重?cái)?shù)軸理解 促概念生成
——基于“三個(gè)理解”的數(shù)軸概念教學(xué)

周太平，朱 哲

（浙江省嘉興市秀洲區(qū)教育研究和培訓(xùn)中心；浙江師范大學(xué)教育學(xué)院）

數(shù)軸是體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想的重要工具，能夠直觀反映數(shù)的大小、順序、正負(fù)信息等，是建立坐標(biāo)系的基礎(chǔ).在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師幫助學(xué)生正確理解數(shù)軸的概念是很有必要的.實(shí)際教學(xué)中，教師是如何理解數(shù)軸的？如何處理教材中的數(shù)軸知識呢？我們又應(yīng)該對數(shù)軸教學(xué)有怎樣的分析和改進(jìn)呢？本文對此進(jìn)行探討.

一、教學(xué)中存在的認(rèn)識數(shù)軸的誤區(qū)

對于數(shù)軸，即規(guī)定了原點(diǎn)、正方向和單位長度的直線叫做數(shù)軸，其中，原點(diǎn)、正方向和單位長度是數(shù)軸的三要素.據(jù)此，教師在教學(xué)過程中往往會(huì)給出如下畫數(shù)軸的方法：（1）畫直線，取原點(diǎn)；（2）標(biāo)正方向；（3）選取單位長度再標(biāo)數(shù).從而畫出如圖1所示的比較標(biāo)準(zhǔn)的數(shù)軸．

圖1

對于圖2，根據(jù)數(shù)軸的表述，有很多教師認(rèn)為它不是數(shù)軸，因?yàn)闆]有標(biāo)明原點(diǎn)和單位長度.對于圖3也一樣，理由是沒有標(biāo)明原點(diǎn)和正方向.還有教師認(rèn)為，數(shù)軸一定是水平方向的，豎直方向的、斜方向的不是數(shù)軸．產(chǎn)生這些誤區(qū)的原因，主要在于這些教師對建立數(shù)軸的必要性、數(shù)軸三要素和數(shù)軸抽象的理解不到位.在七年級教學(xué)中，教師要求學(xué)生畫數(shù)軸時(shí)必須畫出三要素，這種要求在學(xué)生初學(xué)數(shù)軸時(shí)是必要的.但是教師對數(shù)軸的理解不能這樣片面.對于數(shù)軸，它的三要素缺一不可，但并不是必須畫出來.如圖3所示的圖形，從數(shù)字的排列看，右邊一定是正方向，1左邊一個(gè)單位的位置就一定是原點(diǎn)，因此這個(gè)圖形已經(jīng)給出了數(shù)軸的三要素，應(yīng)該是數(shù)軸．規(guī)定正方向，并不要求一定向右或者必須畫出箭頭來，因此可以間接規(guī)定而不畫出來．

圖2

圖3

厘清這些認(rèn)識，教師需要先明確數(shù)軸的作用，正確理解數(shù)軸的三要素和數(shù)軸概念的本質(zhì)，結(jié)合學(xué)生現(xiàn)有的心理發(fā)展水平和知識結(jié)構(gòu)，根據(jù)概念形成教學(xué)的理解，基于理解數(shù)學(xué)、理解學(xué)生和理解教學(xué)來思考如何設(shè)計(jì)數(shù)軸的教學(xué)過程.解決好這些問題，我們就能很好地實(shí)施數(shù)軸概念的教學(xué)．

二、從“三個(gè)理解”角度對數(shù)軸概念教學(xué)進(jìn)行再認(rèn)識

從理解數(shù)學(xué)、理解學(xué)生、理解教學(xué)的角度對數(shù)軸概念教學(xué)進(jìn)行再認(rèn)識，從而優(yōu)化教學(xué)設(shè)計(jì)，促進(jìn)學(xué)生對數(shù)軸概念的掌握和理解.

1.正確理解數(shù)軸

數(shù)軸是數(shù)學(xué)的核心概念之一，不僅是學(xué)習(xí)相反數(shù)、絕對值等知識的重要工具，也是學(xué)習(xí)不等式解法、函數(shù)等內(nèi)容的必要知識基礎(chǔ).理解數(shù)軸，需要體會(huì)數(shù)軸的作用、數(shù)軸的三要素規(guī)定的必要性和合理性.

（1）明確數(shù)軸的作用.

