較近的尖端(A，C和B，D)干涉作用較大，形成了2 個應力場增強區(qū)而導致了2 組貫通裂紋，原裂紋外尖端因應力得到釋放而避免了二次裂紋萌生；當中心間距較大時，2 條裂紋之間僅較近的內(nèi)尖端(B和C)裂尖干涉作用較大，只產(chǎn)生了一個應力場增強區(qū)和內(nèi)尖端之間的一組貫通裂紋，2 個外尖端僅發(fā)生翼裂紋擴展對原裂尖的應力場影響較小，故較易出現(xiàn)二次萌生裂紋。中心間距對最后的破壞軌跡基本上無影響，均為2個裂紋外尖端的翼裂紋擴展導致試件破壞。

總之，上述2 種復合型相場模型均可模擬出I型和II 型裂紋擴展，但2 種模型驅(qū)動II 型裂紋擴展的II 型歷史場變量HII差別較大(見式(9)和(10))，從而導致模擬的II型裂紋形式明顯不同：T/C-PFM模擬出共面次生裂紋(擴展方向平行原裂紋面)，V/DPFM 模擬出反翼裂紋(擴展方向與翼裂紋方向相反)，2 種模型在模擬斷裂問題的有效性和適用范圍需要進一步試驗驗證。

3 試驗驗證

3.1 試驗方案

采用與2.1 計算模型相同的雙平行裂紋試件進行單軸壓縮試驗進行驗證。巖石材料選取產(chǎn)自云南楚雄市武定縣的紅砂巖，其基本力學參數(shù)同表1。試件尺寸為150 mm×150 mm×40 mm，采用水刀切割機預置不同中心水平間距s的雙平行裂紋(裂紋長30 mm，裂紋與水平方向夾角45°，s=15，30，45 和60 mm)。試驗設備為SANS 微機控制伺服剛性試驗機(圖11)，采用力控加載方式，加載速率為50 N/s，通過數(shù)碼相機拍攝記錄試件的最終破壞形式。

圖11 SANS微機控制伺服剛性試驗機Fig. 11 Computer control electro-hydraulic servo universal testing machine

3.2 試驗結(jié)果與分析

圖12 為單軸壓縮下含雙平行裂紋的紅砂巖試件斷裂軌跡。當s=15 mm時(圖12(a))，雙平行裂紋間相互作用影響明顯，只在A尖端處出現(xiàn)翼裂紋(I型)擴展，并且起裂擴展方向受裂紋間相互作用影響近似為豎直方向，D處因為巖石不均勻性未出現(xiàn)對稱翼裂紋。并且在4個裂紋尖端均出現(xiàn)了與反翼裂紋(II 型)擴展，最后A和D尖端處的反翼裂紋分別擴展至C和B尖端處形成巖橋貫通。當s增大時斷裂軌跡發(fā)生改變(s=30 mm，圖12(b))，首先在B，C和D尖端處均萌生翼裂紋起裂并沿近似垂直于原裂紋面方向擴展，其次在4個尖端處都出現(xiàn)了反翼裂紋擴展，值得注意的是A尖端除了出現(xiàn)了反翼裂紋還出現(xiàn)了共面次生裂紋，這說明2 種II型裂紋都是合理的，但該試驗中反翼裂紋更易萌生。巖橋貫通模型變?yōu)閮?nèi)側(cè)尖端(B和C)的翼裂紋擴展至另一條裂紋形成貫通破壞。隨著s的繼續(xù)增大(圖12(c)和12(d))裂紋間相互作用影響變小，試驗的斷裂軌跡變得相似：4 個尖端均會出現(xiàn)翼裂紋起裂并沿近似垂直于裂紋面方向擴展，在裂紋外尖端(A和D)會出現(xiàn)反翼裂紋和共面次生裂紋(圖12(c))。裂紋間巖橋貫通模式為B和C尖端的翼裂紋相向擴展至貫通形成破壞。

圖12 紅砂巖試件斷裂軌跡試驗結(jié)果(不同的中心平行間距s)Fig. 12 Fracture trajectories of the double-cracked sandstone specimen (with different s)

