基于GA-SVR 的薄壁葉片輔助支撐布局優(yōu)化方法

鄭志陽，張陽，張釗，吳寶海，*，張瑩

1．西北工業(yè)大學(xué) 航空發(fā)動(dòng)機(jī)高性能制造工信部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，西安 710072

2．西北工業(yè)大學(xué) 航空發(fā)動(dòng)機(jī)先進(jìn)制造技術(shù)教育部工程研究中心，西安 710072

葉片作為航空發(fā)動(dòng)機(jī)的核心零部件，其加工質(zhì)量與加工精度直接影響航空發(fā)動(dòng)機(jī)的氣動(dòng)性能和服役壽命。數(shù)控銑削作為一種高精度、高效率的加工方式，廣泛應(yīng)用于航空發(fā)動(dòng)機(jī)中壓氣機(jī)葉片的精密成形。然而，作為一種典型的復(fù)雜曲面薄壁件，在銑削加工過程中葉片很容易受切削力的影響發(fā)生“讓刀”，也即彈性變形。這使得銑削過程中刀具的實(shí)際切削位置相對(duì)理論切削位置出現(xiàn)偏離，導(dǎo)致葉片的加工精度不達(dá)標(biāo)，從而影響發(fā)動(dòng)機(jī)服役性能［1］。因此，研究如何抑制壓氣機(jī)葉片在加工過程中產(chǎn)生的彈性變形，對(duì)于保證其加工精度，提高發(fā)動(dòng)機(jī)性能具有重要意義。

控制薄壁件加工彈性變形的前提是實(shí)現(xiàn)對(duì)變形的預(yù)測(cè)，這也一直是眾多學(xué)者的研究熱點(diǎn)。曹玉杰［2］基于加工變形柔性迭代算法建立了復(fù)雜曲面薄壁件的五軸銑削加工變形預(yù)測(cè)方法。黃澤華等［3-4］在考慮銑削力與彈性變形耦合效應(yīng)的基礎(chǔ)上，忽略銑削過程中材料去除對(duì)葉片加工剛度的影響，建立了薄壁葉片點(diǎn)銑加工彈性變形的迭代計(jì)算格式。Li 等［5］基于CWE 模型計(jì)算切削力并將其離散到整個(gè)刀齒嚙合區(qū)域，然后采用有限元法建立了讓刀導(dǎo)致的薄壁葉片五軸側(cè)銑加工型面誤差預(yù)測(cè)方法，同時(shí)在仿真過程中采用了結(jié)構(gòu)剛度修正法避免彈性變形導(dǎo)致的網(wǎng)格重繪。

薄壁件加工彈性變形的控制方法主要有加工刀軌補(bǔ)償［6-7］，切削參數(shù)優(yōu)化［8］，裝夾布局優(yōu)化［9-10］等方法。其中，合理的裝夾布局方案不僅可以保證工件的定位準(zhǔn)確度，而且能夠增強(qiáng)工件的加工剛度及切削穩(wěn)定性。為了綜合控制大型薄壁件自重導(dǎo)致的變形以及裝配公差，有學(xué)者通過有限元法計(jì)算不同裝夾布局下的工件變形，并基于花授粉算法［11］、社會(huì)輻射算法［12］等對(duì)裝夾布局進(jìn)行優(yōu)化。近年來，為了避免迭代優(yōu)化過程中大量的有限元計(jì)算，提高裝夾布局優(yōu)化效率，縮短夾具設(shè)計(jì)周期，代理模型成為新的研究趨勢(shì)。該方法首先通過構(gòu)建裝夾參數(shù)與布局優(yōu)劣評(píng)價(jià)指標(biāo)的樣本集合，其中布局優(yōu)劣評(píng)價(jià)指標(biāo)一般是工件的最大變形、平均變形、整體應(yīng)變能等，而評(píng)價(jià)指標(biāo)的數(shù)據(jù)來源可以是有限元仿真，也可以是生產(chǎn)現(xiàn)場(chǎng)數(shù)據(jù)［13］、然后通過神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)［14-15］、支持向量機(jī)回歸［16］，Kriging 模型［17］等方法訓(xùn)練樣本數(shù)據(jù)集，獲得裝夾參數(shù)與評(píng)價(jià)指標(biāo)之間的代理模型；最后在布局優(yōu)化過程中采用代理模型替代有限元法計(jì)算評(píng)價(jià)指標(biāo)，實(shí)現(xiàn)裝夾布局的快速優(yōu)化。

此外，在薄壁件的加工過程中施加輔助支撐，如鏡像銑、橡皮泥、磁流變材料［18］等也是可行的加工變形控制方式?；阽R像銑的概念，彈簧阻尼器［19］與氣射流［20］也被用于薄壁件的切削加工輔助支撐，通過與刀具做鏡像運(yùn)動(dòng)為工件提供阻尼，進(jìn)而降低加工振動(dòng)與變形并提高工件表面質(zhì)量，但鏡像類輔助支撐一般只能用于薄板類零件的加工。針對(duì)精鍛葉片榫根的精加工，Wu 等［21］以Peek-GF30 材料作為支撐頭設(shè)計(jì)了自適應(yīng)四點(diǎn)輔助支撐夾具，有效降低了葉片榫根精銑過程中葉身支撐部位的應(yīng)力集中與裝夾變形。Wang 等［22］設(shè)計(jì)了一種與機(jī)床協(xié)同控制的四點(diǎn)裝夾支撐平臺(tái)，在加工過程中對(duì)處于懸臂狀態(tài)的葉片榫根進(jìn)行支撐并且能夠自動(dòng)避讓刀具。針對(duì)薄壁框型件的銑削加工，Zeng 等［23］通過多點(diǎn)輔助支撐抑制薄壁件的加工振動(dòng)，并對(duì)輔助支撐的布局和數(shù)目進(jìn)行了同步優(yōu)化。然而，針對(duì)薄壁葉片的葉身型面銑削加工輔助支撐，目前還缺少相應(yīng)的研究。

