平面約束變胞機構(gòu)構(gòu)態(tài)切換能力的概率評估模型

孫本奇，楊強，2，*，孫志禮，李樹軍，3，馬宏坤，王若男

1．東北大學 機械工程與自動化學院，沈陽 110819

2．遼寧工業(yè)大學 機械工程與自動化學院，錦州 121001

3．中國科學院 沈陽自動化研究所 機器人學國家重點實驗室，沈陽 110016

1998 年第25 屆ASME 機構(gòu)學與機器人學雙年 會上，Dai 和Jones［1］首次提出了變胞機構(gòu)的概念。李端玲等［2］基于構(gòu)態(tài)變換的矩陣運算，提出了變胞機構(gòu)的結(jié)構(gòu)綜合方法。戴建生等［3］系統(tǒng)闡述了變胞原理，提出了變胞機構(gòu)的延伸和分類。王德倫和戴建生在探究變胞機構(gòu)組成和表達方式的基礎(chǔ)上，建立了變胞機構(gòu)的變胞方程［4］。Gan 等［5］設(shè)計了一種新型可重構(gòu)rT 胡克鉸鏈，并據(jù)此提出了2種并聯(lián)變胞機構(gòu)。Li 和Dai［6-7］提 出了擴展Assur 桿組的概念和基于擴展Assur 桿組的變胞機構(gòu)組成原理，引入了變胞機構(gòu)等效阻力的概念并定義了變胞副的等效阻力系數(shù)函數(shù)。張武翔等［8］提出了一種基于約束變化特征分析的變胞機構(gòu)構(gòu)型綜合方法。楊強等［9］研究了含變胞副結(jié)構(gòu)的約束變胞機構(gòu)構(gòu)型綜合。Li 等［10］提出了變胞副約束阻力的模塊化計算模型。Yang等［11］基于結(jié)構(gòu)綜合矩陣提出了一種平面變胞機構(gòu)的通用結(jié)構(gòu)設(shè)計方法。王汝貴和陳輝慶［12］針對變胞機構(gòu)多失效模式的運動可靠性問題提出了一種基于變量狀態(tài)空間的可靠性分析與優(yōu)化設(shè)計方法。王興東等［13］考慮關(guān)節(jié)間隙、連桿制造公差、連桿和關(guān)節(jié)熱變形等多源不確定性因素建立了一種平面五桿變胞機構(gòu)的全構(gòu)態(tài)運動可靠性模型。

變胞機構(gòu)的可折疊性使其在航空航天領(lǐng)域可用來部分代替可展式機構(gòu)，如星球探測車、空間機械臂、衛(wèi)星可展天線、太陽能帆板、太空望遠鏡展開機構(gòu)等。Joshi 等［14］將變胞可重構(gòu)性應(yīng)用于飛機機翼結(jié)構(gòu)并展示了可變形機翼對飛機性能的影響。張克濤等［15］將變胞機構(gòu)應(yīng)用于腿輪式探測車的車身設(shè)計，使探測車能夠以腿式和輪式兩種方式移動，極大地提高了其機動性和適應(yīng)性。Ding 等［16］利用變胞思想設(shè)計了新型太空艙門的開關(guān)機構(gòu)。加拿大航天部門采用變胞原理研制了一款航天飛機遙控機械臂［17］。Zhao 等［18］研發(fā)了用于多任務(wù)需求的大型可重構(gòu)空間多指手的變胞并聯(lián)關(guān)節(jié)單元。李波等［19］設(shè)計了一種能實現(xiàn)星載平板天線折疊和展開的多構(gòu)態(tài)變胞可展支撐桁架，并提出了一種時序可控的多桿分步展開方式。Jia 等［20］基于螺旋理論研究了一種模塊化變胞機構(gòu)的構(gòu)型綜合方法，并通過串聯(lián)該模塊設(shè)計了一種大型可展開抓取機械手，可用作太空機械臂。將變胞機構(gòu)的設(shè)計理念應(yīng)用于機械制造中，能夠最大化的實現(xiàn)裝備工裝的柔性化，使其快速的適應(yīng)航空航天產(chǎn)品的變更。王珉等［21］在雙偏心變胞源機構(gòu)的基礎(chǔ)上設(shè)計了一種具有變胞功能的自主移動制孔機，實現(xiàn)行走和調(diào)姿制孔兩個工作階段的變自由度切換，滿足了飛機自動化裝配的應(yīng)用需求。樊偉等［22］設(shè)計并實現(xiàn)了一套新型自動化可重構(gòu)工裝系統(tǒng)，解決航空航天管路組件的裝配質(zhì)量及效率問題。

