面向廓形質(zhì)量的鋼軌打磨模式優(yōu)化決策方法

姜曼，楊岳，丘文生，鄧銀強(qiáng)

(1. 中南大學(xué) 交通運輸工程學(xué)院，湖南 長沙 410075；2. 廣鐵鐵路(集團(tuán))公司 廣州大型養(yǎng)路機(jī)械運用檢修段，廣東 廣州 511400)

鋼軌打磨是改善輪軌關(guān)系、提升列車運行品質(zhì)、改善與消除病害的主要技術(shù)手段，通過鋼軌打磨可以有效去除鋼軌表面損傷缺陷，使輪軌匹配關(guān)系恢復(fù)至理想狀態(tài)[1-3]，延長鋼軌的使用壽命。目前，現(xiàn)場鋼軌打磨作業(yè)大多依靠工程技術(shù)人員的經(jīng)驗，根據(jù)服役鋼軌廓形病害類型從已有打磨模式庫中選取合適的打磨模式，受到主觀經(jīng)驗的影響，對于同一條打磨線路，可能會出現(xiàn)多種打磨策略[4-5]，這不僅增大了作業(yè)的工作量，而且無法準(zhǔn)確控制鋼軌打磨質(zhì)量，嚴(yán)重時可能導(dǎo)致不良廓形的出現(xiàn)，對列車運行安全造成重大影響。因此，科學(xué)合理地確定打磨模式成為鋼軌打磨領(lǐng)域的熱點研究問題，UHLMANN 等[6-7]分析了鋼軌打磨的影響因素，通過對比不同工藝參數(shù)組合對打磨結(jié)果的影響，提出了符合鋼軌打磨條件的鋼軌打磨策略；GRASSIE[8]綜合考量打磨周期、作業(yè)質(zhì)量及經(jīng)濟(jì)性的影響，提出了RCF(Rolling Contact Fatigue)方法，該方法對鋼軌波磨和內(nèi)側(cè)剝落等問題起到了改善作用。王軍平[9-11]等對打磨量與打磨參數(shù)進(jìn)行了研究，在此基礎(chǔ)上建立了打磨列車在不同打磨角度和打磨功率下的數(shù)值計算模型，實現(xiàn)了打磨模式的個性化生成。上述方法均在一定程度上提高了打磨模式與待打磨鋼軌的匹配度，但受實際線路情況復(fù)雜、打磨列車車型不同、各區(qū)段鋼軌的實際廓形或病害差異等因素的影響，按照現(xiàn)有研究方法或人工選擇的打磨模式進(jìn)行鋼軌打磨，形成的鋼軌實際廓形往往不能很好地與鋼軌目標(biāo)廓形匹配，因此亟需研究一種考慮線路實際情況、面向廓形質(zhì)量的鋼軌打磨模式?jīng)Q策方法。由于打磨模式的優(yōu)劣取決于打磨后鋼軌廓形的質(zhì)量，因此本文以鋼軌打磨廓形質(zhì)量指數(shù)(GQI，Grinding Quality Index)作為評判打磨模式優(yōu)劣的指標(biāo)，采用NURBS 自由曲線造型方法描述鋼軌打磨前后的廓形，通過分析鋼軌打磨列車多個砂輪對鋼軌的作用機(jī)理，構(gòu)建包含打磨模式參數(shù)的鋼軌打磨廓形預(yù)測模型，實現(xiàn)鋼軌打磨廓形及其質(zhì)量指數(shù)GQI 的準(zhǔn)確預(yù)測；在此基礎(chǔ)上，設(shè)計鋼軌打磨模式優(yōu)化決策算法，實現(xiàn)最優(yōu)鋼軌打磨模式的快速科學(xué)決策，從而有效控制鋼軌打磨質(zhì)量，提升鋼軌打磨模式的決策效率。

