中考數(shù)學(xué)代數(shù)中分類討論思想的應(yīng)用

陳學(xué)靈

摘 要：分類討論思想作為一種重要的數(shù)學(xué)思想，被廣泛應(yīng)用于初中數(shù)學(xué)問題的解決中.我們常遇到一些數(shù)學(xué)問題，其答案包含多種結(jié)果而非唯一，此時往往需要根據(jù)題意和已知條件給予分類討論，以得到全面、準(zhǔn)確而嚴(yán)謹(jǐn)?shù)慕Y(jié)論.作為教師，在數(shù)學(xué)課堂上要重視學(xué)生的素質(zhì)教育，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，讓學(xué)生充分理解數(shù)學(xué)思想，掌握數(shù)學(xué)解題方法，并學(xué)會靈活應(yīng)用.本文通過論述分類討論思想對于中學(xué)生解題的重要意義，以及分類討論思想在中考數(shù)學(xué)代數(shù)中的應(yīng)用，淺談對分類討論思想的一些思考，旨在幫助初中學(xué)生更好地理解和運用這一重要思想.

關(guān)鍵詞：分類討論思想；中考數(shù)學(xué)代數(shù)

1?分類討論思想對于中學(xué)生解題的重要意義

教育部制定的《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022版）》一書主要體現(xiàn)了以核心素養(yǎng)為導(dǎo)向的課程理念，同時強調(diào)課堂上針對學(xué)生四基（即基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗）的獲得、掌握和發(fā)展^［1］.因此，作為一名數(shù)學(xué)教師，在課堂上不僅要對學(xué)生講授課程內(nèi)容，而且要重視學(xué)生對數(shù)學(xué)基本思想和解題方法的掌握.教師需要思考如何讓數(shù)學(xué)課堂變得更為高效，讓學(xué)生在短短的45分鐘時間里除了理解課本知識，還能提升解題技能.而學(xué)生的解題技能與其對數(shù)學(xué)思想方法以及數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的掌握程度密切相關(guān).初中數(shù)學(xué)有很多重要的基本思想，比如函數(shù)思想、整體思想、方程思想、分類討論思想等等，本文主要分析分類討論思想，其廣泛應(yīng)用于初中數(shù)學(xué)解題中.學(xué)生要想掌握好這種思想，需要學(xué)會全方位地考慮問題，嚴(yán)謹(jǐn)分析，才能使結(jié)果全面、準(zhǔn)確，做到不重不漏.

1.1?分類討論思想的內(nèi)涵

分類討論思想的內(nèi)涵，是指根據(jù)所要研究問題的特點以及要求，將問題分成幾類，再將這些類別按需轉(zhuǎn)化為更小的一些問題，然后按照一定的標(biāo)準(zhǔn)，將這些問題進行逐一分類，再討論求解，最后歸納總結(jié)得出最初問題的答案^［2］.在初中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，分類討論思想常見且重要，常適用于將復(fù)雜的問題（如含參數(shù)問題，以及多解問題等情形）轉(zhuǎn)化為幾個小問題進行討論求解，被廣泛應(yīng)用于初中數(shù)學(xué)解題中.

1.2?分類討論思想對于中學(xué)生解題的重要意義

應(yīng)用分類討論思想解題，不僅有助于訓(xùn)練學(xué)生的數(shù)學(xué)邏輯思維，完善思維邏輯的嚴(yán)密性，同時對于提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，以及提高數(shù)學(xué)解題能力有所幫助.當(dāng)利用分類討論思想去解決一個復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題時，學(xué)生常常需要思考如何化難為易、化繁為簡，此時往往需要考慮能否將整個大問題按照一定的標(biāo)準(zhǔn)分成幾個小類別，然后再按照各類別進行探究.整個過程中，學(xué)生對于如何制定分類標(biāo)準(zhǔn)，如何保證分類結(jié)果不重不漏，進行了大量地思考、探索、推導(dǎo)、總結(jié)，充分鍛煉了數(shù)學(xué)思維能力，有助于培養(yǎng)嚴(yán)密的思維邏輯，同時也能提升學(xué)生的推理能力和應(yīng)用意識等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，從而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力.

