聚焦生長(zhǎng)特征 關(guān)注思維發(fā)展
——基于初中數(shù)學(xué)生長(zhǎng)教學(xué)的思考

沈瑩琪，褚水林

（浙江省湖州市行知中學(xué)；浙江省湖州市南潯區(qū)教育教學(xué)研究和培訓(xùn)中心）

著名教育家杜威認(rèn)為，教育即生活，由于生活是一個(gè)發(fā)展過(guò)程、生長(zhǎng)過(guò)程，所以教育即生長(zhǎng).在新課程改革背景下，課程目標(biāo)也發(fā)展到了現(xiàn)在的核心素養(yǎng).在核心素養(yǎng)視角下，目標(biāo)立意更注重知識(shí)、方法、能力、思維、態(tài)度的統(tǒng)合與生長(zhǎng).因此，當(dāng)下的教育教學(xué)應(yīng)順應(yīng)社會(huì)和學(xué)生的發(fā)展，以生長(zhǎng)、發(fā)展的眼光去培養(yǎng)學(xué)生的必備品格和關(guān)鍵能力.對(duì)此，卜以樓老師提出了“生長(zhǎng)數(shù)學(xué)”理念，主張讓學(xué)生學(xué)習(xí)具有生長(zhǎng)力的數(shù)學(xué).“生長(zhǎng)數(shù)學(xué)”的實(shí)質(zhì)是指以數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)、思維方法、重要思想的生長(zhǎng)形態(tài)與方法來(lái)建構(gòu)數(shù)學(xué)課堂結(jié)構(gòu)、形態(tài)的生長(zhǎng).褚水林在文獻(xiàn)［3］提出了生長(zhǎng)型復(fù)習(xí)課的基本內(nèi)涵和范式，并對(duì)生長(zhǎng)路徑進(jìn)行了詳細(xì)闡述.于是，眾多數(shù)學(xué)教師進(jìn)行了生長(zhǎng)型課堂的教學(xué)實(shí)踐.那么，“生長(zhǎng)”是否就是“變式”？如何進(jìn)行生長(zhǎng)教學(xué)才能有效提升學(xué)生的思維能力？本文中，筆者結(jié)合浙教版《義務(wù)教育教科書(shū)·數(shù)學(xué)》（以下統(tǒng)稱(chēng)“浙教版教材”），就這一話題談幾點(diǎn)思考，以期與同仁探討.

一、聚焦生長(zhǎng)的結(jié)構(gòu)性，發(fā)展思維的系統(tǒng)性

系統(tǒng)性思維是把物質(zhì)系統(tǒng)作為一個(gè)整體加以思考的思維方式，對(duì)人們認(rèn)識(shí)、研究復(fù)雜的事物具有重要意義.發(fā)展學(xué)生的思維系統(tǒng)性，需要在教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生以整體的視角理解數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì).《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》中提出，數(shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué)，要注重知識(shí)的“生長(zhǎng)點(diǎn)”與“延伸點(diǎn)”，把每堂課教學(xué)的知識(shí)置于整體知識(shí)的體系中，注重知識(shí)的結(jié)構(gòu)和體系，處理好局部知識(shí)與整體知識(shí)的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生感受數(shù)學(xué)的整體性.特別是在核心概念的教學(xué)中，如果教師進(jìn)行結(jié)構(gòu)化地生長(zhǎng)教學(xué)，建構(gòu)好與核心概念關(guān)聯(lián)的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，那么學(xué)生便能了解并理解“為什么會(huì)有這個(gè)知識(shí)點(diǎn)？”“這個(gè)知識(shí)點(diǎn)與其他知識(shí)點(diǎn)有什么關(guān)系？”“接下來(lái)將學(xué)習(xí)什么知識(shí)點(diǎn)？”等，從而厘清核心知識(shí)的內(nèi)涵與外延，分清整體與局部的關(guān)系，掌握知識(shí)之間的結(jié)構(gòu)體系.通過(guò)知識(shí)的生長(zhǎng)過(guò)程，學(xué)生能拾級(jí)而上，形成“一覽眾山小”的體驗(yàn)，從而看清數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì).

案例1：分式方程.

在浙教版教材七年級(jí)下冊(cè)“5.5分式方程”一節(jié)有以下一段文字.

“必須注意的是，解分式方程一定要驗(yàn)根，即把求得的根代入原方程，或者代入原方程兩邊所乘的公分母，看分母的值是否為0.使分母為0的根我們說(shuō)它是增根.”