簡易的變構(gòu)態(tài)/變拓撲結(jié)構(gòu)能力是變胞機構(gòu)的“靈魂”所在。對于以運動副變胞為特征的約束變胞機構(gòu)而言，構(gòu)態(tài)切換/保持主要是通過變胞副運動狀態(tài)的切換/保持來實現(xiàn)的［23］。因此，變胞副需要設(shè)計特殊的“開關(guān)”結(jié)構(gòu)來實現(xiàn)運動和靜止狀態(tài)的切換，這種“先天”的屬性決定了構(gòu)態(tài)切換失敗是機構(gòu)完成運動功能的最薄弱環(huán)節(jié)，同時構(gòu)態(tài)切換能力是約束變胞機構(gòu)核心的運動性能指標。目前針對變胞機構(gòu)構(gòu)態(tài)變換的研究較多關(guān)注于構(gòu)態(tài)切換時刻的沖擊特性分析［24-25］、基于虛功原理的機構(gòu)整體動力學建模［26］。而從變胞副受力分析入手，開展變胞機構(gòu)的構(gòu)態(tài)切換能力的定義和評估，這方面的研究并不多見。目前，已有學者指出［27］：“如何平穩(wěn)地切換機構(gòu)的運動模式一直是一個懸而未決的問題?！?/p>

從變胞副運動狀態(tài)切換的力學調(diào)控機理出發(fā)，系統(tǒng)開展構(gòu)態(tài)切換能力的定義和評估方法研究，進而提出了一種平面約束變胞機構(gòu)構(gòu)態(tài)切換能力的概率評估模型，最后以折紙變胞機構(gòu)的設(shè)計計算為例驗證了上述模型的可行性和有效性。

1 基于擴展Assur 桿組的約束變胞機構(gòu)組成原理

1.1 約束變胞機構(gòu)的組成原理

文獻［6］提出了9 種擴展II 級Assur 桿組的結(jié)構(gòu)形式，并據(jù)此提出了基于擴展Assur 桿組的約束變胞機構(gòu)組成原理。

1.2 約束變胞機構(gòu)的變胞過程

圖1 是一種兩自由度平面約束變胞機構(gòu)，由1個1-DOF 擴展Assur 桿組（RRRP 桿組）依次連接于主動件和機架構(gòu)成，其中N1、N2、N3、N4、N7為機構(gòu)中對應(yīng)運動副的序號，N5、N6為對應(yīng)連桿質(zhì)心的序號，θct為構(gòu)態(tài)切換時刻主動件角位置，ω為主動件角速度；圖2 是該機構(gòu)的運動循環(huán)圖。分析圖1 和圖2 可知：利用變胞副R3和P7的運動狀態(tài)切換（R代表轉(zhuǎn)動副，P代表移動副），該機構(gòu)可以獲得曲柄滑塊機構(gòu)和曲柄搖桿機構(gòu)兩種工作構(gòu)態(tài)/拓撲結(jié)構(gòu)，并在各自的構(gòu)態(tài)下完成對應(yīng)的作業(yè)任務(wù)。

圖1 兩自由度平面約束變胞機構(gòu)Fig. 1 2-DOF planar constrained metamorphic mechanism

由圖1 引申可知，n個自由度的約束變胞源機構(gòu)可通過設(shè)置n個變胞副獲得n個構(gòu)態(tài)。由圖2可知，為獲得所有的工作構(gòu)態(tài)，變胞副必須依次被約束（處于靜止狀態(tài)）。顯然，變胞副的運動規(guī)律取決于作用在其上的驅(qū)動力（力矩）和約束力（力矩）。

圖2 兩自由度平面約束變胞機構(gòu)運動循環(huán)圖Fig. 2 Metamorphic cyclogram of 2-DOF planar constrained metamorphic mechanism