1 基于NURBS 的鋼軌打磨廓形質(zhì)量指數(shù)計算

1.1 鋼軌廓形的NURBS描述

鋼軌廓形曲線是鋼軌打磨廓形質(zhì)量指數(shù)數(shù)值計算的重要依據(jù)，由于服役中的鋼軌在輪軌作用力及自然環(huán)境的影響下廓形形狀復(fù)雜，特征點缺失，普通曲線擬合方法難以支持鋼軌打磨質(zhì)量評估過程中的指標(biāo)計算，NURBS 曲線擬合方法用非均勻樣條替代了傳統(tǒng)短線段，在幾何精度、連續(xù)性和代碼長度等方面都具有更高的優(yōu)越性[12]。一條三次NURBS曲線定義為[13]：

其中u為節(jié)點矢量，Ni，3(u)為B 樣條基函數(shù)，ωi為權(quán)因子，di為控制頂點，i=0， 1， 2， …，n。

提取鋼軌軌頭斷面廓形的坐標(biāo)信息Pi{xi，yi} (i=0， 1， 2， …，n)作為構(gòu)建NURBS曲線的型值點，用來進(jìn)行軌頭斷面廓形的NURBS 曲線的反向求解，其對應(yīng)的節(jié)點矢量為由弦長參數(shù)化法和Cox-deBoor 遞推公式[13]計算得到B樣條基函數(shù)，由此建立求解控制頂點di的目標(biāo)方程組：

更改權(quán)因子可以實現(xiàn)曲線的局部修改，初始權(quán)因子取1，由控制頂點di與B 樣條基函數(shù)即可構(gòu)建符合打磨后鋼軌軌頭斷面廓形特點的NURBS 參數(shù)模型C1(u)。

1.2 鋼軌打磨廓形質(zhì)量指數(shù)的計算

鋼軌打磨廓形質(zhì)量指數(shù)可以定量反映鋼軌打磨后斷面廓形與打磨目標(biāo)廓形的偏差，以此衡量不同鋼軌打磨模式的打磨質(zhì)量[14]，偏差的準(zhǔn)確計算是求解GQI的核心。如圖1所示，鋼軌的非工作側(cè)邊LZ與鋼軌下顎角CZ具有較明顯的形狀特征且受到的損傷較小，以2個線段為基準(zhǔn)，將鋼軌打磨后斷面廓形與打磨目標(biāo)廓形對齊。按照測點選取準(zhǔn)則[14]在打磨目標(biāo)廓形的軌頂和工作邊的軌側(cè)上選取N個采樣點，相鄰采樣點的橫坐標(biāo)數(shù)字化增量為0.7 mm，采樣點Pi處的法線與打磨后斷面廓形曲線CL(u)有且僅有一個交點Qi，交點與采樣點間的距離|PiQi|即為打磨后斷面廓形在采樣點處的偏差。

圖1 鋼軌廓形質(zhì)量指數(shù)計算基本原理Fig. 1 Calculation principle of rail profile quality index

偏差|PiQi|小于某一閾值Δ 的采樣點總數(shù)記為nr＜Δ，則鋼軌打磨廓形質(zhì)量指數(shù)GQI 的基本計算公式為：

準(zhǔn)確計算打磨后斷面廓形和打磨目標(biāo)廓形的偏差是精確計算GQI的關(guān)鍵步驟，為便于N個采樣點處法線方程的連續(xù)計算，利用采樣點坐標(biāo)信息構(gòu)建打磨目標(biāo)廓形的NURBS 模型CT(u)，對于3 次NURBS 參數(shù)曲線CT(u)，在任意一點ui處的1 階導(dǎo)矢是：

則第i個采樣點(xi，yi) 處的法線方程為：y-yi=-(x-xi)/C'(u)，若(m0i，n0i)和(m1i，n1i)分別為法線方程上確定的2點參數(shù)坐標(biāo)，dui和dvi為廓形曲線CL(u)的控制頂點，則求解交點Qi(u，v)的目標(biāo)函數(shù)應(yīng)為[11]：

其中，F(xiàn)(t)為含有B 樣條基函數(shù)的非線性方程，應(yīng)用區(qū)間分析的思想[15]，利用方向包圍盒(OBB，Oriented bounding box)算法快速定位含有交點的包圍盒，將其作為區(qū)間迭代的預(yù)設(shè)區(qū)間，在預(yù)設(shè)區(qū)間內(nèi)應(yīng)用Newton 區(qū)間迭代算法進(jìn)一步求解交點區(qū)間，在交點區(qū)間內(nèi)給定初值，通過牛頓迭代法求出零點，即采樣點處法線與打磨后斷面廓形曲線的交點Qi。依次計算N個采樣點處的偏差|PiQi|，設(shè)定閾值Δ，篩選出符合|PiQi| ＜Δ 的采樣點個數(shù)nr＜Δ，代入式(3)即可求得打磨后的鋼軌打磨廓形質(zhì)量指數(shù)GQI。