針對(duì)薄壁葉片的加工彈性變形問題，設(shè)計(jì)了四自由度回轉(zhuǎn)輔助支撐機(jī)構(gòu)增加葉片的加工剛度，并提出了一種基于GA-SVR 的薄壁葉片輔助支撐布局優(yōu)化方法。第1 節(jié)建立了綜合考慮材料去除以及銑削力與彈性變形耦合效應(yīng)的葉片銑削加工有限元仿真預(yù)測(cè)模型；第2 節(jié)基于拉丁超立方設(shè)計(jì)和有限元仿真模型生成樣本集，再以支持向量機(jī)回歸訓(xùn)練樣本集，獲得評(píng)價(jià)指標(biāo)的代理預(yù)測(cè)模型；第3 節(jié)采用精英策略遺傳算法對(duì)薄壁葉片的輔助支撐布局進(jìn)行優(yōu)化；第4 節(jié)進(jìn)行薄壁葉片銑削加工及三坐標(biāo)測(cè)量實(shí)驗(yàn)，驗(yàn)證本文方法的有效性；第5 節(jié)得出結(jié)論。

1 薄壁葉片輔助支撐銑削有限元仿真建模

葉片型面特征復(fù)雜，并且其加工剛度隨著銑削過程中的材料去除而不斷下降，同時(shí)加工彈性變形與切削力之間呈現(xiàn)出很強(qiáng)的非線性耦合關(guān)系，這導(dǎo)致很難通過解析的方法實(shí)現(xiàn)葉片加工彈性變形的準(zhǔn)確預(yù)測(cè)。因此，在綜合考慮材料去除以及銑削力與彈性變形耦合效應(yīng)的基礎(chǔ)上，采用有限元法預(yù)測(cè)薄壁葉片的加工彈性變形。

1.1 考慮材料去除的葉片銑削仿真建模

1.1.1 葉片模型前處理

以航空發(fā)動(dòng)機(jī)的壓氣機(jī)葉片為研究對(duì)象，模型如圖1 所示，材料為TC4 鈦合金。

圖1 葉片幾何模型Fig. 1 Geometric model of blade

1） 葉片網(wǎng)格劃分

在精加工過程中，葉片毛坯余量所剩無幾，葉片的剛度隨著材料的逐步去除而不斷下降。為了模擬葉片切削過程中的材料去除，在Hypermesh 軟件中為葉身型面的余量層單獨(dú)劃分網(wǎng)格，整個(gè)葉片模型總計(jì)131 360 個(gè)單元。

2） 邊界條件的施加

大型葉片在銑削過程中通常采用榫根固定，葉尖處施加頂尖約束的裝夾形式。為了增強(qiáng)葉片弱剛性區(qū)域的加工剛度，為葉片額外增加桿狀物理輔助支撐。因此，在仿真過程中需要依次限制榫根節(jié)點(diǎn)所有的自由度，葉尖處的平動(dòng)自由度以及輔助支撐處的法向自由度。

1.1.2 切削載荷的確定及施加

當(dāng)銑削力的波形頻率遠(yuǎn)離機(jī)床固有頻率時(shí)，工件的彈性變形主要源于平均銑削力引起的靜態(tài)變形［24］。而且在切削過程中節(jié)點(diǎn)切平面內(nèi)的切削分力主要參與切削，法矢方向的切削分力主要導(dǎo)致彈性變形。如圖2 所示，進(jìn)行準(zhǔn)靜態(tài)切削仿真，通過在一系列離散的刀軌節(jié)點(diǎn)上按照切削順序依次施加法向切削載荷來模擬動(dòng)態(tài)的切削過程，計(jì)算當(dāng)前切削位置的彈性變形，圖中Fnor，s表示第s個(gè)離散刀軌節(jié)點(diǎn)的法向切削載荷。

圖2 離散的切削刀軌Fig. 2 Discrete machining tool path

1） 切削力方向

采用ANSYS 軟件進(jìn)行仿真求解，但ANSYS軟件無法直接沿任意矢量施加載荷。為了方便求解過程中切削載荷的施加，以及后處理階段中節(jié)點(diǎn)法向彈性變形的獲取，如圖3 所示，在前處理階段通過APDL 命令流依次將所有葉身型面節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)系的z軸旋轉(zhuǎn)至各自法矢方向，利用旋轉(zhuǎn)矩陣變換可得節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)角分別為

圖3 節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)Fig. 3 Rotation of node coordinate system

式中：ns=(is，js，ks)為第s個(gè)節(jié)點(diǎn)處的曲面法矢；θs為繞x軸的旋轉(zhuǎn)角；βs為繞y'軸的旋轉(zhuǎn)角。