2 約束變胞機構(gòu)模塊化力分析與變胞轉(zhuǎn)動副結(jié)構(gòu)設(shè)計

在Assur 桿組常規(guī)受力分析［28］的基礎(chǔ)上推導含變胞副的擴展Assur 桿組受力分析計算模型。九種擴展Assur 桿組的模塊化力分析方法相同，因此以圖1 所示約束變胞機構(gòu)中包含的RRRP 擴展Assur 桿組為例進行分析。圖3 所示為RRRP桿組的變胞過程，其中轉(zhuǎn)動副2 和移動副4 為變胞副，轉(zhuǎn)動副1 和轉(zhuǎn)動副3 為常規(guī)運動副，下面給出模塊化力分析計算模型。

圖3 RRRP 桿組變胞過程Fig. 3 Metamorphic process of RRRP group

2.1 含變胞副的擴展Assur 桿組模塊化力分析

第I 構(gòu)態(tài)RRRP 桿組退化為RRP 桿組，受力分析如圖4 所示。其中N5、N6、N7點分別為連 桿N2N3、N3N4、滑塊的質(zhì)心；α為變胞轉(zhuǎn)動副幾何約束 角；dk為彈簧當前長度；Fk為彈簧力；θ為彈簧力方向與連桿N3N4夾角；d1、d2分別為彈簧在連桿N3N4、N2N3上的安裝位置與N3點的距離；γ為導路與水平方向夾角；Fγ為滑塊所受外力沿導路方向分量。已知分別作用在連桿N2N3、N3N4、滑塊上的外力F5、F6、F7和力矩T1、T2、T3，求解各轉(zhuǎn)動副所受支反力和變胞轉(zhuǎn)動副所受驅(qū)動力矩與約束力矩。

圖4 RRRP 桿組退化的RRP 桿組受力分析圖Fig. 4 Force diagram of RRP group degraded by RRRP group

模塊化力分析步驟為

其 中：k為彈簧剛度；a為彈簧原長；Pijx、Pijy分別表示i點、j點間x、y方向的距離；Rix、Riy分別表示作用在運動副i上x、y方向的支反力；Fix、Fiy分別表示作用在i點上x、y方向的力；Tij表示i點作用力對j點力矩；Ti表示作用在i點的力矩；Tk表示彈簧力對N3點的力矩，即變胞副結(jié)構(gòu)提供的約束阻力矩。

用T53、T63分別表示2 個連桿的重力對N3點的力矩，ΔT表示變胞轉(zhuǎn)動副的驅(qū)動力矩，逆時針方向為正，則：

第Ⅱ構(gòu)態(tài)RRRP 桿組退化為RRR 桿組，受力分析如圖5 所示。其中N5、N6點分別為連桿N2N3、N3N4的質(zhì)心；θ34為連桿N3N4的角位置。已知分別作用在連桿N2N3、N3N4上的外力F5、F6和力矩T1、T2，求解各轉(zhuǎn)動副所受支反力和變胞轉(zhuǎn)動副所受驅(qū)動力矩與約束力矩。

圖5 RRRP 桿組退化的RRR 桿組受力分析圖Fig. 5 Force diagram of RRR group degraded by RRRP group

模塊化力分析步驟為

其中：Fkx、Fky分別表示彈簧力沿x、y方向的分量；變量dk、θ、Fk、變胞副約束力矩Tk、變胞副驅(qū)動力矩ΔT的計算方法和其余各變量的含義均可參照第Ⅰ構(gòu)態(tài)受力分析模型。

2.2 基于模塊化力分析中約束參數(shù)計算的變胞轉(zhuǎn)動副結(jié)構(gòu)設(shè)計

在目前變胞機構(gòu)的研究中，變胞轉(zhuǎn)動副往往以簡圖形式表示，為促進其工程應(yīng)用，設(shè)計了一種簡單實用的具有彈簧力約束和幾何約束共同調(diào)控的變胞轉(zhuǎn)動副的結(jié)構(gòu)形式，如圖6 所示。