1.3?分類意識的樹立

教師要引導(dǎo)學(xué)生在平時生活中和課堂上樹立分類意識，這樣學(xué)生在數(shù)學(xué)課堂上面對復(fù)雜習(xí)題時，才會有分類討論的思想意識.那么分類討論的意識具體應(yīng)該如何樹立呢？

一方面，學(xué)生在平時的點滴生活中要樹立分類意識.比如日常生活中，學(xué)生可以將衣物按照季節(jié)或長短進行分類整理；對于書籍可以按照學(xué)科或大小等標(biāo)準(zhǔn)進行分類；制定計劃時，可以按照緩急程度進行分類；購物時，可以將商品按照食物和生活用品的種類進行分類，而生活用品又可再細(xì)分.通過對生活中的事物進行分類，樹立和強化分類意識.

另一方面，教師在課堂上也要引導(dǎo)學(xué)生樹立分類的意識.首先，可以在課堂上引導(dǎo)學(xué)生對學(xué)習(xí)內(nèi)容進行分類，將數(shù)學(xué)問題按照題型、難度等進行分類；其次，在章節(jié)復(fù)習(xí)中也可以引導(dǎo)學(xué)生進行知識點的分類、歸納和總結(jié)，畫出樹狀圖并檢查是否系統(tǒng)全面；再次，在習(xí)題講解中遇到使用分類討論思想的情形時，可以通過講解分類的原理，幫助學(xué)生理解分類的目的和意義；最后，可以設(shè)計一些分類活動，讓學(xué)生在實踐中學(xué)習(xí)和理解分類的重要性和方法.

1.4?應(yīng)用分類討論思想的解題步驟

應(yīng)用分類討論思想解決數(shù)學(xué)問題，通常包含以下四個步驟：

第一步，確定被討論的對象.認(rèn)真分析題目，對已知條件合理利用，推進解題進程，再結(jié)合過程性結(jié)論和最終所求的問題確定需要討論的對象.一般來說，分類討論思想常適用于含參數(shù)的式子或方程，自變量范圍變動或未定的函數(shù)，去絕對值，方程多根，概念辨析等情況的研究.

第二步，明確討論范圍，制定分類標(biāo)準(zhǔn).要依據(jù)題目意思，圍繞被討論對象制定合理的分類標(biāo)準(zhǔn)，使大問題轉(zhuǎn)變成幾個相互獨立的小問題，討論時做到不重不漏，全面考慮.

第三步，討論過程要逐步或逐級進行，討論結(jié)果要進行檢驗.要根據(jù)分類標(biāo)準(zhǔn)進行逐步討論，如果討論到某一步時還出現(xiàn)多種情況，此時則需要再次分類進行討論.逐步或者逐級討論所得結(jié)果要進行檢驗篩選，看是否滿足題意.

第四步，綜上所述，歸納總結(jié).把逐步或者逐級分類討論得到的結(jié)果進行總結(jié)和歸納，以得到題目的最終答案.

2?中考數(shù)學(xué)代數(shù)中分類討論思想的應(yīng)用

初中數(shù)學(xué)的代數(shù)主要包含五大類別：實數(shù)、方程、代數(shù)式、函數(shù)、不等式.接下來通過分析每個類別中有代表性的中考代數(shù)試題，了解分類討論思想在題目中具體應(yīng)該如何應(yīng)用，體會掌握分類討論思想的重要意義，以及應(yīng)用分類討論思想的必要性.

2.1?在實數(shù)中的應(yīng)用

設(shè)計意圖：本道題考察不等式的恒成立問題.先求出第一個不等式的解集；再討論第二個不等式x的不定系數(shù)，討論其是否為0，從而確定不等式的解集；最后根據(jù)題意得到兩解集的包含關(guān)系，求出m的范圍.

3?總結(jié)

分類討論思想對于解決初中數(shù)學(xué)問題的重要性和必要性不言而喻，然而如何做到全而不重的分類，以及化零為整的討論是學(xué)生在實際應(yīng)用中的難點，因此對學(xué)生而言，運用好這種思想還是有一定的難度.本文主要論述分類討論思想在中考數(shù)學(xué)代數(shù)中的應(yīng)用，通過對中考代數(shù)試題分類而詳盡地解答，旨在讓學(xué)生更好地理解這一思想在解題中該如何應(yīng)用，體會這一思想的重要性；同時重視提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，滲透分類討論思想，幫助初中學(xué)生更好地解題，高效學(xué)習(xí).

參考文獻：

［1］ 中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2022.

［2］ 劉春雪.談?wù)勥\用分類討論思想解題的步驟［J］.語數(shù)外學(xué)習(xí)（ ?高中版下旬），2022（8）：46-47.〖FL）〗