節(jié)點(diǎn)的法矢（i， j， k）通過UG 二次開發(fā)獲取，為便于后續(xù)葉身變形規(guī)律的分析，同時(shí)提取了節(jié)點(diǎn)在葉身型面上的等參數(shù)化坐標(biāo)（u， v）。其中，第一條離散切削刀軌的節(jié)點(diǎn)信息如表1 所示。

表1 節(jié)點(diǎn)信息Table 1 Node information

2） 切削力大小

葉片通常采用五軸點(diǎn)銑進(jìn)行加工，在銑削過程中時(shí)變的刀軸傾角勢(shì)必引起刀具和工件之間切削條件的變化。因此，在傳統(tǒng)經(jīng)驗(yàn)公式模型的基礎(chǔ)上，針對(duì)薄壁葉片的點(diǎn)銑加工刀位特點(diǎn)，引入刀軸傾角這一影響因素，建立了五因素經(jīng)驗(yàn)公式，并通過正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)以及多元線性回歸［3］，標(biāo)定了球頭刀的五軸切削力經(jīng)驗(yàn)公式為

式中：Fx、Fy、Fz分別為切削力在x、y、z方向上的切削分力；ap為切削深度；ae為切削寬度；vc為切削速度；fz為每齒進(jìn)給；φ為刀軸傾角。

如圖3 所示，通過獲取的節(jié)點(diǎn)法矢信息可以確定每個(gè)切削位置的刀軸傾角，將切削參數(shù)與刀軸傾角代入式（2）可計(jì)算得到每個(gè)節(jié)點(diǎn)位置的理論切削力。進(jìn)一步地，將每個(gè)節(jié)點(diǎn)的理論切削力沿節(jié)點(diǎn)處曲面法矢方向投影，可獲得當(dāng)前位置的法向切削力，并以此作為有限元仿真的切削載荷。法向切削力的計(jì)算公式為

式 中：Fx，s、Fy，s、Fz，s分別為第s個(gè)節(jié)點(diǎn)在x、 y、 z方向的切削分力。

1.1.3 材料去除效應(yīng)仿真

通過ANSYS 軟件提供的單元生死法將余量層網(wǎng)格單元按照切削順序依次殺死來模擬切削過程中的材料去除，單元生死法無需將待“殺死”的單元從模型中直接刪除，而是對(duì)該單元的質(zhì)量和剛度矩陣進(jìn)行縮減：

式中：K0為待去除材料的初始單元?jiǎng)偠染仃?；Kd為材料去除后的單元?jiǎng)偠染仃?；?10-6為剛度縮減因子。

1.2 銑削力與彈性變形的耦合迭代格式

薄壁葉片在切削力的作用下發(fā)生的彈性變形使得實(shí)際切削深度小于名義切削深度，如圖4 所示，這導(dǎo)致實(shí)際的切削力小于按照名義切削深度計(jì)算得到的初始理論切削力。這也意味著銑削力與彈性變形之間是互相耦合的關(guān)系。傳統(tǒng)的薄壁件銑削加工彈性變形預(yù)測(cè)方法直接使用名義切削深度計(jì)算理論銑削力，并且僅通過一次有限元仿真計(jì)算葉片的加工彈性變形，完全忽略切削力與彈性變形之間的耦合效應(yīng)，導(dǎo)致預(yù)測(cè)精度不高。

圖4 銑削力與彈性變形的耦合效應(yīng)Fig. 4 Coupling effect between milling force and deflection error

為了更準(zhǔn)確的預(yù)測(cè)葉片的加工彈性變形，建立銑削力與彈性變形的耦合迭代格式，如式（5）所示，以每次仿真計(jì)算得到的加工彈性變形修正理論切削深度，重新進(jìn)行切削力的計(jì)算，這樣多次反復(fù)耦合迭代直至收斂，獲得最終的加工彈性變形預(yù)測(cè)值。

式 中：h=1，2，…，n；a0p，s和ahp，s分別為第s個(gè)節(jié)點(diǎn)的理論切削深度和經(jīng)過h次迭代后的切削深度；δhs為第s個(gè)節(jié)點(diǎn)在h-1 次迭代后經(jīng)有限元計(jì)算得到的法向彈性變形；Fh-1s為第s個(gè)節(jié)點(diǎn)在h-1 次迭代時(shí)的切削力：

此外，彈性變形導(dǎo)致的材料去除不充分使得預(yù)先劃分好的余量單元在真實(shí)切削過程中只有部分體積被去除。因此，為了避免繁瑣的網(wǎng)格重繪工作，提高計(jì)算效率，如圖5 所示，通過“不完全”殺死待去除單元來模擬材料的不充分去除。如式（7）所示，這種單元的“不完全”殺死是通過在仿真過程中修正當(dāng)前被切除網(wǎng)格單元的剛度矩陣實(shí)現(xiàn)的，修正系數(shù)為迭代過程中該單元上次計(jì)算所得變形值與其初始厚度的比值。

圖5 考慮變形的材料去除效應(yīng)修正Fig. 5 Modification of material removal effect considering deflection error

式中：Kt0和Kth分別為第t個(gè)單元的初始剛度矩陣和經(jīng)過h次迭代后的剛度矩陣；ωht為第t個(gè)單元在第h次迭代時(shí)的剛度修正因子；δth為h次迭代后第t個(gè)單元的彈性變形值，此處取該單元最近節(jié)點(diǎn)的變形值；a0p，t為第t個(gè)單元的理論切削深度。

