情境—專題—多元：數(shù)學(xué)符號(hào)意識(shí)進(jìn)階之道

來 崢|浙江省杭州市安吉路教育集團(tuán)新天地實(shí)驗(yàn)學(xué)校

在解決包含字母的數(shù)學(xué)問題時(shí)，初中生往往存在較強(qiáng)的畏懼心理，通常這是由數(shù)學(xué)符號(hào)意識(shí)缺失造成的.因此，教師應(yīng)盡可能地利用各種知識(shí)載體，促使學(xué)生積累數(shù)學(xué)符號(hào)應(yīng)用的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，并感悟其中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想.下面，筆者以浙教版義務(wù)教育教科書《數(shù)學(xué)》（以下簡(jiǎn)稱“浙教版教材”）的教學(xué)為例，從情境化、專題化、多元化三個(gè)方面，談?wù)勗诮虒W(xué)中滲透數(shù)學(xué)符號(hào)意識(shí)的一些理解與思考.

一、導(dǎo)入情境化，激發(fā)符號(hào)學(xué)習(xí)的興趣

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022 年版）》（以下簡(jiǎn)稱“《課程標(biāo)準(zhǔn)》”）提出：能夠從實(shí)際情境問題中抽象出核心變量、變量的規(guī)律及變量之間的關(guān)系，并能夠用數(shù)學(xué)符號(hào)予以表達(dá).相對(duì)于“數(shù)”，用符號(hào)表達(dá)和運(yùn)算比較抽象，學(xué)生不易理解，如果只是讓學(xué)生機(jī)械地進(jìn)行練習(xí)和記憶，會(huì)造成學(xué)生對(duì)符號(hào)的恐懼和排斥.因此，教師要盡可能地在實(shí)際的問題情境中幫助學(xué)生理解符號(hào)及表達(dá)式、關(guān)系式的意義，在解決實(shí)際問題的過程中培養(yǎng)學(xué)生的符號(hào)感.在課堂教學(xué)中，教師要還原知識(shí)產(chǎn)生的情境，引導(dǎo)學(xué)生適應(yīng)知識(shí)真實(shí)的樣態(tài).枯燥、單一、乏味的符號(hào)，只有真正融合到生活情境，才會(huì)被賦予豐富的內(nèi)涵，才能活力四射、靈性十足［1］.

（一）感受符號(hào)表達(dá)之簡(jiǎn)

浙教版教材七年級(jí)上冊(cè)第4 章第1 節(jié)《用字母表示數(shù)》是學(xué)生初次體驗(yàn)用字母表示數(shù)的意義，如何讓學(xué)生接納這個(gè)新事物很關(guān)鍵.教材提供了兩個(gè)實(shí)際背景——兒歌和單價(jià)問題，筆者認(rèn)為它們不足以吸引學(xué)生的注意力，因此借助游戲《我知你心》引入.

學(xué)生在心中默想一個(gè)數(shù)字，把這個(gè)數(shù)加上2，再把它們的和乘以3，減去一開始默想的數(shù)，最后減去6，只要學(xué)生報(bào)出結(jié)果，教師就能猜到學(xué)生心中的數(shù).

在筆者連續(xù)猜中幾個(gè)學(xué)生的答案后，學(xué)生大呼神奇，非常好奇筆者是怎么做到的.于是，筆者揭秘游戲過程其實(shí)可以用代數(shù)式（a+2）×3-a-6＝2a來表示，讓學(xué)生感受這里的a可以代替一切數(shù)，體會(huì)字母代表數(shù)的意義，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)符號(hào)的興趣.接著列舉“日歷中的秘密”“商場(chǎng)里的秘密”等生活中的情境，讓學(xué)生嘗試用字母去表示規(guī)律，發(fā)現(xiàn)生活中處處有符號(hào)，并體會(huì)符號(hào)的簡(jiǎn)潔和魅力.