數(shù)軸是我們研究數(shù)的性質(zhì)的重要工具，因此要以合理使用為主要目的.利用數(shù)軸，我們可以從整體上認(rèn)識數(shù)的概念，包括數(shù)的大小，實(shí)數(shù)的有序性和稠密性，無理數(shù)的存在性，數(shù)與點(diǎn)的對應(yīng)關(guān)系，坐標(biāo)，等等.數(shù)軸的作用主要體現(xiàn)在以下幾方面.

①數(shù)軸體現(xiàn)了數(shù)與點(diǎn)的對應(yīng)關(guān)系.

直線是連續(xù)的，實(shí)數(shù)集也具備相應(yīng)的連續(xù)性，把每個(gè)點(diǎn)都對應(yīng)唯一一個(gè)實(shí)數(shù)的直線稱為數(shù)軸，這樣實(shí)數(shù)就和數(shù)軸上的點(diǎn)一一對應(yīng)了.在初中階段，我們應(yīng)該理解實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)的一一對應(yīng)關(guān)系.

②數(shù)軸反映了數(shù)的大小與點(diǎn)的順序關(guān)系.

利用這種關(guān)系能夠比較兩個(gè)數(shù)的大小，也可以說明不同點(diǎn)在數(shù)軸上的位置不同.這里需要強(qiáng)調(diào)原點(diǎn)的分界作用，給解不等式提供了一定的經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ).在理解數(shù)的大小的基礎(chǔ)上，還要強(qiáng)化數(shù)可以根據(jù)數(shù)軸進(jìn)行排序，可以按從小到大排序，也可以按從大到小排序，可以等間距排序，也可以變間距排序，為數(shù)列的學(xué)習(xí)提供經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)．

③數(shù)軸有助于理解數(shù)學(xué)概念.

很多數(shù)學(xué)概念可以通過數(shù)軸幫助理解，這里可以提出一些創(chuàng)新性的概念，也可以直觀地理解舊概念.例如，理解平均數(shù)時(shí)，可以把這些數(shù)表示在數(shù)軸上，再看這些數(shù)的位置與平均數(shù)的位置之間的關(guān)系.從平均數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)所處的具體位置來理解什么時(shí)候需要求平均數(shù)；還可以用平均數(shù)解釋一組數(shù)據(jù)的其他性質(zhì)，定義對稱數(shù)、等距數(shù)等新概念，為絕對值等概念的學(xué)習(xí)提供經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)．

④數(shù)軸可以解決一些實(shí)際問題的表述.

將實(shí)際問題表述到數(shù)軸上，建立已知和未知的聯(lián)系，從而達(dá)到解決實(shí)際問題的目的.小學(xué)階段，實(shí)際問題的線段圖表述的是定量水平，若將線段改成數(shù)軸，可以用“數(shù)形結(jié)合”方法來解決一些實(shí)際問題，也可以解決一些抽象的數(shù)學(xué)問題．

例如，如圖4，在一條筆直的公路上有7個(gè)村莊，其中A，B，C，D，E，F(xiàn)離城市的距離分別為4，10，15，17，19，20（單位：km），而村莊G正好是AF的中點(diǎn).現(xiàn)要在某個(gè)村莊建一個(gè)活動(dòng)中心，使各村到活動(dòng)中心的路程之和最短，探索活動(dòng)中心的建造位置.

圖4

假設(shè)以城市處為原點(diǎn)，向右為正方向，點(diǎn)P為活動(dòng)中心，則點(diǎn)A，B，G，C，D，E，F(xiàn)，P分別表示數(shù)4，10，12，15，17，19，20，x，于是這7個(gè)村莊到活動(dòng)中心的距離之和就可以表示為：|x-4|+|x-10|+|x-12|+|x-15|+|x-17|+|x-19|+|x-20|，經(jīng)過直觀分析可以得到：當(dāng)x取15時(shí)，這7個(gè)村莊到活動(dòng)中心的距離之和最小.

（2）正確理解數(shù)軸的三要素.

數(shù)軸的三要素——原點(diǎn)、單位長度和正方向是規(guī)定一個(gè)確定數(shù)軸的必要條件.這里用的詞是“規(guī)定”，所以這種規(guī)定是有必要性的.沒有明確的規(guī)定，數(shù)與直線上的點(diǎn)就不會(huì)出現(xiàn)一一對應(yīng)的關(guān)系，規(guī)定了三要素就可以用點(diǎn)的位置關(guān)系直觀地描述數(shù)的大小關(guān)系．

①原點(diǎn).