以葉盆型面上某一個(gè)節(jié)點(diǎn)為例，對(duì)其加工彈性變形進(jìn)行耦合迭代運(yùn)算，直至前后兩次迭代所得變形的變化率小于設(shè)置的收斂精度，該節(jié)點(diǎn)在迭代7 次以后收斂，迭代過程如圖6 所示。

圖6 節(jié)點(diǎn)變形迭代過程Fig. 6 Iterative process of node deformation

1.3 葉片加工彈性變形迭代預(yù)測(cè)算法

綜合考慮葉片精銑過程中的材料去除及銑削力與彈性變形之間的耦合效應(yīng)，聯(lián)合ANSYS與MATLAB 軟件設(shè)計(jì)了薄壁葉片銑削加工彈性變形迭代預(yù)測(cè)算法如圖7 所示，其步驟如下：

圖7 葉片加工彈性變形預(yù)測(cè)流程圖Fig. 7 Prediction flow chart of blade deflection error

步驟1依據(jù)銑削力經(jīng)驗(yàn)式（2），按照切削順序求解出每個(gè)節(jié)點(diǎn)的初始法向切削力，然后在ANSYS 軟件的APDL 腳本程序中增加相應(yīng)布局下的輔助支撐位置約束。

步驟2APDL 程序讀取上次迭代求解得到的節(jié)點(diǎn)法向切削力，再由MATLAB 調(diào)用ANSYS 后臺(tái)執(zhí)行該APDL 腳本程序，求解所有離散刀軌節(jié)點(diǎn)的彈性變形值并且輸出。

步驟3將獲得的所有節(jié)點(diǎn)彈性變形值代入式（5），更新各個(gè)節(jié)點(diǎn)處的切削深度，再通過式（6）更新計(jì)算每個(gè)節(jié)點(diǎn)的法向切削力。

步驟4按照式（7）根據(jù)當(dāng)前節(jié)點(diǎn)變形值計(jì)算剛度修正因子，然后通過APDL 程序修正葉身待去除單元的剛度矩陣。

步驟5開始銑削力與彈性變形的耦合迭代循環(huán)運(yùn)算，將更新的法向切削力導(dǎo)入APDL 程序中，計(jì)算下一代每個(gè)節(jié)點(diǎn)的彈性變形量。

步驟6對(duì)比各個(gè)節(jié)點(diǎn)前后兩次彈性變形量的變化率是否小于設(shè)定的精度e，若收斂則輸出當(dāng)前所有節(jié)點(diǎn)的彈性變形量，得到葉片整體的彈性變形分布。

1.4 葉片加工彈性變形規(guī)律

定義葉身前緣到后緣為u方向，也即弦向，葉尖到葉根為v方向，也即展向。以等參數(shù)坐標(biāo)為基準(zhǔn)，繪制由加工彈性變形迭代預(yù)測(cè)算法得到的葉身型面加工彈性變形分布，如圖8 所示。

圖8 葉身型面加工彈性變形分布Fig. 8 Distribution of blade profile machine deflection error

分析葉身型面的加工彈性變形規(guī)律：

1） 葉身銑削加工彈性變形整體呈現(xiàn)馬鞍形，沿u向先減小后增大，沿v向先增大后減小，其原因在于：葉身弦向中部區(qū)域僅發(fā)生彎曲變形，而前后緣在切削力的作用下同時(shí)發(fā)生彎曲和扭轉(zhuǎn)變形；葉身展向中部則是由于無約束剛性差，使得其加工彈性變形大于葉尖和葉根。

2） 直接預(yù)測(cè)法得到的加工彈性變形明顯大于迭代預(yù)測(cè)所得，其原因在于：直接預(yù)測(cè)法忽略了切削力與彈性變形之間的耦合效應(yīng)，其計(jì)算結(jié)果僅相當(dāng)于迭代預(yù)測(cè)法的初代計(jì)算值。

3） 在葉身中部v=0.5 截面處施加兩點(diǎn)輔助支撐后，葉盆與葉背曲面的加工彈性變形得到顯著抑制，而且均勻程度也得到明顯提升，這表明為葉片增加加工輔助支撐是有效的。

2 基于SVR 的加工彈性變形代理預(yù)測(cè)模型

盡管第1 節(jié)建立的有限元模型能夠較好的預(yù)測(cè)薄壁葉片的整體加工彈性變形，但單純的有限元法不利于后續(xù)輔助支撐布局優(yōu)化過程中大量的加工彈性變形計(jì)算。而基于SVR 的代理預(yù)測(cè)模型則有效解決了優(yōu)化過程中目標(biāo)變形特征的快速計(jì)算問題。

2.1 基于OLHD 的輔助支撐布局設(shè)計(jì)

葉片的加工彈性變形量隨不同的輔助支撐布局而改變，而輔助支撐的數(shù)目和位置是布局方案的兩個(gè)關(guān)鍵參數(shù)。為了保證通過抽樣生成的支撐位置能夠定位在葉身型面上，通過等參數(shù)化坐標(biāo)確定輔助支撐在葉身曲面上的位置。因此，輔助支撐布局優(yōu)化的設(shè)計(jì)變量可表示為

式中：xi為第i種輔助支撐布局方案；m為支撐點(diǎn)數(shù)目；xij=(uij，vij)為第i種布局方案的第j個(gè)支撐點(diǎn)的等參數(shù)化坐標(biāo)，其中，uij、vij∈[0，1]。