（二）體現(xiàn)符號(hào)表達(dá)之美

在浙教版教材九年級(jí)上冊(cè)第4 章第1 節(jié)《比例線段》的教學(xué)中，筆者先讓學(xué)生欣賞相關(guān)圖片，然后從“雷峰塔位于南山路水岸線與蘇堤間的黃金分割點(diǎn)”導(dǎo)入，啟發(fā)學(xué)生通過設(shè)元解一元二次方程計(jì)算黃金比，得到0.618 這個(gè)美妙的結(jié)論.又如數(shù)軸作為特定的幾何圖形，本質(zhì)上也是一種數(shù)學(xué)符號(hào)，學(xué)生認(rèn)識(shí)了數(shù)軸后，就可以將正數(shù)、零、負(fù)數(shù)區(qū)別開來，理解數(shù)形統(tǒng)一，感知數(shù)學(xué)符號(hào)的統(tǒng)一美［2］.

（三）凸顯符號(hào)表達(dá)之優(yōu)

學(xué)習(xí)方程的初始階段，部分優(yōu)等生仍喜歡采用小學(xué)的算術(shù)方法，他們認(rèn)為用算術(shù)法解題快，并且可以避免設(shè)元這個(gè)環(huán)節(jié).如何讓學(xué)生主動(dòng)并且喜愛用方程思想來解題呢？筆者挑選了一些用算術(shù)方法有障礙的題，如把“雞兔同籠”問題進(jìn)行改編：“雞兔同籠，有20 個(gè)頭，兔腳比雞腳多32 只，問雞和兔各有幾只？”選擇假設(shè)法的學(xué)生往往得出錯(cuò)誤的答案，而采用方程思想的學(xué)生則順利解出正確答案.二者一對(duì)比，就凸顯出方程思想的直觀易懂、列式方便等優(yōu)點(diǎn)，使學(xué)生體會(huì)到用代數(shù)方法解決問題的優(yōu)越性，從而自然地接納符號(hào)意識(shí).

二、學(xué)習(xí)專題化，體會(huì)符號(hào)學(xué)習(xí)的意義

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022 年版）解讀》指出：初中階段應(yīng)進(jìn)一步發(fā)展符號(hào)意識(shí)，理解代數(shù)是算術(shù)的一般化，能用代數(shù)方法解決問題；理解字母符號(hào)的各種意義與使用規(guī)則；能夠利用字母系數(shù)表示一般的方程與不等式，并給出一類方程的一般解［3］.由于初中的課程內(nèi)容不以培養(yǎng)學(xué)生符號(hào)意識(shí)為教學(xué)目標(biāo)，因此教師容易忽視符號(hào)意識(shí)教學(xué)，或者教學(xué)流于形式，只是讓學(xué)生單純模仿，使其不能感知、嘗試和經(jīng)歷符號(hào)化過程，也沒有機(jī)會(huì)仔細(xì)思考符號(hào)表示的真正意義和價(jià)值.筆者認(rèn)為，在“方程”“不等式”“函數(shù)”這些代數(shù)內(nèi)容相對(duì)集中的章節(jié)，可以安排專題課，以培養(yǎng)符號(hào)意識(shí)作為教學(xué)目標(biāo)，把含字母系數(shù)的問題集中在一起進(jìn)行類比學(xué)習(xí).

例如學(xué)習(xí)浙教版教材七年級(jí)下冊(cè)第2 章《二元一次方程組》時(shí)，雖然《課程標(biāo)準(zhǔn)》對(duì)含有字母系數(shù)的方程組不作要求，但用字母表示未知數(shù)、用方程表述數(shù)量關(guān)系的過程，能幫助學(xué)生建立符號(hào)意識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)理解和抽象能力，而含字母系數(shù)的方程則對(duì)學(xué)生的抽象能力和推理能力等素養(yǎng)提出了更高的要求，同時(shí)為后續(xù)函數(shù)學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ).因此，筆者安排“含字母系數(shù)的二元一次方程組”專題復(fù)習(xí)課，從數(shù)字系數(shù)的方程組入手，讓學(xué)生經(jīng)歷觀察、類比，概括出含字母系數(shù)的方程組.筆者為學(xué)生留出思考的空間，并利用層進(jìn)的問題串突破學(xué)生的認(rèn)知障礙，為學(xué)生自發(fā)使用符號(hào)創(chuàng)造可能，讓學(xué)生悅納字母，培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的符號(hào)意識(shí)，鍛煉學(xué)生抽象的思維方式和歸納推理的能力.以下為此節(jié)專題課的4個(gè)環(huán)節(jié)和設(shè)計(jì)意圖.