如圖6 所示：連桿①，端蓋③和構(gòu)件⑥連接后成為一個整體，連桿②和構(gòu)件④通過螺栓連接后成為另一個整體。構(gòu)件⑥兩端的滾珠在構(gòu)件④內(nèi)部的凹槽內(nèi)滑滾，使得兩個連桿能夠相對轉(zhuǎn)動。銷軸⑤起到幾何約束的作用，構(gòu)件⑥與銷軸⑤接觸后轉(zhuǎn)動副的角度不能增大。彈簧被壓縮后安裝到連桿上，此時彈簧具有預緊力，當轉(zhuǎn)動副的驅(qū)動力矩足夠大時才能夠克服預緊力即壓縮彈簧開始轉(zhuǎn)動。

圖6 變胞轉(zhuǎn)動副結(jié)構(gòu)Fig. 6 Structure of metamorphic revolute joint

銷軸⑤產(chǎn)生的幾何約束提供理論上無窮大的約束力，保障角度不能增大。同時，變胞轉(zhuǎn)動副要想在某個工作構(gòu)態(tài)內(nèi)保持靜止，需滿足彈簧預緊力提供的約束力矩大于整個構(gòu)態(tài)內(nèi)變胞副受到的最大驅(qū)動力矩，以限制角度的減小。即：

式中：Fk為彈簧預緊力；d1和θ為圖4 中對應(yīng)的結(jié)構(gòu)尺寸。進而，可以利用式（15）計算的彈簧預緊力范圍對彈簧參數(shù)進行設(shè)計。

3 基于等效阻力梯度模型的構(gòu)態(tài)切換能力定義

3.1 等效阻力梯度模型

為了描述變胞副受力狀況和約束特點，文獻［7］建立了變胞機構(gòu)的等效阻力梯度模型，旨在通過比較變胞副在運動方向上受到的驅(qū)動力（力矩）與變胞副自身結(jié)構(gòu)所提供的約束力（力矩）的大小來描述變胞副的運動狀態(tài)。在文獻［7］中定義了一個無量綱的等效阻力系數(shù)函數(shù)：

式 中：n為構(gòu)態(tài)數(shù)；θi是i構(gòu)態(tài)下的驅(qū)動副位移；Fc(θi)和Tc(θi)表示變胞副在運動方向上提供的約束力和約束力矩；F(θi)和T(θi)表示變胞副在運動方向上受到的驅(qū)動力和驅(qū)動力矩。

根據(jù)最小阻力原則，變胞副的動作順序和等效阻力系數(shù)緊密相關(guān)，要使靜止變胞副的等效阻力系數(shù)大于相對運動變胞副的等效阻力系數(shù)，整個約束變胞過程的等效阻力梯度變化規(guī)律為

式中：fes(θi)為變胞副處于相對靜止狀態(tài)下的等效阻力系數(shù)；fem(θi)為變胞副處于相對運動狀態(tài)下的等效阻力系數(shù)。

3.2 約束變胞機構(gòu)構(gòu)態(tài)切換能力定義

以圖1 所示約束變胞機構(gòu)為例，其包含的RRRP 桿組受力分析方法可參照2.1 節(jié)。根據(jù)文獻［7］，其變胞副R3和P7的等效阻力系數(shù)在兩構(gòu)態(tài)切換和保持過程中需滿足以下條件：

第Ⅰ構(gòu)態(tài)中變胞轉(zhuǎn)動副R3始終靜止且變胞移動副P7始終運動即可保證不出現(xiàn)運動時序錯亂，并主要由變胞轉(zhuǎn)動副R3決定。變胞轉(zhuǎn)動副R3由式（11）中ΔT提供驅(qū)動力矩，彈簧預緊力和幾何約束共同作用提供約束力矩。當ΔT＜0 時，變胞轉(zhuǎn)動副R3有角度增大的趨勢，由于幾何約束的限制，其角度保持不變。當ΔT＞0 時，變胞轉(zhuǎn)動副R3有角度減小的趨勢并壓縮彈簧，要使得變胞轉(zhuǎn)動副R3保持靜止，需保證彈簧提供的約束力矩始終大于驅(qū)動力矩。即：

將第II 構(gòu)態(tài)初始時刻視為構(gòu)態(tài)切換時刻，這一時刻變胞移動副P7開始受幾何約束由運動變?yōu)殪o止，變胞轉(zhuǎn)動副R3由靜止狀態(tài)變?yōu)檫\動狀態(tài)。由于幾何約束力可視為無窮大，顯然變胞移動副完成運動狀態(tài)切換的可靠度為1。變胞轉(zhuǎn)動副R3準確地完成運動狀態(tài)切換需保證這一時刻其驅(qū)動力矩ΔT大于彈簧的約束力矩。即：