現(xiàn)有的研究成果表明，同一葉片截面上施加的輔助支撐超過兩點(diǎn)，對(duì)于加工彈性變形的抑制效果提升非常微弱，而多截面支撐則會(huì)顯著降低加工效率［25］。因此，為了提高加工效率并且避免多點(diǎn)桿狀輔助支撐對(duì)加工過程產(chǎn)生過多干涉，僅對(duì)加工過程中的薄壁葉片設(shè)置單截面兩點(diǎn)輔助支撐，布局設(shè)計(jì)變量可寫為

式中：由于兩個(gè)支撐點(diǎn)位于同一葉片截面上，則有vi=vi1=vi2。

為增加樣本點(diǎn)在設(shè)計(jì)空間分布的均勻性，基于最優(yōu)拉丁超立方設(shè)計(jì)（Optimal Latin Hypercube Design， OLHD），針對(duì)葉盆型面生成不同的輔助支撐布局方案作為初始樣本輸入。采用有限元仿真計(jì)算相應(yīng)布局方案下葉片的目標(biāo)變形特征，也即最大加工彈性變形與整體變形均方差作為樣本輸出。最終，獲得100 組樣本數(shù)據(jù)如表2 所示。

為了提高后續(xù)葉片加工彈性變形預(yù)測(cè)模型訓(xùn)練的識(shí)別精度，表2 中的樣本輸出數(shù)據(jù)在訓(xùn)練前需要進(jìn)行歸一化處理：

表2 葉盆布局方案采樣數(shù)據(jù)集Table 2 Layout scheme sampling data set of blade concave

式中：Δmax和Δmin分別為樣本輸出數(shù)據(jù)中的最大值和最小值；Δi為輔助支撐布局xi下葉身型面的最大加工彈性變形Δmax(xi)或整體變形均方差Δsd(xi)，yi表示歸一化后輔助支撐布局xi下的樣本響應(yīng)值。

2.2 基于SVR 的代理模型構(gòu)建方法

支持向量機(jī)回歸（Support Vector machine Regression， SVR）是 統(tǒng) 計(jì) 學(xué) 家Vapnik 提 出 的一種新的通用機(jī)器學(xué)習(xí)方法，在解決小樣本、非線性問題方面優(yōu)勢(shì)顯著，并且具有較好的泛化性能［16］。其核心思想是將設(shè)計(jì)變量映射到高維空間，從而將低維非線性的問題轉(zhuǎn)化為高維空間中的線性回歸問題，其建模及求解過程［26］為

1） 給定訓(xùn)練樣本集合

式中：xi和yi分別為第i種支撐布局及其變形響應(yīng)，也即樣本輸入和輸出；n為訓(xùn)練樣本數(shù)目。

2） 構(gòu)建回歸模型

式中：f(X)為支持向量的回歸估計(jì)函數(shù)；φ(X)為將樣本映射到高維特征空間的非線性函數(shù)；w和b為待定參數(shù)，也是SVR 模型訓(xùn)練的關(guān)鍵。

3） 模型參數(shù)求解

如圖9 所示，以f(X)為中心，構(gòu)建一個(gè)寬度為2ε的間隔帶，并引入ε不敏感損失函數(shù)lε：當(dāng)訓(xùn)練樣本點(diǎn)落入此間隔帶時(shí)，也即回歸函數(shù)的返回值f(xi)與樣本輸出值yi的差小于等于ε時(shí)，則認(rèn)為損失為0，也即訓(xùn)練樣本可以被正確預(yù)測(cè)，而落在間隔帶之外的樣本點(diǎn)也就稱之為支持向量。于是SVR 問題可形式化為

圖9 SVR 基本原理Fig. 9 Rationale of SVR

引入松弛變量ξi和可將式（14）改寫為

式中：L為目標(biāo)函數(shù)；C為正則化常數(shù)，也稱之為懲罰系數(shù)，C越大表示對(duì)誤差超過ε的樣本懲罰越大；ε則規(guī)定了SVR 函數(shù)的誤差限制。

根據(jù)結(jié)構(gòu)風(fēng)險(xiǎn)最小化準(zhǔn)則求解式（15）可得w和b，為了便于求解，引入拉格朗日函數(shù)并將L轉(zhuǎn)化為對(duì)偶形式：

式中：K(xi，xj)=φ(xi)Tφ(xj)為核函數(shù)；αi、ai為拉格朗日乘子。

求解式（16）可得最優(yōu)解為

因此，可進(jìn)一步得出參數(shù)w和b為

式中：nsv為支持向量的個(gè)數(shù)。

于是，將式（18）代入式（12）可得支持向量機(jī)的回歸函數(shù)為

4） 核函數(shù)的選取

SVR 通過核函數(shù)實(shí)現(xiàn)低維空間的非線性數(shù)據(jù)到高維空間的映射，解決了原始樣本空間中線性擬合困難的問題，并且不會(huì)增加數(shù)據(jù)數(shù)量。由于高斯徑向基核函數(shù)（Gaussian Radial Basis kernel Function， RBF）超參數(shù)少、精度高，具有很好的逼近特性，因此，選取RBF 構(gòu)建SVR 的核函數(shù)：

式中：γ=1 2σ2，也即RBF 的幅寬；γ越大則高斯分布又瘦又長(zhǎng)，容易過擬合；γ越小則高斯分布又矮又胖，平滑效應(yīng)太大，無法在訓(xùn)練集上得到較高的準(zhǔn)確率，容易欠擬合。