2 面向鋼軌打磨廓形質(zhì)量指數(shù)的打磨模式優(yōu)化決策

2.1 鋼軌打磨模式及打磨過程分析

鋼軌打磨列車是鋼軌打磨施工的主要技術(shù)裝備，其在每股鋼軌上方設(shè)有24 個可調(diào)整角度的打磨砂輪，打磨砂輪的擺角、排列順序、打磨功率等工藝參數(shù)均可進(jìn)行調(diào)整，這些工藝參數(shù)的組合可以編制為不同的打磨模式，改變砂輪擺角、打磨功率及其排列順序這3個打磨模式參數(shù)，可以控制砂輪的打磨狀態(tài)。針對不同種類的鋼軌病害，鐵路養(yǎng)護(hù)部門根據(jù)鋼軌的最終打磨狀態(tài)將打磨模式進(jìn)行分組，在打磨施工前需根據(jù)鋼軌的病害從相應(yīng)的打磨模式組中選出一種打磨模式進(jìn)行作業(yè)。

圖2 為打磨列車的工作過程示意圖，如圖所示，砂輪沿鋼軌呈縱向排列，單個磨頭砂輪與鋼軌軌頭部分接觸，砂輪以轉(zhuǎn)速n旋轉(zhuǎn)，在正壓力Fn的作用下對鋼軌進(jìn)行磨削作業(yè)。若列車行進(jìn)速度vt和打磨功率P恒定，當(dāng)打磨時間t足夠小時，砂輪直接作用于鋼軌斷面廓形，砂輪在鋼軌斷面上的磨削面積S為S=K0P34/v5/4t，K0是在行進(jìn)速度v0，打磨功率p0時進(jìn)行的磨削實驗后確定的常量，因此打磨功率P可用目標(biāo)磨削面積Sy表示，由此打磨模式可通過設(shè)定砂輪擺角、排列順序及目標(biāo)磨削面積來控制。

圖2 鋼軌打磨過程示意圖Fig. 2 Diagramatic sketch of rail grinding process

2.2 面向打磨模式的鋼軌打磨廓形質(zhì)量指數(shù)預(yù)測

從2.1 小節(jié)的分析可知，鋼軌的最終打磨狀態(tài)由所選擇的打磨模式?jīng)Q定，通過預(yù)測并對比采用模式組內(nèi)不同打磨模式進(jìn)行作業(yè)后的鋼軌打磨廓形質(zhì)量指數(shù)，即可從模式組中篩選出最適合待打磨鋼軌的打磨模式。由1.2 小節(jié)可知，GQI 利用打磨后斷面廓形與打磨目標(biāo)廓形的偏差通過公式(3)進(jìn)行求解，在尚未打磨的情況下無法對GQI 進(jìn)行計算，因此實現(xiàn)對打磨后鋼軌斷面廓形的精確預(yù)測是對比GQI進(jìn)而確定最優(yōu)打磨模式的前提。

為實現(xiàn)打磨后鋼軌斷面廓形的預(yù)測，從幾何角度分析單個砂輪的打磨過程的數(shù)學(xué)關(guān)系，將多個砂輪的打磨過程簡化為單個砂輪以打磨模式設(shè)定的擺角順序和功率循環(huán)作業(yè)于同一鋼軌斷面[16]。單個砂輪與鋼軌軌頭的接觸幾何關(guān)系如圖3所示。

圖3 打磨砂輪與鋼軌軌頭幾何關(guān)系Fig. 3 Geometric relationship between grinding wheel and rail head