3.3 試驗結(jié)果與模擬結(jié)果對比分析

對比分析試驗與模擬結(jié)果，當s較小時，2 種相場模型都能模擬出試驗中2 個外尖端的翼裂紋(I型)擴展，但相比于前者，后者成功地模擬出4 個尖端的反翼裂紋，并且?guī)r橋貫通模式也與試驗相同均為反翼裂紋貫通。當s=30 mm 時，T/C-PFM和V/D-PFM 2種模型成功模擬出4個裂紋尖端處的翼裂紋擴展；并且2種相場模型模擬的巖橋貫通模式與試驗吻合均為內(nèi)尖端的翼裂紋(I 型裂紋)相互擴展至另一條裂紋處形成貫通。隨著s的繼續(xù)增大(s=45 mm 和60 mm)，后者模擬的結(jié)果與試驗結(jié)果更為貼合，可以準確地模擬出2 個外尖端的翼裂紋、反翼裂紋的擴展和2 個內(nèi)尖端之間的翼裂紋貫通。

綜上所述，2 種復合型相場模型均能較好地模擬單軸壓縮下含雙裂隙巖石試件的I 型、II 型裂紋擴展，但V/D-PFM 模型比T/C-PFM 模型能更準確地模擬出雙裂紋外尖端(A和D)的II 型裂紋擴展軌跡(反翼裂紋)和雙裂紋內(nèi)尖端(B和C)的巖橋貫通軌跡(翼裂紋直接擴展貫通)。這是因為T/C-PFM 模型僅考慮了拉應變能對II型裂紋擴展的影響，而實際上壓應變能也將影響II 型裂紋擴展；V/D-PFM 模型因同時考慮拉、壓應變能對II型裂紋擴展的影響而更具有優(yōu)越性。

4 結(jié)論

1) 基于能量斷裂F-準則，給出了基于球/偏應變能分解的復合型相場模型；通過自行設計ABAQUS 軟件的本構子程序UMAT 和驅(qū)動相場變量演化子程序HETVAL，建立了基于拉/壓和球/偏應變能分解2 種復合型相場模型的交錯求解方法，實現(xiàn)了復雜環(huán)境下多裂紋擴展模擬。

2) 2 種復合型相場模型模擬的雙平行裂紋具有相同的起裂機理(I 型)和擴展機理(II 型)、不同的起裂點位置和方向(T/C-PFM 模型為4 個裂紋尖端同時沿垂直于原裂紋面方向起裂擴展、V/D-PFM 模型為2 個裂紋外尖端沿豎直方向起裂擴展)、二次萌生裂紋擴展軌跡(T/C-PFM 模擬為共面次生裂紋、V/D-PFM 模型為反翼裂紋)和巖橋貫通軌跡(T/CPFM模型為2個內(nèi)尖端的翼裂紋之間出現(xiàn)新裂紋擴展貫通、V/D-PFM 模型為2 條翼裂紋相向擴展貫通。

3) 采用2種復合型相場模型模擬分析了平行裂紋的中心間距對裂紋擴展全過程的影響規(guī)律，即中心間距對裂紋起裂點位置和起裂方向(I 型翼裂紋)影響較小，但影響巖橋貫通軌跡(如間距較小時，相鄰的2 組裂紋尖端相向擴展為2 條貫通裂紋；間距較大時，相鄰的一組內(nèi)裂紋尖端相向擴展為一條貫通裂紋)和二次萌生裂紋(如間距較小時出現(xiàn)在2 個內(nèi)尖端、間距較大時出現(xiàn)在2 個外尖端)。最后的破壞軌跡基本上不受中心間距的影響，均為2個裂紋外尖端的翼裂紋擴展導致試件破壞。

4) 通過開展不同中心水平間距s下含雙平行裂紋的紅砂巖試件單軸壓縮試驗，驗證了2種復合型相場理論模型均能有效地模擬巖石多裂紋I 型、II型裂紋擴展，但基于球/偏應變能分解的復合型相場模型模擬的反翼裂紋(II 型)擴展軌跡和巖橋貫通軌跡(2 條翼裂紋相向擴展貫通)與試驗結(jié)果更為吻合，更適合于復雜加載條件下多裂紋擴展行為模擬。