原點(diǎn)是基準(zhǔn)點(diǎn)，畫數(shù)軸時(shí)，我們在直線上任意取一個(gè)點(diǎn)確定為原點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)把這條直線分成兩條射線.原點(diǎn)表示的數(shù)是“0”，“0”表示起點(diǎn)，是正負(fù)數(shù)的分界點(diǎn)，由射線的方向可以體會(huì)從原點(diǎn)往左或往右時(shí)數(shù)的大小變化趨勢.在教學(xué)中，教師需要讓學(xué)生充分地從數(shù)和形兩個(gè)方面感知原點(diǎn)的確定對數(shù)軸上的數(shù)的表示的影響，體會(huì)數(shù)與形之間的聯(lián)系.

②正方向.

正方向是指實(shí)數(shù)從小到大的方向.我們一般要求向右為正方向，但這不能讓學(xué)生理解為正方向只能是向右.直線在平面上是任意方向的，因此數(shù)軸的方向可以指向任意方向，而不是左右兩個(gè)方向，更不是只有向右的方向才是正方向.但基于現(xiàn)實(shí)問題情境和后續(xù)平面直角坐標(biāo)系等知識學(xué)習(xí)的需要，我們通常規(guī)定從原點(diǎn)向右（或上）為正方向，從原點(diǎn)向左（或下）為負(fù)方向.

③單位長度.

單位長度是規(guī)定了表示1的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離.規(guī)定了0和1，就可以唯一確定2，3，4，…，在反方向上，可以唯一確定-1，-2，-3，….這樣就確定了每一個(gè)實(shí)數(shù)的唯一位置，它體現(xiàn)了數(shù)系擴(kuò)充的思想．我們強(qiáng)調(diào)的單位長度，是抽象的單位1，把誰看作單位1，要看具體的實(shí)際問題.它不僅包括物理中的長度單位，還應(yīng)該包括任意長度.

2.正確理解學(xué)生

學(xué)生在小學(xué)階段就學(xué)過數(shù)軸，數(shù)（整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)）可以用數(shù)軸上的點(diǎn)來表示，應(yīng)用數(shù)軸可以比較數(shù)的大小，等等.有了小學(xué)階段這些初步的數(shù)軸知識，到初中階段就應(yīng)該提升學(xué)生對數(shù)軸的理性認(rèn)識和對數(shù)域擴(kuò)充的理解.由于學(xué)生對剛剛學(xué)習(xí)的正負(fù)數(shù)概念的理解還不深刻，加上數(shù)軸和數(shù)之間對應(yīng)的抽象性，造成了學(xué)生理解上存在困難.

學(xué)生對數(shù)軸的直觀認(rèn)知容易與生活中直線方向上物體的位置、溫度計(jì)等相聯(lián)系，學(xué)生也比較容易理解將有理數(shù)用數(shù)軸上的點(diǎn)表示.但學(xué)生比較難理解數(shù)軸上的點(diǎn)與實(shí)數(shù)的一一對應(yīng)關(guān)系，這就需要教師強(qiáng)化引入過程，突出幾何直觀.將數(shù)軸的學(xué)習(xí)過程通過由溫度計(jì)、行程路線圖等提煉出數(shù)軸的一般結(jié)構(gòu)，建立有理數(shù)與直線上點(diǎn)的對應(yīng)關(guān)系.在這個(gè)提煉過程中，強(qiáng)化將數(shù)直觀地表示在直線上的經(jīng)歷，同時(shí)強(qiáng)調(diào)在直線上可以具體地研究數(shù)的性質(zhì)，使得學(xué)生能夠主動(dòng)建構(gòu)數(shù)軸的概念，解決理解上的難點(diǎn).