擺角為θ的打磨砂輪底部在鋼軌斷面上投影為一段直線段，起始位置為A'B'，在C'點與鋼軌廓形相切，打磨砂輪以一定進(jìn)給步長對鋼軌斷面進(jìn)行磨削，即直線段沿砂輪軸線MN從初始位置A'B'不斷移動到AB，移動的距離為打磨深度d，砂輪與廓形重疊的陰影部分為目標(biāo)磨削面積Sy[17]。圖4 陰影部分為第i個砂輪在鋼軌斷面上的實際磨削面積Si，設(shè)定砂輪打磨功率下的目標(biāo)磨削面積為Siy，若Si與Siy的差值滿足|Siy-Si|≤ε時，砂輪停止沿MN方向的進(jìn)給，結(jié)束單個砂輪的打磨作業(yè)。

圖4 打磨后斷面廓形預(yù)測的基本原理Fig. 4 Basic principle of profile prediction after grinding

為求解實際磨削面積Si，構(gòu)建鋼軌斷面廓形的NURBS曲線模型C0(u)，則磨削面積的求解可以轉(zhuǎn)化為NURBS 曲線與直線的積分差值計算，鋼軌廓形曲線與砂輪底部端線相交于A 和B2 點，其節(jié)點矢量為ua和ub，為提高計算效率，將內(nèi)節(jié)點區(qū)間[ui，ui+1]∈[ua，ub]內(nèi)的NURBS 曲線轉(zhuǎn)化為Bézier 曲線， 單段 Bézier 曲線參數(shù)形式為Pi(t)=(x(t))，y(t))，0 ≤t≤1， 對應(yīng)的4 個權(quán)因子為{ωi0，ωi1，ωi2，ωi3}，控制頂點為{di0，di1，di2，di3}，單段Bézier曲線以多項式形式表示為：

則內(nèi)節(jié)點區(qū)間[ui，ui+1](對應(yīng)參數(shù)區(qū)間[lr，lr+1])內(nèi)的打磨面積為：

單個砂輪磨削面積Si可以由區(qū)間[ua，ub]范圍內(nèi)的內(nèi)節(jié)點區(qū)間打磨面積累計求得，經(jīng)過打磨后的鋼軌斷面廓形由直線段AB及其兩端初始斷面廓形組成，以測點選取準(zhǔn)則在直線段AB上提取采樣點，更新鋼軌斷面廓形NURBS曲線Ci(u)。若磨削面積Si滿足|Siy-Si|≤ε，根據(jù)打磨模式參數(shù)中設(shè)定的砂輪排列順序，下一個砂輪繼續(xù)進(jìn)行作業(yè)，直到24個砂輪全部作用完成，最終的廓形曲線C24(u)即為圖1中的鋼軌打磨后斷面廓形，由此實現(xiàn)了鋼軌打磨后斷面廓形的預(yù)測。結(jié)合1.2 所提出的GQI數(shù)值計算方法，在鋼軌打磨目標(biāo)廓形上選取N個采樣點，依次計算采樣點處鋼軌打磨后斷面廓形與打磨目標(biāo)廓形的偏差，代入公式(2)即可求解GQI，從而評估打磨模式的打磨質(zhì)量。

2.3 鋼軌打磨模式優(yōu)化決策算法

針對同一類鋼軌病害，相應(yīng)模式組中的多種打磨模式均具有改善作用，但打磨效果因鋼軌表面損傷情況不同有所差異，為最大限度修復(fù)鋼軌損傷、延長鋼軌壽命，需要從多種打磨模式中篩選出最適合當(dāng)前鋼軌的打磨模式。鋼軌打磨廓形質(zhì)量指數(shù)可以量化打磨模式與待打磨鋼軌的匹配程度，通過對比不同打磨模式下的GQI，即可為不同損傷情況的待打磨鋼軌篩選出最優(yōu)打磨模式。鋼軌打磨模式?jīng)Q策本質(zhì)上是不同打磨模式下的GQI尋優(yōu)的過程，首先需要構(gòu)建鋼軌打磨模式尋優(yōu)過程的穩(wěn)定數(shù)學(xué)模型。以鋼軌打磨廓形質(zhì)量指數(shù)為打磨質(zhì)量的評價指標(biāo)，建立如式(8)的鋼軌打磨模式的尋優(yōu)函數(shù)：

