重視思維過程 促進定理獲得

萬海兵

摘 要：在直線與平面垂直的判定定理教學中，由定義中的“與任意一條直線垂直”到定理中的“與兩條相交直線垂直”的跨越是教學的難點.本文從學科知識本質、學生認知基礎、教學實施過程三個方面分析問題存在的原因，提出兩種解決方案，使學生親歷化繁為簡、以簡馭繁的思維過程，發(fā)揮數學學科的育人功能.

關鍵詞：直線與平面垂直的判定定理；教學思考；定理獲得

1?問題提出

在《直線與平面垂直》的一節(jié)研討課中，學生在老師的引導下概括出直線與平面垂直的定義，緊接著發(fā)現(xiàn)用直線與平面垂直的定義來判斷直線與平面是否垂直不夠簡潔的問題，教師適時提出類比直線與平面平行的判定定理，將直線與平面垂直定義中的“與任意一條直線垂直”轉化為“與有限條直線垂直”的問題.學生帶著問題進入教材中（蘇教版《普通高中教科書數學（必修第二冊）》）折紙、旗桿與地面垂直情境的探討，順利得到直線與平面垂直的判定定理.縱觀整個課堂，學生積極參與，課堂氛圍輕松愉悅.

但探究直線與平面垂直的判定定理的過程中，有學生追問“怎么從任意一條直線就變成兩條相交直線了？”確實，在教學中教師雖提出類比直線與平面平行的判定定理的探索過程，但折紙、旗桿與地面垂直的情境等都是教師提供，直接暗示了兩條相交直線.筆者對出現(xiàn)該現(xiàn)象的原因，以及教學中如何改進進行了思考.

2?問題分析

學生能夠對直線與平面垂直的判定定理的探究過程提出疑問值得肯定，這表明學生希望經歷知識結論的探究和獲得過程，而不是教師的“告訴”，學會數學的思維，是對數學學科核心素養(yǎng)的追求.

以下從學科知識本質、學生認知基礎和教學實施過程三個方面對出現(xiàn)該現(xiàn)象的原因進行聚焦分析.

2.1?從學科知識本質上看，從任意到有限的跨越需要思維的降維轉化

“在空間的種種性質中，最為基本而且影響無比深遠者，首推對稱性和平直性”，直線與平面的關系是維數不同的兩類基本圖形的關系，是聯(lián)系維數相同的兩類基本圖形的橋梁，所以這是非常重要的^［1］.

從任意到有限的跨越是用于恰當數量、恰當條件的有限條直線的垂直關系去取代與任意直線的垂直，體現(xiàn)了思維的降維轉化.學生具有相交垂直、異面垂直等認知基礎.從維數上看，這是一維對象之間的垂直；學生具有線面垂直的直觀經驗，如旗桿垂直于地面，圓錐的軸線垂直于底面等，但缺乏線面垂直的理性認知.從任意到有限的跨越，是一維直線與二維平面之間的垂直轉化為一維直線之間的垂直，將比較抽象的問題轉化為比較直觀的問題來解決.

2.2?從學生認知基礎來看，學生缺乏對直線與平面垂直關系的理性認知

學生的認知基礎包括他們在學習過程中所掌握的知識、技能和經驗.理解直線與平面垂直的定義是本單元學生遇到的第一個難點.教材是這樣安排的：圓錐的軸線是“直”的，那么如何用數學的方式刻畫“直”？圓錐是由直角三角形繞一條直角邊旋轉而成，所以軸線與底面內每一條半徑都垂直，更進一步，根據異面直線垂直的定義，直線與平面內任意一條直線垂直，從而歸納出線面垂直的定義.該定義的抽象程度高，學生對于定義的理解也僅僅是勉強接受，以定義為起點思考從任意到有限的跨越，對學生來說比較困難.

思考從任意到有限的跨越，一方面是學生對直線與平面垂直的定義理解有困難；另一方面是有限條直線，到底是幾條，位置關系如何；兩部分如何進行過渡，學生沒有相應的載體支撐，更沒有可借鑒的經驗，所以處理起來有些棘手.