2.3 基于GS-CV 的SVR 超參數(shù)優(yōu)化

（C，γ）是SVR 模型訓(xùn)練過程中的兩個(gè)關(guān)鍵超參數(shù)，其選擇沒有一定的先驗(yàn)知識(shí)，本文數(shù)據(jù)集規(guī)模較小，為了充分利用有限數(shù)據(jù)獲得更高的預(yù)測(cè)精度，結(jié)合網(wǎng)格搜索（Grid-Search）和交叉驗(yàn)證（Cross-Validation）進(jìn)行了SVR 模型的超參數(shù)尋優(yōu)，確定了最佳的超參數(shù)組合，具體優(yōu)化步驟如下：

步驟1確定超參數(shù)（C，γ）的取值范圍。常用的取值范圍為[2-10，210]。

步驟2超參數(shù)網(wǎng)格化處理。由于參數(shù)范圍跨度較大，對(duì)超參數(shù)取值范圍以2 為底取對(duì)數(shù)可得(log2C，log2λ)∈[-10，10]，以0.25 為間隔進(jìn)行交叉取值，總計(jì)可得種81×81=6 561種超參數(shù)組合。

步驟3K折交叉驗(yàn)證。從100 組樣本數(shù)據(jù)中取80 份作為訓(xùn)練數(shù)據(jù)集，20 份作為測(cè)試數(shù)據(jù)集。令K=5，再將訓(xùn)練數(shù)據(jù)集均分為5 份，每份數(shù)據(jù)輪流作為驗(yàn)證集，評(píng)價(jià)通過剩余4 份數(shù)據(jù)訓(xùn)練得到的模型優(yōu)劣，最后以均方預(yù)測(cè)誤差最小的超參數(shù)作為交叉驗(yàn)證中的最優(yōu)超參數(shù)。

步驟4超參數(shù)組合網(wǎng)格搜索。選取下一組超參數(shù)組合重復(fù)步驟3，直至找到均方誤差最小的超參數(shù)組合，作為當(dāng)前樣本集合下的最優(yōu)SVR 模型超參數(shù)。當(dāng)模型訓(xùn)練過程中出現(xiàn)不同的參數(shù)組合（C，γ）對(duì)應(yīng)相同的交叉驗(yàn)證精度時(shí)，一般選擇C更小的一組參數(shù)，以便于提高模型的泛化能力。

經(jīng)GS-CV 優(yōu)化后，分別獲得了葉盆最大加工彈性變形與整體變形均方差訓(xùn)練模型的最佳超參數(shù)如表3 所示。

表3 最佳超參數(shù)組合Table 3 Optimal hyperparameter combination

2.4 SVR 代理預(yù)測(cè)模型精度評(píng)估

以葉盆為例，對(duì)其最大加工彈性變形和整體變形均方差兩個(gè)特征進(jìn)行預(yù)測(cè)性能的評(píng)估，二者在訓(xùn)練集和測(cè)試集的預(yù)測(cè)精度評(píng)價(jià)如表4 所示，其中均方誤差MSE 均接近于0，判定系數(shù)R2均接近于1。另外，從 圖10 中可以發(fā)現(xiàn)最大變形預(yù)測(cè)模型在測(cè)試集上的預(yù)測(cè)值和樣本值極為接近，這表明本文訓(xùn)練的薄壁葉片加工彈性變形代理預(yù)測(cè)模型的預(yù)測(cè)性能非常優(yōu)越。

表4 模型精度評(píng)價(jià)Table 4 Evaluation of model accuracy

圖10 測(cè)試集的模型預(yù)測(cè)結(jié)果Fig. 10 Model prediction results on test set

3 基于E-GA 的輔助支撐布局優(yōu)化方法

通過兩點(diǎn)桿狀輔助支撐來控制葉片在加工過程中由于彈性變形導(dǎo)致的加工誤差，合理的輔助支撐布局能夠最大程度地減小葉片的加工彈性變形。然而，生產(chǎn)現(xiàn)場(chǎng)大多憑借經(jīng)驗(yàn)確定輔助支撐位置，很難獲得最優(yōu)的布局方案。因此，葉片輔助支撐的布局優(yōu)化對(duì)于減小加工彈性變形、提高葉片加工精度具有重要意義。

3.1 輔助支撐布局優(yōu)化建模

為了控制葉片的最大加工誤差，同時(shí)提高葉身加工誤差的均勻度，以薄壁葉片的最大加工彈性變形與整體變形均方差兩個(gè)特征最小為優(yōu)化目標(biāo)，建立兩點(diǎn)輔助支撐布局優(yōu)化模型：

式中：Δj(xi)為葉身型面上第j個(gè)節(jié)點(diǎn)的變形值；為葉身型面上所有節(jié)點(diǎn)變形的平均值；分別為支撐桿與型面的切向與法向接觸力；X為裝夾設(shè)計(jì)可行域；μ為摩擦系數(shù)。

最大彈性變形與整體變形均方差2 個(gè)目標(biāo)變形特征采用SVR 代理模型取代有限元法進(jìn)行優(yōu)化時(shí)目標(biāo)函數(shù)的計(jì)算：