這樣一段簡(jiǎn)單的文字中出現(xiàn)了一個(gè)新的概念——增根.對(duì)于七年級(jí)學(xué)生來(lái)說(shuō)，難以理解的是它與“方程的根”有什么關(guān)系.在作業(yè)中又會(huì)出現(xiàn)“分式方程無(wú)解”的情況.例如，這樣的一道習(xí)題：已知關(guān)于x的分式方程無(wú)解，求實(shí)數(shù)m的值.我們知道，分式方程需要轉(zhuǎn)化成整式方程才能進(jìn)一步求解，而七年級(jí)學(xué)生學(xué)過(guò)的一元整式方程只有一元一次方程，且最多只有一個(gè)解（初中階段默認(rèn)為實(shí)數(shù)解），所以一旦分式方程出現(xiàn)增根，那么該分式方程就會(huì)無(wú)解.在這樣的背景下，如果教師照本宣科，學(xué)生就會(huì)默認(rèn)一個(gè)錯(cuò)誤的結(jié)論：如果分式方程有增根，那么它就無(wú)解.從問(wèn)題的根源來(lái)講，學(xué)生根本沒(méi)有弄清楚“分式方程的根”“分式方程的增根”“分式方程有解”和“分式方程無(wú)解”這四個(gè)概念之間的關(guān)系.

筆者通過(guò)所在區(qū)域的各級(jí)初中數(shù)學(xué)教研活動(dòng)了解到，有很多學(xué)生存在這樣的問(wèn)題.為了解決這一問(wèn)題，教師需要從“生長(zhǎng)”的視角重構(gòu)本節(jié)課的教學(xué)，聚焦生長(zhǎng)的結(jié)構(gòu)性，建構(gòu)分式方程的知識(shí)體系，并適當(dāng)?shù)匮a(bǔ)充一些簡(jiǎn)單的一元二次方程等會(huì)出現(xiàn)多個(gè)實(shí)數(shù)解的一元整式方程，以思維導(dǎo)圖（如圖1）的形式讓學(xué)生清晰地了解與分式方程關(guān)聯(lián)的知識(shí)結(jié)構(gòu)網(wǎng)，讓學(xué)生更好地理解相關(guān)概念之間的聯(lián)系與區(qū)別，從而系統(tǒng)地認(rèn)識(shí)和理解“整式方程”和“分式方程”這兩個(gè)核心概念及相關(guān)知識(shí).在這樣的整體視角下，學(xué)生也能更加清晰地理解“分式方程無(wú)解”的本質(zhì).

圖1

二、聚焦生長(zhǎng)的自然性，發(fā)展思維的邏輯性

數(shù)學(xué)學(xué)科具有高度的抽象性和嚴(yán)密的邏輯性，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)必須通過(guò)思維去把握.思維的邏輯性培養(yǎng)很大程度上取決于教師在課堂中是否營(yíng)造了“思維必然”.教材中大部分的數(shù)學(xué)結(jié)論都給出了合情推理或演繹推理的過(guò)程，教師則需要在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷觀察、猜想、驗(yàn)證、歸納的過(guò)程，讓學(xué)生感受結(jié)論的自然生長(zhǎng)和生成.但由于學(xué)生知識(shí)水平的限制，有些結(jié)論便由教師直接給出了.面對(duì)這樣的情況，教師也應(yīng)該從“生長(zhǎng)”的視角出發(fā)，以育人為根本目標(biāo)，聚焦生長(zhǎng)的自然性，搭建“腳手架”，營(yíng)造思維必然，發(fā)展學(xué)生思維的邏輯性.

案例2：一次函數(shù)的圖象.

在浙教版教材八年級(jí)上冊(cè)“5.4一次函數(shù)的圖象”一節(jié)有以下一段文字.

“由此可見(jiàn)，一次函數(shù)y=kx+b（k，b都為常數(shù)，且k≠0）可以用直角坐標(biāo)系中的一條直線來(lái)表示，這條直線也叫做一次函數(shù)y=kx+b的圖象.”