2.3?從教學實施過程來看，教師的教學行為沒有落到學生的關注點上

教師在準確把握教材的基礎上，需要根據學生的實際情況，對教材進行個性化的處理，圍繞知識產生的本源性問題來探究，引導學生主動構建知識.

對于直線與平面垂直的判定定理的教學，要在“直觀感知、操作確認”中通過多種途徑的說理，體現(xiàn)出邏輯推理的成分，使判定定理成為邏輯思維的培養(yǎng)過程^［1］.

本節(jié)課老師向學生提出類比直線與平面平行的判定定理，將直線與平面垂直定義中的“與任意一條直線垂直”轉化為“與有限條直線垂直”的問題后，帶著學生進入折紙、旗桿與底面垂直情境的探討.這樣的處理并沒有解決如何從任意到有限的問題，也錯失了一次與學生探討知識本源性問題的機會.教師需站在學生的角度，針對學生的認知基礎，思考可能遇到的障礙，搭建腳手架來分解問題，幫助學生更好地理解和掌握這個思維過程.

3?問題解決

3.1?已有的解決方案

如何實現(xiàn)從任意到有限的跨越，現(xiàn)有文獻采取的是以簡馭繁方案，即首先通過情境探究直線與平面垂直的判定定理的內容，然后說明兩條相交直線如何“替代”平面上所有直線.

如圖1，人教A版《普通高中教科書數學（必修第二冊）》是首先通過折紙情境探究感知，直線AD與平面α內的兩條相交直線BD，DC都垂直時，直線AD垂直于平面α，然后由基本事實的推論2，平面α可以看成由兩條相交直線BD，DC所唯一確定的，當直線AD垂直于這兩條相交直線時，就能保證直線AD與α內所有直線都垂直^［2］.筆者認為：折紙情境直接暗示了兩條相交直線，壓縮了學生的探究空間；運用基本事實推論2解釋兩條相交直線“替代”平面上所有直線是升維轉化，而線面垂直轉化為線線垂直是降維轉化，這樣的處理容易產生思維的跳躍，而且兩條相交直線BD，DC確定了平面α，那么直線AD垂直于BD，DC時，怎么保證直線AD與α內所有直線都垂直？

張士民老師采用的方式是教師首先引導學生從日常生活中的衣架、跨欄的架子、三角形紙片折疊總結出判定定理的內容，然后通過線面垂直的定義說明兩條相交直線如何“替代”平面上所有直線.如圖2，先固定BD，保證DC緊貼桌面，讓折紙的CAD部分繞著AD旋轉，旋轉過程中AD始終與平面α垂直，AD與平面α內任意一條過點D的直線都垂直，而平面α內不過點D的直線都可以通過平移移到點D，因此AD與平面α內任意一條直線都垂直^［3］.筆者認為：該方案的優(yōu)點是回歸線面垂直的定義，思路特別清晰，學生特別容易接受與掌握，不足之處是日常生活情境直接告知了兩條相交直線，學生的探究空間太小.

侯學萍、王振平老師采用的方式是教師引導學生依次討論直線與平面內一條直線、兩條平行直線、兩條相交直線的情形.如圖3，在張士民老師的折紙情境的基礎上，增加了翻折后的紙卡放在平面境上，觀察折痕與其成像的環(huán)節(jié)，當折痕與其成像在一條直線上時，折痕與平面垂直，最后從線面垂直定義的角度來解釋兩條相交直線如何“替代”平面上所有直線.筆者認為：該方案的優(yōu)點是學生依次討論一條直線、兩條平行直線、兩條相交直線，這是符合學生思維的探究過程；平面鏡的運用，為探究過程增加了亮點；不足之處是整個探究過程涉及多個情境，雖邏輯通順，但不免有些“亂”.

邱瑤老師與侯學萍、王振平老師的處理過程類似，最大的亮點是教師引導學生結合平面向量基本定理，加深對直線與平面垂直判定定理的理解，使學生在未證明定理的情況下依然能夠確認此定理的正確性.

張士民老師的折紙情境所發(fā)揮的作用得到教師們的認可；在折紙情境之前增加師生討論環(huán)節(jié)，提升了學生探究的空間，有利于學生邏輯思維的培養(yǎng)；通過線面垂直的定義說明兩條相交直線如何“替代”平面上所有直線，加深了學生對判定定理內容的理解；向量知識的運用更有錦上添花的效果.