（一）特殊到一般：培養(yǎng)符號(hào)表達(dá)意識(shí)

【環(huán)節(jié)1】解二元一次方程組

得到方程組的解為：

設(shè)計(jì)意圖：考慮到學(xué)生對(duì)含字母系數(shù)的方程組不易理解，并且方程組中突然出現(xiàn)字母系數(shù)會(huì)顯得突兀生硬，因此筆者讓學(xué)生先解同一系列的數(shù)字系數(shù)方程組，通過觀察、歸納，概括出它們的共同屬性，并用字母表示規(guī)律，讓學(xué)生真實(shí)感悟字母代替數(shù)的簡(jiǎn)潔性.借助歸納推理，從數(shù)字系數(shù)方程順利過渡到含字母系數(shù)的方程，既能凸顯字母的優(yōu)勢(shì)，又能通過類比的方法讓學(xué)生了解并掌握含字母系數(shù)方程組的解法，培養(yǎng)學(xué)生的符號(hào)意識(shí)、運(yùn)算和推理能力.

（二）復(fù)雜到單一：體會(huì)符號(hào)表達(dá)之形

【環(huán)節(jié)2】解二元一次方程組

解法有兩種：一類學(xué)生分別求解兩個(gè)方程組得到解，另一類學(xué)生直接使用上一環(huán)節(jié)結(jié)論代入求解.通過對(duì)比，學(xué)生感受到解題速度的巨大差異，體會(huì)可以代替所有具有這種規(guī)律的數(shù)學(xué)方程組.

設(shè)計(jì)意圖：這一環(huán)節(jié)把直接使用結(jié)果和重新解方程組兩種方法進(jìn)行對(duì)比，讓學(xué)生體驗(yàn)使用字母代表數(shù)的優(yōu)勢(shì)，發(fā)現(xiàn)字母可以表示“一類數(shù)”，即含字母的結(jié)論具有一般性.這利于簡(jiǎn)化計(jì)算，使學(xué)生主動(dòng)接受字母及含字母系數(shù)的方程.

（三）一般到特殊：辨析符號(hào)表達(dá)之變

【環(huán)節(jié)3】已知關(guān)于x，y的二元一次方程組，求當(dāng)a＝5，-2時(shí)方程組的解.

此時(shí)，大部分學(xué)生會(huì)用含a的代數(shù)式表示方程組的解，只有極少數(shù)學(xué)生選擇把這三個(gè)數(shù)代入方程組分別求出三個(gè)方程組的解.兩類解法在時(shí)間上的差異又一次使學(xué)生明白：a可以代表任何實(shí)數(shù)，a每取一個(gè)數(shù)，a的值就確定，并可以看成“常數(shù)”（會(huì)變化的常數(shù)）來表示x，y的值，而這個(gè)含字母a的解可以表示這樣形式的所有方程組的解.

設(shè)計(jì)意圖：這一環(huán)節(jié)主要解決含字母系數(shù)的方程組，經(jīng)過上兩個(gè)環(huán)節(jié)的鋪墊，可能仍有少數(shù)學(xué)生未掌握用字母表示數(shù)及含字母系數(shù)方程組的解法，因此筆者追加設(shè)計(jì)，讓學(xué)生再次感受用字母表示數(shù)的必要性和優(yōu)越性，提升學(xué)生的符號(hào)意識(shí).

（四）常規(guī)到特例：感悟符號(hào)表達(dá)之本

【環(huán)節(jié)4】已知，求當(dāng)n＝2，，－6時(shí)m和k的值.