式中：fmax(xi)和fsd(xi)分別為通過SVR 代理模型預(yù)測(cè)的葉片在輔助支撐布局xi下的最大加工彈性變形和整體彈性變形均方差。

由于最小化葉身的最大彈性變形相應(yīng)地會(huì)降低葉身整體變形的均方差，提高葉身變形的均勻程度。因此，為了降低優(yōu)化目標(biāo)的冗余，對(duì)葉身最大加工彈性變形和整體變形均方差的采樣數(shù)據(jù)進(jìn)行皮爾遜相關(guān)性分析，通過式（23）可得二者的相關(guān)系數(shù)R=0.989 5，接近于1，這表明兩個(gè)特征高度正相關(guān)。因此，針對(duì)薄壁葉片輔助支撐的多目標(biāo)布局優(yōu)化問題，便可以簡(jiǎn)化為針對(duì)最大加工彈性變形的單目標(biāo)布局優(yōu)化。

3.2 基于E-GA 的輔助支撐布局優(yōu)化

精英策略遺傳算法（E-GA）將精英策略選擇算子引入傳統(tǒng)的遺傳算法中，通過將父代中的精英保留并替代子代種群中的適應(yīng)度最低的個(gè)體，有效保證了在進(jìn)化過程中出現(xiàn)的最優(yōu)個(gè)體不會(huì)被選擇、交叉和變異操作所丟失和破壞，顯著提升了標(biāo)準(zhǔn)遺傳算法的全局收斂能力。鑒于此，采用E-GA 對(duì)葉盆的兩點(diǎn)輔助支撐布局進(jìn)行優(yōu)化，設(shè)置種群大小為40，進(jìn)化代數(shù)為100，交叉概率為0.9，變異概率為0.1，精英選擇算子為0.025，優(yōu)化流程及優(yōu)化跟蹤圖分別如圖11 和12 所示。

圖11 輔助支撐布局優(yōu)化流程圖Fig. 11 Optimization flow chart of auxiliary support layout

如圖13 所示，優(yōu)化得到的葉盆最佳加工輔助支撐布局為xoptimal=[(0.32，0.42)，(0.90，0.42)]，對(duì)應(yīng)的整體變形分布如圖14 所示，相比于無輔助支撐狀態(tài)，其最大加工彈性變形由178.2 μm 降到64.4 μm，下降63.9%；整體變形均方差由42.4 μm 降到12.9 μm，下降69.6%，對(duì)加工彈性變形的抑制效果顯著。同時(shí)，對(duì)比隨機(jī)兩點(diǎn)輔助支撐布局xrandom=[(0.26，0.59)，(0.84，0.59)]，可以發(fā)現(xiàn)最佳輔助支撐布局下葉盆型面的最大加工彈性變形更小，而且整體變形趨勢(shì)更加均勻。

圖12 葉盆輔助支撐布局優(yōu)化跟蹤圖Fig. 12 Tracking diagram of auxiliary support layout optimization for blade concave

圖13 葉盆最佳兩點(diǎn)輔助支撐布局Fig. 13 Optimal 2-points auxiliary support layout of blade concave

圖14 不同輔助支撐布局下的葉盆變形分布Fig. 14 Deflection error distribution of blade concave with different auxiliary support layouts

4 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

為驗(yàn)證建立的有限元仿真模型對(duì)薄壁葉片銑削加工彈性變形預(yù)測(cè)的準(zhǔn)確性，以及輔助支撐對(duì)于葉片加工彈性變形的抑制效果，針對(duì)葉背和葉盆分別進(jìn)行了精加工銑削及測(cè)量驗(yàn)證實(shí)驗(yàn)，加工參數(shù)如表5 所示，切削刀軌由商業(yè)軟件NX 11生成。此外，盡管彈性變形在加工后便會(huì)恢復(fù)，很難直接測(cè)量，但卻是薄壁件加工誤差的主要來源，因此，本文通過測(cè)量葉片加工誤差來表示加工彈性變形。

表5 加工參數(shù)設(shè)定Table 5 Machining parameter setting

4.1 加工彈性變形有限元仿真預(yù)測(cè)模型驗(yàn)證

在葉背型面的精加工銑削完成后，如圖15 所示，通過三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)測(cè)量了葉背型面上2 條弦向曲線v=0.10， 0.50，以及1 條展向曲線u=0.90的輪廓，然后求解輪廓測(cè)點(diǎn)與理論曲線之間的法向間距，并以此作為每個(gè)測(cè)點(diǎn)位置的加工彈性變形。分別繪制3 條曲線的加工彈性變形的預(yù)測(cè)值與實(shí)際測(cè)量值，如圖16（b）～圖16（d）所示，可以直觀地發(fā)現(xiàn)采用有限元仿真模型預(yù)測(cè)的葉背型面加工彈性變形趨勢(shì)與實(shí)測(cè)的加工彈性變形趨勢(shì)比較吻合，每條曲線的預(yù)測(cè)誤差如表6 所示，其中最大平均預(yù)測(cè)誤差17.6%，最小平均預(yù)測(cè)誤差僅為6.6%，表明建立的薄壁葉片銑削加工彈性變形有限元仿真預(yù)測(cè)模型具有較高的準(zhǔn)確性。

圖15 葉背銑削加工及測(cè)量實(shí)驗(yàn)Fig. 15 Milling and measuring experiment of blade convex