如果能將討論環(huán)節(jié)的情境與折紙情境有機融合在同一情境中，那么探究過程將顯得更有序！同時是否可以直接從線面垂直的定義出發(fā)，探尋直線與平面垂直所需要的最少條件呢？

3.2?解決方法探析

探究直線與平面垂直所需要的最少條件，即探究平面內至少保留多少條直線，它們的位置關系如何.既然學生對理解直線與平面垂直的定義有困難，且缺少化多為少、化繁為簡的經驗，那么引導學生在熟悉的情境中，從簡單情況開始研究，直觀感知、操作確認，逐步積累處理問題的經驗，達到以簡馭繁的效果.在之前方案優(yōu)點的基礎上，筆者設計了一個新的折紙情境，整個探究過程在該情境中完成.

方案一：由少到多，從直線與平面內兩條相交直線垂直到直線與平面內任意一條直線垂直.

第一步?探究線面垂直判定定理的內容

問題1：將矩形紙片折疊成兩個矩形，將其中一個矩形置于桌面上（如圖4），將桌面上的矩形分別對折一次（如圖5），對折兩次（如圖6），思考直線l繞折痕a旋轉過程中，直線l與各圖中折痕的位置關系、直線l與平面α是否垂直？你能得出什么結論？

師生活動：學生獨立思考、討論交流后，師生共同總結得出：直線l繞折痕a旋轉過程中，與所有折痕垂直，但直線l與平面α不能始終垂直，進一步得出平行線與一條直線等效的結論.

設計意圖：平面內兩條直線的位置關系有相交與平行，而平行關系是比較容易處理的情形.學生通過自己的操作發(fā)現(xiàn)平行與一條直線等效后，目光自然轉向相交.問題的設置有助于學生加深定理中的“兩條相交直線”的理解，感受一條直線駕馭無數條直線的效果.

問題2：將矩形紙片折疊成兩個矩形豎立于桌面上（如圖7），選擇一個矩形對折一次（如圖8）、對折兩次（如圖9），調整各圖中紙片與平面α的交線之間的夾角，觀察紙片與平面α的交線與直線l的位置關系、直線l與平面α是否垂直？你能得出什么結論？

師生活動：學生獨立思考、討論交流后，師生共同總結得出：紙片與平面的交線與直線l垂直；直線l與平面α內兩條相交直線垂直，直線l與平面α垂直.

設計意圖：學生通過自己的操作，直觀感知直線只要垂直于平面內兩條相交直線就可以垂直于平面，增加的交線可以作為冗余條件去掉，感受到平面內兩條相交直線駕馭無數條直線的效果.學生在折紙活動中，動手實踐、小組討論，積累了基本活動經驗，提升了數學抽象、直觀想象、邏輯推理的學科素養(yǎng).

第二步?說明兩條相交直線如何“替代”平面上所有直線

如圖7，固定直線a，直線b繞直線l旋轉，旋轉過程中l(wèi)始終與平面α垂直.直線l與平面α內任意一條過點A的直線垂直，而平面α內不過點A的直線都可以通過平移移到點A，因此l與平面α內任意一條直線都垂直.

學生對理解直線與平面垂直的定義有困難，而判定定理本質上就是尋找直線與平面垂直的充分條件.探尋由繁到簡方案，不可避免回到直線與平面垂直的定義，梳理定義的探究過程.

方案二：由多到少，從直線與平面內任意一條直線垂直到直線與平面內兩條相交直線垂直.

問題1：如圖10，直線l垂直于平面α，垂足為O.結合直線與平面垂直的定義過程，思考如何保留平面α內的部分直線，使得直線l依然垂直于平面α？

師生活動：引導學生閱讀教材，在思考、討論后得出：運用異面垂直的定義，在平面α內，過點O作所有與直線l異面的直線的平行線（如圖11），那么直線l只要垂直于過點O的所有直線即可.