求解此題需先分析哪些字母應(yīng)看作常數(shù)，哪些字母應(yīng)看作未知數(shù).部分學(xué)生從方程的位置角度，認(rèn)為應(yīng)將m和n看作未知數(shù)、k看作常數(shù)；部分學(xué)生認(rèn)為n取了四個(gè)值，因此應(yīng)將m和k看作未知數(shù)，n看作常數(shù).筆者適時(shí)小結(jié)：可根據(jù)題目的字母特點(diǎn)來分析，當(dāng)一個(gè)字母可以取不同數(shù)時(shí)，往往代表這個(gè)字母可以看作常數(shù)，用它表示剩下兩個(gè)未知數(shù)的值比較合適.

設(shè)計(jì)意圖：經(jīng)過前三個(gè)環(huán)節(jié)的學(xué)習(xí)，學(xué)生已經(jīng)有了一定基礎(chǔ)，此時(shí)應(yīng)作能力提升設(shè)計(jì).題目呈現(xiàn)的不是常規(guī)字母x和y，因此學(xué)生分辨不清未知數(shù)和字母系數(shù).通過此題的訓(xùn)練，可使學(xué)生掌握區(qū)分的方法，明白不同字母背后的含義.這能培養(yǎng)學(xué)生轉(zhuǎn)換的數(shù)學(xué)思想以及運(yùn)用符號(hào)進(jìn)行運(yùn)算和推理的能力，為后續(xù)函數(shù)、三元一次方程組的學(xué)習(xí)作鋪墊.

三、應(yīng)用多元化，發(fā)展符號(hào)抽象能力

數(shù)學(xué)課程內(nèi)容主要分為數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何、統(tǒng)計(jì)與概率、綜合與實(shí)踐四大板塊，每個(gè)板塊都與數(shù)學(xué)符號(hào)的表達(dá)與應(yīng)用相關(guān)聯(lián).這使隨時(shí)隨地滲透符號(hào)意識(shí)，讓學(xué)生感知符號(hào)并應(yīng)用符號(hào)解決問題成為可能.

（一）數(shù)到代數(shù)：從具體到一般

數(shù)與代數(shù)板塊中涉及的“代數(shù)式”“方程”“不等式”“函數(shù)”等內(nèi)容都是表達(dá)數(shù)量關(guān)系的過程，因此都離不開字母，對(duì)符號(hào)意識(shí)的要求比較高，需要教師精心設(shè)計(jì)，有意識(shí)地去培養(yǎng)學(xué)生的這個(gè)能力.前面已介紹了“代數(shù)式”和“方程”的部分設(shè)計(jì)，而“不等式”和“方程”本質(zhì)基本相同，因此教學(xué)策略類似.“函數(shù)”其實(shí)也算是“方程”的延續(xù)，但函數(shù)圖象和性質(zhì)這塊內(nèi)容難度增大、要求更高，因此更需要研究字母對(duì)函數(shù)圖象和性質(zhì)的影響，使學(xué)生從本質(zhì)上了解符號(hào)的作用和意義.

例如教學(xué)浙教版教材八年級(jí)下冊(cè)第6 章《反比例函數(shù)》時(shí)，教師可借助列表描點(diǎn)的方法讓學(xué)生直觀感受圖象的特征，但由于圖象是雙曲線，描點(diǎn)難以繪制全貌，因此還可借助函數(shù)解析式的結(jié)構(gòu)特征，用代數(shù)知識(shí)進(jìn)行分析.比如繪制的函數(shù)圖象，由分母x≠0，得到圖象與x軸沒有交點(diǎn)，由y≠0 得到圖象與y軸也沒有交點(diǎn)；因?yàn)閤y=1＞0，得到圖象在一、三象限；x＞0 時(shí)，由x越大則y越小，得到圖象越來越接近x軸；同理，x越接近0，則y越大，得到圖象越來越接近y軸；假設(shè)（a，b）是圖象上的一個(gè)點(diǎn)，則（-a，-b）在圖象上，可得圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，而（b，a）也在圖象上，則圖象還關(guān)于直線y＝x對(duì)稱［4］.