在浙教版教材中，“一次函數(shù)在坐標(biāo)系中的圖象是一條直線”這個(gè)結(jié)論其實(shí)是在學(xué)生描了5個(gè)點(diǎn)后，通過(guò)觀察發(fā)現(xiàn)5個(gè)點(diǎn)幾乎共線的情況下直接給出的.這一過(guò)程看似合情合理，但八年級(jí)學(xué)生已經(jīng)具備了一定的演繹推理和證明的經(jīng)驗(yàn)，他們?cè)谟龅?個(gè)點(diǎn)幾乎共線的情況下，仍然會(huì)思考“這5個(gè)點(diǎn)一定共線嗎？”“可以證明嗎？”等一系列質(zhì)疑這個(gè)結(jié)論是否嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膯?wèn)題.如果教師忽略這個(gè)生長(zhǎng)節(jié)點(diǎn)，默認(rèn)“一次函數(shù)的圖象是直線”，勢(shì)必會(huì)造成學(xué)生思維鏈的斷裂.學(xué)生將帶著疑問(wèn)且機(jī)械地用“兩點(diǎn)法”畫(huà)一次函數(shù)的圖象.

如何解決這一問(wèn)題？筆者認(rèn)為，教師應(yīng)該聚焦結(jié)論的自然生長(zhǎng)，適切地為學(xué)生搭建思維的“腳手架”.本案例中，教師可以引導(dǎo)學(xué)生對(duì)一次函數(shù)y=kx+b（k＞0）形成這樣的理解：每當(dāng)x增加（減少）n（n＞0）個(gè)單位長(zhǎng)度時(shí)，y總是增加（減少）nk個(gè)單位長(zhǎng)度，并將這樣的理解賦予“形”的解釋.如圖2，AB∥CD∥Ox，BC∥DE∥Oy，AB=CD=n，BC=DE=nk，根據(jù)“SAS”可以判定△ABC≌△CDE，那么∠A=∠ECD，從而得∠ACB+∠BCD+∠ECD=180°，即A，C，E三點(diǎn)共線.由于n具有任意性，依此類(lèi)推，函數(shù)y=kx+b（k＞0）的圖象是一條直線.

圖2

這樣的啟發(fā)和引導(dǎo)，既考慮了學(xué)生的認(rèn)知水平，又順應(yīng)了結(jié)論的自然生長(zhǎng)，讓學(xué)生理解了一次函數(shù)的圖象為什么是一條直線.同時(shí)，讓學(xué)生在經(jīng)歷從變量同幅度增減到圖象以直線呈現(xiàn)的過(guò)程中，發(fā)展了思維的邏輯性和深刻性.

三、聚焦生長(zhǎng)的自主性，發(fā)展思維的創(chuàng)造性

創(chuàng)造性思維是以感知、記憶、思考、聯(lián)想、理解等能力為基礎(chǔ)，以綜合性、探索性和求新性為特征的高級(jí)心理活動(dòng).在數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)中，教師常用類(lèi)比、變式等方式引發(fā)學(xué)生進(jìn)一步思考，試圖發(fā)展學(xué)生思維的創(chuàng)造性.而這一目標(biāo)的落實(shí)，其根本在于學(xué)生具有自主類(lèi)比、探究的意識(shí)和能力.“生長(zhǎng)數(shù)學(xué)，生命成長(zhǎng)”的視角強(qiáng)調(diào)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)既是知識(shí)、方法、經(jīng)驗(yàn)、思維生長(zhǎng)的過(guò)程，更是學(xué)生生命體成長(zhǎng)的過(guò)程.教師的教學(xué)應(yīng)該通過(guò)環(huán)境創(chuàng)設(shè)、氛圍營(yíng)造、問(wèn)題聚焦、活動(dòng)組織等途徑，喚醒學(xué)生的生長(zhǎng)意識(shí)、激發(fā)學(xué)生的生長(zhǎng)動(dòng)力、積聚學(xué)生的生長(zhǎng)潛能，實(shí)現(xiàn)學(xué)生的知識(shí)、能力、情感、態(tài)度、價(jià)值觀等自發(fā)、自由、自主地生長(zhǎng).然而，知識(shí)點(diǎn)的教學(xué)要以數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)和教材為依據(jù)，需要教師的引導(dǎo)和組織才能完成，學(xué)生在這個(gè)過(guò)程中自主生長(zhǎng)的空間有限，而例題和習(xí)題的可改編性強(qiáng)，可挖掘的價(jià)值大，學(xué)生自己也可以進(jìn)行創(chuàng)編.因此，例題和習(xí)題的變式教學(xué)成了學(xué)生自主生長(zhǎng)的主要陣地.

案例3：相似三角形的性質(zhì)及其應(yīng)用.

在浙教版教材九年級(jí)上冊(cè)“4.5相似三角形的性質(zhì)及其應(yīng)用（3）”一節(jié)中有以下一道課后練習(xí)題.