第Ⅱ構(gòu)態(tài)中變胞移動副P7始終靜止且變胞轉(zhuǎn)動副R3始終運動即可保證不出現(xiàn)運動時序錯亂，并主要由變胞移動副P7決定。由于滑塊受幾何約束，約束力理論上為無窮大，滑塊不會向右運動。同時還要保證滑塊不會有向左的運動趨勢，需要滿足滑塊所受的支反力沿導路的分量始終方向向右且大于外載荷沿導路的分量。即：

圖7 為圖1 所示機構(gòu)中變胞副R3和P7的等效阻力系數(shù)f3和f7變化的理想狀態(tài)，其中θ為主動件角位置，fe為等效阻力系數(shù)。

圖7 兩自由度約束變胞機構(gòu)理想等效阻力系數(shù)Fig. 7 Ideal equivalent resistance coefficients of 2-DOF constrained metamorphic mechanism

由等效阻力梯度模型［7］可知：任意時刻等效阻力系數(shù)確定，則變胞副的運動狀態(tài)確定。在構(gòu)態(tài)切換時刻θct，變胞副R3由靜止變?yōu)檫\動，變胞副P7由運動變?yōu)殪o止。等效阻力系數(shù)f3和f7調(diào)控變胞副R3和P7的運動狀態(tài)切換，實現(xiàn)變胞機構(gòu)從構(gòu)態(tài)Ⅰ切換至構(gòu)態(tài)Ⅱ。在構(gòu)態(tài)切換時刻，等效阻力系數(shù)按理想設(shè)計值變化的準確性決定了約束變胞機構(gòu)的構(gòu)態(tài)切換能力。

4 約束變胞機構(gòu)構(gòu)態(tài)切換能力的概率評估模型

4.1 構(gòu)態(tài)切換的隨機性分析

工程實際中，由于誤差隨機性的影響導致按同一圖紙生產(chǎn)的變胞機構(gòu)中任意變胞副的驅(qū)動力和約束阻力不是確定值，而是具有一定分布規(guī)律的隨機變量。即對于實際的約束變胞機構(gòu)而言，變胞副的等效阻力系數(shù)亦為隨機變量。顯然，相比確定性模型，如何定義和求解構(gòu)態(tài)切換成功的概率指標更具有實際工程意義。

4.2 構(gòu)態(tài)切換能力的概率評估模型

已知某變胞副k的驅(qū)動力F和約束阻力Fc的隨機性，當構(gòu)態(tài)切換時刻該變胞副由靜止變?yōu)檫\動時，其運動狀態(tài)切換成功的可靠度為

當構(gòu)態(tài)切換時刻該變胞副由運動變?yōu)殪o止時，其運動狀態(tài)切換成功的可靠度為

式中：fs(xs)和f1(x1)分別為驅(qū)動力隨機變量和約束阻力隨機變量的概率密度函數(shù)。

約束變胞機構(gòu)的構(gòu)態(tài)切換主要通過變胞副運動狀態(tài)的切換來實現(xiàn)的。因此，單次構(gòu)態(tài)切換成功的概率（可靠度）可以定義為參與構(gòu)態(tài)切換的n個變胞副運動狀態(tài)切換成功的概率連乘積。即：

式中：θct為構(gòu)態(tài)切換時刻主動件位置角。

由于RRRP 桿組中可以同時包含變胞轉(zhuǎn)動副和變胞移動副，因此，以圖1 所示包含RRRP 擴展Assur 桿組的約束變胞機構(gòu)為例建立構(gòu)態(tài)切換可靠度計算模型，同時為分析包含其他擴展Assur 桿組的約束變胞機構(gòu)構(gòu)態(tài)切換可靠性提供參考。其中，RRRP 擴展Assur 桿組受力分析方法可參照2.1 節(jié)。模型中考慮的輸入誤差有：構(gòu)件幾何尺寸誤差、構(gòu)件質(zhì)量誤差、輸入角速度誤差、主動件轉(zhuǎn)角誤差、變胞轉(zhuǎn)動副幾何約束角度誤差、彈簧剛度誤差和彈簧安裝位置誤差，假設(shè)上述誤差隨機變量相互獨立且均符合正態(tài)分布。