筆者從代數(shù)的視角去解析幾何圖象及函數(shù)性質(zhì)，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)這些字母操縱著函數(shù)的圖象和性質(zhì)，借機(jī)突出字母的意義及一般化的特點(diǎn)，強(qiáng)化符號(hào)的作用和價(jià)值.

（二）形象到抽象：從幾何到推理

幾何教學(xué)有不同的表達(dá)方式，包括圖形、文字和符號(hào)三種，在這三種語言中，符號(hào)語言最難掌握，是學(xué)生樹立正確數(shù)學(xué)思維邏輯的重要基礎(chǔ)［5］，也是培養(yǎng)符號(hào)意識(shí)的重要方式.因此從七年級(jí)上學(xué)期學(xué)習(xí)“圖形的初步認(rèn)識(shí)”開始，教師就要引導(dǎo)學(xué)生用這三種語言規(guī)范表達(dá)，下面以“中點(diǎn)”的描述為例說明.

文字語言：點(diǎn)C把線段AB分成相等的兩條線段AC與BC，點(diǎn)C叫作線段AB的中點(diǎn).

圖形語言：

符號(hào)語言：∵點(diǎn)C為AB中點(diǎn)，∴AC＝BC＝，AB＝2AC＝2BC.

教師要引導(dǎo)學(xué)生通過中點(diǎn)的定義并結(jié)合圖象，厘清線段之間的關(guān)系，并寫出符號(hào)語言，讓學(xué)生理解這三種語言之間的關(guān)聯(lián).同時(shí)，教師需規(guī)范學(xué)生的說理過程，引導(dǎo)學(xué)生使用合理的符號(hào)語言，并且每一塊幾何知識(shí)都需要落實(shí).在這一過程中，學(xué)生由一開始看教師示范來仿寫，過渡到獨(dú)立書寫.由此，教師既能幫助學(xué)生提升思維邏輯和表達(dá)能力，又對(duì)符號(hào)意識(shí)進(jìn)行了培養(yǎng)和滲透.這是一個(gè)循序漸進(jìn)的過程，需要學(xué)生進(jìn)行鞏固和強(qiáng)化，因此在單元復(fù)習(xí)時(shí)，教師可有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行三種語言的歸納整理.

（三）統(tǒng)計(jì)到概率：從模糊到精準(zhǔn)

統(tǒng)計(jì)與概率中的“平均數(shù)”“方差”“概率”等也是用符號(hào)來表征相關(guān)公式，而其他內(nèi)容的教學(xué)若可用符號(hào)來簡(jiǎn)化分析過程，教師也要抓住契機(jī)，將符號(hào)意識(shí)滲透其中.

例如教學(xué)浙教版教材九年級(jí)上冊(cè)第2 章第1節(jié)《事件的可能性》時(shí)，需要用樹狀圖來分析事件發(fā)生的可能性.

例題：一個(gè)箱子有1個(gè)黑球和2個(gè)藍(lán)球，它們除顏色外其余都相同，從箱子里摸出一個(gè)球，放回，搖均勻后再摸出1個(gè)球，這樣先后摸得的兩球有幾種不同的可能？

某學(xué)生先用文字樹狀圖示分析，再用字母代替文字分析，經(jīng)過比較，學(xué)生發(fā)現(xiàn)用字母a，b來表示黑球和藍(lán)球，書寫過程簡(jiǎn)潔明了，由此體會(huì)到符號(hào)的便捷性.這利于學(xué)生養(yǎng)成主動(dòng)使用符號(hào)的意識(shí)和習(xí)慣.

綜上，教師需精心設(shè)計(jì)問題，讓學(xué)生經(jīng)歷用字母表示數(shù)的過程，啟發(fā)學(xué)生思考，系統(tǒng)全面探究使用符號(hào)的便捷和必要性.同時(shí)，學(xué)生符號(hào)意識(shí)的發(fā)展不是一朝一夕就可以完成的，而是貫穿于學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的全過程，伴隨著學(xué)生數(shù)學(xué)思維層次的提高而逐步發(fā)展的［6］，因此教師還要注意適時(shí)引導(dǎo)、強(qiáng)化，使學(xué)生在符號(hào)學(xué)習(xí)的過程中提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).