設計意圖：回到定義上去是一項重要的思想活動.教材通過圓錐模型引出直線與平面垂直的定義時有這樣一句話：“軸線與底面內的每一條半徑都垂直，就有軸線垂直于底面內所有直線”，這句話蘊含了以簡馭繁的思想，那么引導學生閱讀教材，回到異面垂直的定義，將直線與平面內所有直線垂直轉化為直線與平面內部分直線垂直也就順理成章.

通過問題，學生經歷了化繁為簡的過程，完成了從任意到有限的跨越.幾何畫板的運用，幫助學生獲取直觀性材料，加深了對知識的理解與認識，提高了課堂的效率.

4?教學啟示

4.1?教師對教學內容要有深入的理解

只有深入理解教學內容，才能幫助學生更好地理解和掌握教學內容.這種理解不僅僅是對知識點的記憶，更重要的是理解教學內容內在的邏輯、原理和應用.

從任意到有限的跨越，包含了豐富的培養(yǎng)學生理性思維的材料，如研究內容包含了直線的平行與垂直，直線與平面垂直；知識的背后蘊含了降低維度、化繁為簡等數學思想；從高等數學的觀點看，此內容是二維線性空間的特例，平面向量基本定理表明，用兩個不共線的向量可以張成整個平面.學生領會了知識背后蘊含的思想方法，對直線與平面垂直的判定定理的構建就更清晰了.

4.2?教學方法的選擇要符合學生的認知規(guī)律

選擇和運用符合學生認知規(guī)律的教學方法，對有效突破教學難點，提高教學效果至關重要.為了幫助學生實現(xiàn)從任意到有限的跨越，筆者充分考慮學生的背景知識、經驗、學習能力和興趣，設計了兩個解決方案：

“化繁為簡”方案的三步：“回到定義”是考慮到學生的背景知識；“尋找原型”是考慮到學生的經驗；“抽頁游戲”是考慮到學生的學習能力和興趣.三步層層遞進，尤其是抽頁游戲，激活學生思維，有效突破學生理解障礙.“以簡馭繁”方案是在折紙情境中分別討論平面內直線平行與相交兩種位置關系，在考慮學生學習能力和興趣的前提下，讓學生動手實踐，積累了基本活動經驗，有效突破難點.兩個方案在學生的最近發(fā)展區(qū)發(fā)展分析能力，提升學生的邏輯推理素養(yǎng).

4.3?充分發(fā)揮一般觀念對學生認知的引領作用

為了在課堂中有效落實數學學科核心素養(yǎng)，教師必須提高教學的品味，關鍵舉措之一就是要加強對一般觀念的指導，因為這些一般觀念可以給人以發(fā)現(xiàn)的眼光、洞察本質的智慧、用數學分析和解決問題的思想方法^［1］.

筆者設計的兩個解決方案是在“直線與平面的垂直關系轉化為直線與平面內直線的垂直關系進行研究”“研究判定定理就是研究直線與平面垂直的充分條件”等“一般觀念”的指導下，引導學生在系列化的情境中自主探索與發(fā)現(xiàn).“化繁為簡”方案的探究過程蘊含了回歸定義，由復雜到簡單、化生疏到熟悉等化歸思想.“以簡馭繁”方案的探究過程蘊含分類討論思想，歸納思想.學生在合作學習中運用各種數學思想進行深入探究，實現(xiàn)從任意到有限的跨越.

參考文獻：

［1］ 章建躍.核心素養(yǎng)立意的高中數學課程教材教法研究［M］.上海：華東師范大學出版社，2021.

［2］ 中學數學課程教材研究開發(fā)中心.普通高中教科書：數學A版 必修 第二冊［M］.北京：人民教育出版社，2019.

［3］ 張士民.基于感性發(fā)展理性?培養(yǎng)創(chuàng)新意識——“直線與平面垂直”的教學設計與反思［J］.數學通報，2012，51（10）：23-27.

［4］ 侯學萍，王振平.彰顯創(chuàng)新意識的教學設計——直線與平面垂直的判定［J］.內蒙古師范大學學報（教育科學版），2013，26（6）：138-140.

［5］ 邱瑤.“直線與平面垂直的判定”教學設計［J］.中國數學教育，2020（10）：42-46.