如圖3，有一塊三角形余料ABC，它的邊BC=120 mm，高線AD=80 mm.要把它加工成正方形零件，使正方形的一邊在BC上，其余兩個(gè)頂點(diǎn)分別在AB，AC上.問(wèn)加工成的正方形零件的邊長(zhǎng)為多少？

圖3

該習(xí)題可挖掘的價(jià)值很高，2014年中考浙江紹興卷第20題就是基于此題進(jìn)行改編的.正因?yàn)槿绱耍P者觀摩的“相似三角形的應(yīng)用”的復(fù)習(xí)課中，幾乎每一節(jié)課都會(huì)引用此習(xí)題.有的教師將此習(xí)題進(jìn)行縱向變式，將三角形內(nèi)的正方形PQMN弱化成矩形，然后利用相似三角形和二次函數(shù)的性質(zhì)解決矩形面積的最值問(wèn)題.究其原因，是因?yàn)檫@樣的變式從特殊到一般，由靜到動(dòng)，層層遞進(jìn)，滲透了建模、轉(zhuǎn)化等思想.但這樣的變式教學(xué)仍然由教師在主導(dǎo)，學(xué)生只是在教師設(shè)定的“變式1”到“變式n”之間來(lái)回“刷題”，強(qiáng)化知識(shí)點(diǎn)而已，學(xué)生的思維缺乏發(fā)散性和創(chuàng)造性.這樣缺乏自主生長(zhǎng)的教學(xué)，終究無(wú)法落實(shí)數(shù)學(xué)育人的目標(biāo).

在一次研修活動(dòng)中，筆者以培養(yǎng)學(xué)生的自主生長(zhǎng)能力為目標(biāo)執(zhí)教了一節(jié)探究課——內(nèi)接正方形的生長(zhǎng)探究.這節(jié)課以這道教材習(xí)題引入，在學(xué)生回顧該習(xí)題的解決思路后，筆者讓學(xué)生針對(duì)該題再提出一個(gè)疑問(wèn).其中有如下三個(gè)問(wèn)題比較有探究?jī)r(jià)值.

（1）為什么已知三角形的底和高就能求出內(nèi)接正方形的邊長(zhǎng)？是否存在一個(gè)公式？

（2）在一個(gè)已知的三角形中，不通過(guò)計(jì)算，怎樣才能畫(huà)出這樣的正方形？

（3）如果將這個(gè)外接三角形改為扇形，那么這個(gè)內(nèi)接正方形的邊長(zhǎng)該怎么求？

在這節(jié)課中，筆者選取了問(wèn)題（1）和學(xué)生一起進(jìn)行了探究學(xué)習(xí)，從特殊到一般地歸納出了三角形的底和高與正方形邊長(zhǎng)之間的數(shù)量關(guān)系，并在課后讓學(xué)生繼續(xù)探究其余兩個(gè)問(wèn)題.

相比前一種教學(xué)，這樣的教學(xué)方式更突出以學(xué)生為主體.教師主要?jiǎng)?chuàng)設(shè)環(huán)境、營(yíng)造氛圍，引導(dǎo)學(xué)生從不同的角度發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題，激發(fā)學(xué)生的生長(zhǎng)潛能，而當(dāng)學(xué)生自發(fā)、自主地提出問(wèn)題時(shí)，這便是一種“思維必然”.由于思維的差異性，學(xué)生的自主生長(zhǎng)探究會(huì)更具層次性，擺脫了固定模式的變式，學(xué)生的思維生長(zhǎng)也更具發(fā)散性和創(chuàng)造性.

四、結(jié)束語(yǔ)

“生長(zhǎng)數(shù)學(xué)”理念以育人為根本，順應(yīng)課程改革和時(shí)代發(fā)展，以“生長(zhǎng)數(shù)學(xué)，生命成長(zhǎng)”的視角重構(gòu)初中數(shù)學(xué)教學(xué)具有重要意義.在基于“生長(zhǎng)數(shù)學(xué)”的教學(xué)過(guò)程中，教師要以發(fā)展學(xué)生的思維為目標(biāo)，凸顯數(shù)學(xué)教學(xué)的育人價(jià)值.在教學(xué)過(guò)程中，教師應(yīng)該深入研究教材，在教學(xué)中聚焦生長(zhǎng)的結(jié)構(gòu)性、自然性和自主性，讓學(xué)生理解知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展過(guò)程，以整體的視角看清數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)，并自主探索求新，從而發(fā)展學(xué)生思維的系統(tǒng)性、邏輯性和創(chuàng)造性.