圖16 葉背加工彈性變形預(yù)測(cè)Fig. 16 Deflection error prediction of blade convex

表6 葉背加工彈性變形預(yù)測(cè)誤差Table 6 Prediction error of blade convex deflection

4.2 輔助支撐加工彈性變形控制效果驗(yàn)證

為實(shí)現(xiàn)薄壁葉片的輔助支撐銑削加工，設(shè)計(jì)了一種四自由度回轉(zhuǎn)輔助支撐機(jī)構(gòu)，如圖17 所示。該機(jī)構(gòu)通過定位塊在機(jī)床工作臺(tái)上實(shí)現(xiàn)x方向上的定位；在銑削加工過程中，葉身型面通過上下成對(duì)的球頭螺桿進(jìn)行支撐，并且支撐高度在z方向可以調(diào)整，從而適應(yīng)葉身上不同的曲面高度；固定框上設(shè)計(jì)有多個(gè)螺紋孔，實(shí)現(xiàn)了支撐螺桿在y方向上的定位。此外，回轉(zhuǎn)機(jī)構(gòu)的設(shè)計(jì)使得該輔助支撐機(jī)構(gòu)能夠繞x方向旋轉(zhuǎn)，可適應(yīng)彎扭葉片不同的展向位置。

圖17 回轉(zhuǎn)式輔助支撐機(jī)構(gòu)Fig. 17 Rotary auxiliary support mechanism

如圖18 所示，采用該輔助支撐機(jī)構(gòu)進(jìn)行了葉盆型面的精加工銑削，支撐布局采用第3 節(jié)優(yōu)化得到的最佳兩點(diǎn)輔助支撐布局方案。

圖18 葉盆銑削加工及測(cè)量Fig. 18 Milling and measuring experiment of blade concave

同樣地，在加工結(jié)束后采用三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)測(cè)量了葉尖區(qū)域五條弦向曲線，分別是v=0.05 至v=0.25。如圖19 所示，分別繪制出無輔助支撐狀態(tài)下葉盆加工彈性變形的預(yù)測(cè)值、最佳輔助支撐狀態(tài)下的預(yù)測(cè)值以及測(cè)量值對(duì)比圖，可以看出：

圖19 葉盆加工彈性變形預(yù)測(cè)Fig. 19 Deflection error prediction of blade concave

1） 在最佳輔助支撐下，薄壁葉片加工彈性變形的預(yù)測(cè)趨勢(shì)與測(cè)量趨勢(shì)基本一致。

2） 在增加輔助后，薄壁葉片的加工彈性變形得到了顯著的抑制，而且變形趨勢(shì)更加均勻。

為探究輔助支撐對(duì)于薄壁葉片加工彈性變形的抑制程度，定義節(jié)點(diǎn)的加工彈性變形抑制效果指標(biāo)為

式中：zs和z's分別為節(jié)點(diǎn)s處的加工彈性變形預(yù)測(cè)值和實(shí)測(cè)值；ηs為節(jié)點(diǎn)s的加工彈性變形抑制效果指 標(biāo)；num 為預(yù)測(cè)點(diǎn)數(shù) 目為預(yù)測(cè)節(jié)點(diǎn)的變形抑制效果平均值，也即平均抑制效果。

計(jì)算5 條參數(shù)化曲線整體加工彈性變形的最大、最小、平均預(yù)測(cè)誤差，以及平均抑制效果指標(biāo)如表7 所示，可以看出：

表7 葉盆加工彈性變形預(yù)測(cè)誤差Table 7 Prediction error of blade concave deflection

1） 輔助支撐下薄壁葉片加工彈性變形的平均預(yù)測(cè)誤差均在20%以下。

2） 隨著v值的增長(zhǎng)，也即切削區(qū)域越靠近輔助支撐區(qū)域，輔助支撐對(duì)于加工彈性變形的平均抑制效果愈發(fā)顯著，在v=0.25 曲線處，平均抑制效果可達(dá)57.6%。

3） 在v∈[0.75，1.0]范圍內(nèi)彈性變形預(yù)測(cè)值與實(shí)測(cè)值偏離較為明顯，導(dǎo)致最大預(yù)測(cè)誤差較大，準(zhǔn)確性稍差。經(jīng)過分析，其原因在于設(shè)計(jì)的輔助支撐機(jī)構(gòu)在y向也即弦向的支撐位置通過螺紋孔定位，無法做到弦向支撐位置連續(xù)可調(diào)，導(dǎo)致第2個(gè)支撐桿位置相對(duì)理論最佳位置有一定偏離。

以上結(jié)果表明，薄壁葉片的銑削加工采用輔助支撐并對(duì)支撐布局進(jìn)行優(yōu)化，對(duì)于抑制葉片加工誤差，提升葉片加工精度效果十分顯著。

5 結(jié) 論

1） 綜合考慮切削過程中的材料去除以及銑削力與彈性變形的耦合效應(yīng)，提出了一種薄壁葉片銑削加工彈性變形迭代預(yù)測(cè)方法，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，最大平均預(yù)測(cè)誤差為17.6%。

2） 采用支持向量機(jī)回歸訓(xùn)練得到了葉片最大加工彈性變形以及整體彈性變形均方差的快速代理預(yù)測(cè)模型，測(cè)試結(jié)果表明回歸模型的判定系數(shù)R2接近于1，具有較高的預(yù)測(cè)準(zhǔn)確性。

3） 建立了薄壁葉片輔助支撐布局優(yōu)化模型，并基于精英策略遺傳算法和代理預(yù)測(cè)模型對(duì)葉盆型面的兩點(diǎn)輔助支撐布局進(jìn)行了優(yōu)化，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明優(yōu)化后的輔助支撐布局對(duì)于葉片加工彈性變形的抑制效果顯著，最高降幅可達(dá)57.6%。