3.正確理解數(shù)軸教學(xué)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》關(guān)于第四學(xué)段中對“數(shù)軸”相關(guān)的描述是這樣的：理解有理數(shù)的意義，能用數(shù)軸上的點(diǎn)表示有理數(shù)，能借助數(shù)軸理解相反數(shù)和絕對值的意義，了解實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)一一對應(yīng).因此，教學(xué)中，“數(shù)軸”第1課時(shí)的課堂教學(xué)目標(biāo)可以設(shè)定為：（1）通過對溫度計(jì)等生活中的實(shí)物進(jìn)行觀察和思考，抽象出數(shù)軸的三要素；（2）能夠根據(jù)數(shù)軸的三要素正確畫出數(shù)軸；（3）能借助實(shí)例探索有理數(shù)與實(shí)數(shù)上的點(diǎn)的對應(yīng)關(guān)系，并在“點(diǎn)與數(shù)的對應(yīng)”過程中體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想.對于數(shù)軸，教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)應(yīng)該是通過一系列的感知活動(dòng)使學(xué)生理解建立數(shù)軸的必要性，并抽象出數(shù)軸的概念，體會(huì)原點(diǎn)作為數(shù)軸基準(zhǔn)點(diǎn)的特殊地位，以及正方向、單位長度對數(shù)的對應(yīng)關(guān)系的作用及數(shù)形結(jié)合思想．

三、基于“三個(gè)理解”的數(shù)軸概念教學(xué)案例及分析

數(shù)軸概念教學(xué)中的理解數(shù)學(xué)，即理解數(shù)軸，也就是要正確理解數(shù)軸的概念.而數(shù)軸概念的核心就是“三要素”的內(nèi)涵：原點(diǎn)是區(qū)分方向的基準(zhǔn)，單位長度是一個(gè)統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)的度量線段單位，正方向需要結(jié)合現(xiàn)實(shí)中的“相反意義的量”和“相反方向”來理解.在此基礎(chǔ)上設(shè)置教學(xué)目標(biāo)，體現(xiàn)以“概念形成”的方式設(shè)計(jì)教學(xué)的基本環(huán)節(jié)，通過設(shè)計(jì)適當(dāng)?shù)膯栴}情境來引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想.

1.教學(xué)案例

下面以浙教版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》七年級上冊“1.2數(shù)軸”中對數(shù)軸概念的引入和對“三要素”理解的教學(xué)過程為例進(jìn)行闡述.

觀察：仔細(xì)觀察溫度計(jì)的示數(shù)，它有什么特點(diǎn)？你會(huì)讀溫度計(jì)上的示數(shù)嗎？

生1：有均勻的刻度，有數(shù)字，有零刻度.

生2：零刻度以上是零上溫度，零刻度以下是零下溫度.

生3：它有方向，上正下負(fù).零刻度以上用正數(shù)表示，如零上20°C記作+20°C；零刻度以下用負(fù)數(shù)表示，如零下5°C記作-5°C.

……

【設(shè)計(jì)意圖】學(xué)生通過觀察溫度計(jì)的示數(shù)，分析溫度計(jì)的示數(shù)結(jié)構(gòu)，討論并直觀感受溫度計(jì)上的三要素（零刻度線、均勻刻度值、溫度高低方向），經(jīng)歷第一次抽象，將溫度計(jì)的刻度、零刻度線、溫度的高低抽象出數(shù)軸的三個(gè)要素（原點(diǎn)、單位長度、正方向）.

操作：在一條東西向的馬路上，有一個(gè)汽車站牌，汽車站牌東3m和6m處分別有一棵柳樹和一棵楊樹，汽車站牌西3m和4m處分別有一棵槐樹和一根電線桿，試畫圖表示這一情境．

師生活動(dòng)：學(xué)生畫圖、討論、交流.

生4：用一條直線將汽車站牌、柳樹、楊樹、槐樹和電線桿串起來，把它們分別看成一個(gè)個(gè)點(diǎn)表示在這條直線上.

生5：在直線的右端標(biāo)上箭頭，規(guī)定向右為東.

師：規(guī)定的目的是什么？這與我們前面學(xué)過的知識有聯(lián)系嗎？

生5：是為了能區(qū)分東邊和西邊，它和前面表示相反意義的量有關(guān).

生6：把最東邊的和最西邊的兩棵樹之間的距離平均分為5份，每個(gè)單位長度為2 m.

師：畫圖時(shí)，用什么長度作為一個(gè)單位呢？

生7：用1cm可以，1.5 cm也可以，只要是相等的距離而且能表示這些點(diǎn)就可以了.

生8：把汽車站牌作為基準(zhǔn)點(diǎn)，以2 cm為單位長度，基準(zhǔn)點(diǎn)右邊距離汽車站牌1.5個(gè)單位、3個(gè)單位的點(diǎn)分別是柳樹和楊樹，基準(zhǔn)點(diǎn)左邊距離汽車站牌1.5個(gè)單位、2個(gè)單位的點(diǎn)分別是槐樹和電線桿.