如3.2 節(jié)所述，第I 構(gòu)態(tài)機構(gòu)是否產(chǎn)生運動時序錯亂主要由變胞轉(zhuǎn)動副R3是否能保持始終靜止狀態(tài)決定。

將式（7）、式（8）、式（10）分別代入式（11），得出變胞轉(zhuǎn)動副R3的驅(qū)動力矩計算式：

將式（3）、式（5）分別代入式（6），得出變胞轉(zhuǎn)動副R3的約束力矩計算式：

因此，第Ⅰ構(gòu)態(tài)中變胞轉(zhuǎn)動副R3運動狀態(tài)保持能力的極限狀態(tài)函數(shù)可表示為

構(gòu)態(tài)切換時刻需滿足變胞轉(zhuǎn)動副R3的運動狀態(tài)由靜止變?yōu)檫\動，同時變胞移動副P7的運動狀態(tài)由運動變?yōu)殪o止。構(gòu)態(tài)切換時刻，P7受幾何約束其運動狀態(tài)切換的可靠度為1，因此只需判斷R3是否能夠準確地切換運動狀態(tài)即可判斷變胞機構(gòu)是否能夠成功完成構(gòu)態(tài)切換。

將式（10）、式（12）和式（13）分別代入式（11）得出構(gòu)態(tài)切換時刻變胞轉(zhuǎn)動副R3的驅(qū)動力矩計算式：

構(gòu)態(tài)切換時刻彈簧未被壓縮，此時變胞轉(zhuǎn)動副R3的約束力矩的計算式與式（25）相同。同理，構(gòu)態(tài)切換時刻變胞轉(zhuǎn)動副R3運動狀態(tài)切換能力的極限狀態(tài)函數(shù)可表示為

第Ⅱ構(gòu)態(tài)機構(gòu)是否產(chǎn)生運動時序錯亂主要由變胞移動副P7是否保持始終靜止狀態(tài)決定。變胞移動副P7保持靜止需滿足滑塊所受驅(qū)動力，即支反力與外力沿導路的合力始終方向向右。

滑塊所受支反力沿導路方向分量的計算式展開為

滑塊所受外力沿導路方向的分量Fγ如式（9）所示。多數(shù)情況下滑塊所受支反力方向向右且外力方向向左，因此第II 構(gòu)態(tài)中變胞移動副P7運動狀態(tài)保持能力的極限狀態(tài)函數(shù)可表示為

利用一次二階矩法，可以將上述3 個運動階段的極限狀態(tài)函數(shù)表達式一階泰勒展開，建立極限狀態(tài)函數(shù)的誤差模型。以構(gòu)態(tài)切換時刻為例，其均值和方差分別為

由于變胞機構(gòu)3 個運動階段的極限狀態(tài)函數(shù)已知，且各階段驅(qū)動力矩和約束力矩均滿足正態(tài)分布，基于應(yīng)力強度干涉模型［29］各階段機構(gòu)構(gòu)態(tài)切換/保持能力的運動功能可靠度為

f（Z）為極限狀態(tài)函數(shù)，對應(yīng)構(gòu)態(tài)I，構(gòu)態(tài)切換時刻和構(gòu)態(tài)II，其具體表達式為式（26）、式（28）和式（30）。以構(gòu)態(tài)切換時刻為例，極限狀態(tài)函數(shù)Zct的具體表達式f（Zct）可由式（25）、式（27）和式（28）解得。易知各個輸入?yún)?shù)xi的偏導數(shù)?f?xi容易求得，即μZ、σZ可知。限于篇幅，此處不再贅述。

如圖7 所示變胞機構(gòu)的等效阻力梯度曲線，在變胞機構(gòu)構(gòu)態(tài)切換的相鄰時刻，等效阻力系數(shù)接近1，此時其值的波動更容易造成運動時序錯亂。因此，在第I 構(gòu)態(tài)和第II 構(gòu)態(tài)內(nèi)分別取a和b個等效阻力系數(shù)接近1 的構(gòu)態(tài)切換相鄰時刻，分別計算對應(yīng)時刻的可靠度。參照串聯(lián)系統(tǒng)的可靠度計算方法，將這a+b個相鄰時刻的可靠度與構(gòu)態(tài)切換時刻可靠度Rct連乘，即定義了約束變胞機構(gòu)單次構(gòu)態(tài)切換成功的區(qū)間可靠度為