式中：Mj為模式組中的第j種打磨模式，記為Mj(αi，Siy，)(i=1，2，…，24;j=1，2，…，M)， 其 中αi(i=1，2，…，24)為砂輪擺角，Siy(i=1，2，…，24)為砂輪目標(biāo)打磨面積。

對于同一鋼軌斷面，打磨列車底部24 個砂輪以其縱向排列順序依次對其作用，以砂輪底面直線推進(jìn)模擬砂輪作用過程，單個角度砂輪完成打磨后更新鋼軌廓形，以便下一個角度砂輪計算，直至所有砂輪完成打磨過程，根據(jù)最終的鋼軌打磨斷面廓形計算當(dāng)前打磨模式下的GQI，更換打磨模式參數(shù)，計算j種打磨模式下的GQI，最大值對應(yīng)的打磨模式即為最優(yōu)打磨模式?；谝陨戏治?，可形成如下的鋼軌打磨模式優(yōu)化決策算法：

1) 輸入待打磨鋼軌廓形離散數(shù)據(jù)，構(gòu)建鋼軌斷面初始廓形NURBS曲線表達(dá)式C0(u)。

2) 判斷待打磨鋼軌的主要病害，從鋼軌打磨模式庫中讀取與之匹配的M種打磨模式，模式參數(shù)為Mj(αi，Siy)(i=1，2，…，24;j=1，2，…，M)。

3) 根據(jù)第j種打磨模式，設(shè)定打磨模式參數(shù)，砂輪序號為i，砂輪擺角為αi，構(gòu)造砂輪底面直線參數(shù)化方程Li，砂輪直線推進(jìn)步長h，目標(biāo)打磨面積為Siy，誤差閾值為ε。

4) 砂輪直線以步長h推進(jìn)，計算鋼軌斷面廓形曲線與砂輪底面直線Li圍成的磨削面積Si。若|Siy-Si|≤ε，則更新打磨后的廓形曲線Ci(u)，反之，推進(jìn)步長迭加，重新計算Si。

5) 更新砂輪序號，重復(fù)執(zhí)行3)至24 次，得到24 個砂輪打磨后的鋼軌廓形曲線C24(u)，計算該打磨模式下的鋼軌打磨廓形質(zhì)量指數(shù)GQIj。

6) 更新打磨模式，重復(fù)執(zhí)行3)～5)，將M個打磨廓形質(zhì)量指數(shù)由大到小排序，其排列順序即為優(yōu)化決策排序，排名第1的打磨模式即為當(dāng)前鋼軌打磨作業(yè)中的理論最優(yōu)打磨模式。

3 鋼軌打磨模式優(yōu)化決策實例分析

3.1 鋼軌斷面廓形數(shù)據(jù)采集

為驗證鋼軌打磨模式優(yōu)化決策算法的有效性，以京廣線岳陽段某一位置的一段已產(chǎn)生病害的鋼軌為實驗對象，應(yīng)用SmartRay 非接觸式鋼軌廓形激光檢測裝置對打磨作業(yè)前鋼軌斷面的實際廓形進(jìn)行測量，圖5為現(xiàn)場實驗圖，激光線對應(yīng)的測量數(shù)據(jù)即為鋼軌廓形原始坐標(biāo)信息。

圖5 鋼軌數(shù)據(jù)采集實驗現(xiàn)場Fig. 5 Experimental site of rail profile data acquisition

實驗中采集的數(shù)據(jù)點數(shù)量巨大，為提高計算效率，結(jié)合鋼軌數(shù)據(jù)點的曲率信息，應(yīng)用k-余弦曲率采樣法對鋼軌廓形原始數(shù)據(jù)進(jìn)行篩選。如圖6為篩選后的鋼軌廓形數(shù)據(jù)點，可以看出，軌頭左側(cè)軌距角處磨損較少，為圓滑曲線，右側(cè)軌距角處出現(xiàn)尖角狀凸起，為輪軌作用所形成的肥邊，因此該段鋼軌出現(xiàn)的主要傷損類型為肥邊。