式中：R1i為第I 構(gòu)態(tài)第i個相鄰時刻的可靠度；R2i為第Ⅱ構(gòu)態(tài)第i個相鄰時刻的可靠度。

5 折紙變胞機構(gòu)計算實例

圖8 所示為紙板折疊過程：第1 步從圖8（a）到圖8（b），紙板1 和紙板2 保持相對靜止，沿2 與3 之間的折痕折疊成90°角。第2 步從圖8（b）到圖8（c），紙板2 和紙板3 保持相對靜止，沿1 和2之間的折痕折疊成90°角。

圖8 紙板折疊過程Fig. 8 Folding process of a cardboard

一種可以執(zhí)行整個折紙過程的兩自由度平面約束變胞機構(gòu)的運動簡圖如圖9 所示。該機構(gòu)可以拆分為主動件，RRR 桿組和RRRP 桿組。利用RRRP 桿組可以實現(xiàn)曲柄滑塊機構(gòu)和曲柄搖桿機構(gòu)的切換。

圖9 折紙變胞機構(gòu)工作構(gòu)態(tài)Fig. 9 Working-stage of paper folding metamorphic mechanism

折紙機構(gòu)的結(jié)構(gòu)參數(shù)如表1 所示，部分運動學參數(shù)變化范圍如表2 所示。其中k1、k2、a、b分別為彈簧1 和彈簧2 的剛度及原長；d1、d2為彈簧1在連桿EF和連桿CE上安裝位置與變胞副E回轉(zhuǎn)中心的距離；ω1為主動件角速度；θ1為主動件的角位置；α為變胞轉(zhuǎn)動副幾何約束角度（∠CEF最大角度）；Δθ1為主動件轉(zhuǎn)角誤差。假設(shè)表1 中各參數(shù)輸入誤差均服從正態(tài)分布，且其均值和標準差參照“3σ”原則給出。

表1 折紙機構(gòu)結(jié)構(gòu)參數(shù)及公差Table 1 Structural parameters and tolerances of paper folding mechanism

表2 折紙機構(gòu)部分運動學參數(shù)變化范圍Table 2 Variation ranges of kinematic parameters of paper folding mechanism

基于理論計算模型并應(yīng)用Matlab 對折紙變胞機構(gòu)的運動學分析和力學分析進行編程計算，并通過ADAMS 仿真對部分Matlab 計算結(jié)果進行驗證，兩種方法計算結(jié)果對比如圖10 和圖11所示。

圖10 第Ⅰ構(gòu)態(tài)變胞轉(zhuǎn)動副E的驅(qū)動力矩ΔT和約束力矩TkFig. 10 Driving torque ΔT and constraint torque Tk of metamorphic revolute joint E in working configuration Ⅰ

圖11 第Ⅱ構(gòu)態(tài)滑塊所受支反力R6x和彈簧力Fk2Fig. 11 Reaction force R6x and spring force Fk2 of slider in working configuration Ⅱ

變胞副E和G等效阻力系數(shù)fE和fG如圖12（a）所示，fE在第I 構(gòu)態(tài)臨近構(gòu)態(tài)切換時刻的局部放大圖如圖12（b）所示。其中θi為局部放大圖的邊界角位置，θj和θk分別為不可靠工作區(qū)的極限角位置。受表1 中各參數(shù)誤差影響，這一時間段內(nèi)變胞轉(zhuǎn)動副RE的運動狀態(tài)切換很可能被提前或滯后，造成運動時序錯亂。

圖12 折紙機構(gòu)等效阻力系數(shù)Fig. 12 Equivalent resistance coefficients of paper folding mechanism

基于計算式（25）和式（27），利用蒙特卡洛法隨機抽樣106次，計算構(gòu)態(tài)切換時刻變胞副E的等效阻力系數(shù)頻數(shù)直方圖見圖13（a），在正態(tài)分布概率紙上的檢驗曲線見圖13（b），分布為線性表明這一時刻等效阻力系數(shù)呈正態(tài)分布。

圖13 等效阻力系數(shù)fE構(gòu)態(tài)切換時刻頻率直方圖和Q-Q圖Fig. 13 Frequency histogram and Q-Q diagram of equivalent resistance coefficient fE at the moment of configuration transformation

基于4.2 節(jié)中推導的構(gòu)態(tài)切換能力的概率評估模型，構(gòu)態(tài)切換時刻及其相鄰時刻可靠度理論計算結(jié)果和蒙特卡洛仿真結(jié)果如表3所示。

表3 可靠度理論計算和蒙特卡洛仿真結(jié)果Table 3 Theoretical calculation and Monte Carlo simulation results of reliability

由式（34）得，折紙機構(gòu)的構(gòu)態(tài)切換能力的區(qū)間可靠度為

6 討 論

1）為了使本文提出的可靠性評估模型更具一般性，假設(shè)所有輸入誤差隨機變量均符合正態(tài)分布。對于一些符合其他分布類型的誤差隨機變量可以通過等效正態(tài)化處理［30］將其轉(zhuǎn)化為符合正態(tài)分布的隨機變量，進而利用提出的可靠性分析模型開展構(gòu)態(tài)切換能力的概率評估。

2）建立的構(gòu)態(tài)切換能力的概率評估模型本質(zhì)上是基于受力分析的，然而運動副間隙的存在會引起變胞副驅(qū)動力矩的波動，進而引起等效阻力系數(shù)的波動，最終影響概率評估結(jié)果。因此，提出的概率評估模型是僅考慮理想狀態(tài)下的力學模型，具有一定局限性。

3）顯然，約束變胞機構(gòu)在構(gòu)態(tài)切換時刻以及各相鄰時刻的運動失效存在相關(guān)性。然而在建立構(gòu)態(tài)切換區(qū)間可靠度計算模型時，直接采用了理想條件下串聯(lián)系統(tǒng)的可靠度計算方法，忽略了相關(guān)性的影響。因此，提出的構(gòu)態(tài)切換區(qū)間可靠度計算方法是在一定允許條件下的近似計算。

7 結(jié) 論

1）利用建立的變胞桿組模塊化受力分析模型提出了變胞轉(zhuǎn)動副的約束參數(shù)設(shè)計方法并設(shè)計了一種新型包含彈簧力-幾何組合變約束的變胞轉(zhuǎn)動副的結(jié)構(gòu)形式。

2）基于變胞副等效阻力系數(shù)的定義和計算，完成了確定性條件下約束變胞機構(gòu)構(gòu)態(tài)調(diào)控的力學機理建模。在確定性模型中，考慮輸入誤差的隨機性，建立了描述平面約束變胞機構(gòu)構(gòu)態(tài)切換能力的概率評估模型。首先，基于應(yīng)力-強度干涉模型提出了變胞副運動狀態(tài)切換的可靠度計算方法，進而建立了約束變胞機構(gòu)構(gòu)態(tài)切換時刻的可靠性評估模型。最后，考慮構(gòu)態(tài)切換相鄰時刻運動功能失效的影響，利用系統(tǒng)可靠性理論建立了構(gòu)態(tài)切換的區(qū)間可靠度計算模型。

3）以折紙變胞機構(gòu)的設(shè)計計算為例，驗證了論文提出的平面約束變胞機構(gòu)構(gòu)態(tài)切換概率評估方法的可行性和有效性?？煽啃苑治鼋Y(jié)果表明：構(gòu)態(tài)切換時刻，變胞轉(zhuǎn)動副的等效阻力系數(shù) 滿足均值μ=0.43、方 差σ2=1.21×10-6的 正態(tài)分布，構(gòu)態(tài)切換成功的時刻可靠度R=1、區(qū)間可靠度R=0.980 4。針對變胞機構(gòu)構(gòu)態(tài)切換能力提出的概率評估方法，也能為折展機構(gòu)、多模式機構(gòu)等具有可變工作構(gòu)態(tài)屬性機構(gòu)的構(gòu)態(tài)切換能力評估提供借鑒和參考。同時，為進一步推動變胞機構(gòu)在航空航天領(lǐng)域的實際工程應(yīng)用提供基礎(chǔ)理論和設(shè)計依據(jù)。