圖6 篩選后的鋼軌廓形數(shù)據(jù)Fig. 6 Filtered rail profile data

3.2 鋼軌打磨模式?jīng)Q策

根據(jù)該病害情況，從打磨模式庫中選取針對肥邊的7種打磨模式，如圖7所示，其中：圖7(a)，7(c)為打磨1車的41號、45號、47號和49號4種打磨模式的參數(shù)，圖7(b)，7(d)為打磨5 車的42 號、46 號和48 號3 種打磨模式的參數(shù)，圖中每條曲線代表了一種打磨模式；由圖7(a)和7(b)可以看出：砂輪打磨功率集中分布在55，60 和65 kW，打磨功率越大打磨能力越強(qiáng)；由圖7(c)和7(d)可以看出：砂輪擺角主要分布在40°至50°。

圖7 肥邊修復(fù)打磨模式參數(shù)Fig. 7 Grinding pattern parameters of fat edge repair

針對鋼軌肥邊病害的4 種典型打磨模式，即：41&42 號、45&46 號、47&48 號(組合打磨模式)和49 號(單打磨模式)，對圖6 所示的篩選后鋼軌廓形離散點進(jìn)行NURBS 建模，將其作為算法初始模型，應(yīng)用3.3 節(jié)所述的鋼軌打磨模式優(yōu)化決策算法，計算得到4種打磨模式下的鋼軌打磨廓形質(zhì)量指數(shù)及打磨模式優(yōu)化決策排序，結(jié)果如表1 所示，可以看出47&48號為最優(yōu)打磨模式。

表1 不同打磨模式下鋼軌打磨廓形質(zhì)量指數(shù)Table 1 GQI in different grinding patterns

應(yīng)用2.1和2.2節(jié)所述的方法，計算4種打磨模式下的鋼軌打磨廓形與目標(biāo)廓形的偏差并對其進(jìn)行可視化，如圖8所示，可以看出，肥邊打磨模式下砂輪主要作用于鋼軌軌頭內(nèi)側(cè)，主要打磨偏差集中于廓形橫坐標(biāo)為[20, 36]區(qū)域，打磨模式47&48號對應(yīng)的鋼軌打磨廓形偏差最小。

圖8 不同打磨模式下鋼軌打磨廓形與目標(biāo)廓形偏差圖Fig. 8 Deviation diagram of rail grinding profile and target profile under different grinding patterns

分別采用以上4 種打磨模式進(jìn)行鋼軌打磨實驗，并對打磨后的鋼軌廓形進(jìn)行檢測，實驗結(jié)果表明，采用打磨模式47&48 號的打磨廓形與打磨目標(biāo)廓形最為接近，說明本文方法滿足鋼軌打磨的實際工程需求，從而實現(xiàn)鋼軌打磨模式的最優(yōu)決策。

4 結(jié)論

1) 提出一種基于NURBS 的鋼軌打磨廓形質(zhì)量指數(shù)的精確計算方法。采用NURBS 曲線擬合方法構(gòu)建鋼軌斷面廓形參數(shù)模型，推導(dǎo)了GQI 求解函數(shù)關(guān)系，利用方向包圍盒和區(qū)間迭代算法進(jìn)行了精確求解。

2) 提取了打磨列車作用于鋼軌時砂輪與鋼軌廓形接觸的數(shù)學(xué)關(guān)系，并依此設(shè)計了一種以砂輪擺角和打磨功率為變量的鋼軌打磨廓形預(yù)測算法，實現(xiàn)了不同打磨模式下的鋼軌打磨廓形預(yù)測。

3) 以GQI 為評判指標(biāo)，設(shè)計一種鋼軌打磨模式優(yōu)化決策算法。通過構(gòu)建鋼軌打磨模式的尋優(yōu)函數(shù)，結(jié)合鋼軌打磨模式參數(shù)，應(yīng)用NURBS 數(shù)值計算方法，實現(xiàn)了鋼軌打磨模式的優(yōu)化決策。

4) 進(jìn)行鋼軌打磨模式優(yōu)化決策算法的實驗驗證。通過采集某區(qū)段肥邊病害情況下的鋼軌廓形數(shù)據(jù)，對4種打磨模式下的鋼軌打磨廓形及GQI進(jìn)行預(yù)測，并對打磨模式進(jìn)行最優(yōu)決策，驗證了本文方法是切實可行的。