師：基準(zhǔn)點(diǎn)這個(gè)說法很好！能不能以其他點(diǎn)為基準(zhǔn)點(diǎn)呢？

(4) 施工工藝與質(zhì)量。盾構(gòu)施工不可避免地將擾動(dòng)土體，如盾構(gòu)施工狀況、施工管理、襯砌背后同步注漿等都會(huì)使土體結(jié)構(gòu)的應(yīng)力應(yīng)變狀態(tài)發(fā)生較大變化。

生8：用其他點(diǎn)作為基準(zhǔn)點(diǎn)也可以，表示是不是會(huì)復(fù)雜一點(diǎn)？

師：基準(zhǔn)點(diǎn)是參考，是作為確定其他數(shù)據(jù)位置的“參照”，是為了更加簡潔、方便地表示它們的位置，大家可以嘗試一下不同的基準(zhǔn)點(diǎn)的選取方法.

【設(shè)計(jì)意圖】學(xué)生將問題場景中的情況進(jìn)行作圖分析，作圖的分析過程中涉及原點(diǎn)的選擇、刻度的設(shè)置、正方向的設(shè)定等問題，思考的過程就是對數(shù)軸三要素理解和再認(rèn)識的過程.學(xué)生在作圖中思考、感悟數(shù)軸三要素的必要性，在抽象過程中強(qiáng)化對數(shù)軸概念中三要素的理解.

合作：教師展示部分學(xué)生的作圖情況，并組織大家討論圖5～8的圖形都能清楚地表示題目中的這個(gè)情境嗎？（規(guī)定：單位長度為1m，向右為東邊.）

圖5

圖6

圖7

生9：圖5、圖6沒有基準(zhǔn)點(diǎn)，好像不可以？……

生9在猶豫.

生10反駁：圖5、圖6是可以的.雖然沒有標(biāo)基準(zhǔn)點(diǎn)，但很顯然圖5中站牌的位置就是0的位置，圖6中電線桿左邊一個(gè)單位處就是基準(zhǔn)點(diǎn).

生11：我也同意生10的說法，因?yàn)橐呀?jīng)規(guī)定了向右為正方向，所以這幾個(gè)圖都可以很清楚地表示它們之間的相對位置.就像圖8中雖然沒有標(biāo)箭頭，但我們看趨勢就知道向右為正方向.

圖8

……

師：上面四個(gè)圖形清晰地表示了題目中的情境，生10和生11對三要素的理解也是正確的.但圖5和圖6是不完整的數(shù)軸畫法，作圖時(shí)我們還是需要像圖8一樣標(biāo)出原點(diǎn)、單位長度和正方向.

【設(shè)計(jì)意圖】學(xué)生怎樣畫數(shù)軸，怎樣把數(shù)表示在數(shù)軸上，怎樣把數(shù)軸上的點(diǎn)用數(shù)表示出來，這些關(guān)鍵點(diǎn)的解決都需要對數(shù)形結(jié)合的理解，需要建立數(shù)與點(diǎn)的對應(yīng)關(guān)系.合作環(huán)節(jié)中，通過對學(xué)生所作圖形的展示、辨析，從多角度對三要素進(jìn)行辨析，使學(xué)生強(qiáng)化概念理解，掌握規(guī)范作圖.

2.案例分析

在這個(gè)教學(xué)片斷中，學(xué)生是自主發(fā)現(xiàn)“三要素”（基準(zhǔn)點(diǎn)、方向和與單位長度）在刻畫事物相對位置中的作用的，感悟到用直線上的點(diǎn)來表示數(shù)的便利，經(jīng)歷用0表示“基準(zhǔn)點(diǎn)”，并借助負(fù)數(shù)概念引入表示“相反意義的量”的體驗(yàn).教師在學(xué)生經(jīng)歷過這些認(rèn)知、沖突和思考后，再進(jìn)行數(shù)軸概念的歸納，數(shù)軸三要素的必要性和畫圖規(guī)定的要求就水到渠成了，這樣的概念理解才會(huì)合情合理、自然生成.

理解概念是理解概念教學(xué)的前提.概念的理解需要重視概念的自然生長，因需要而定、以變化而成、從解決而用.無論是人教版教材、蘇科版教材中的情境“馬路上的故事”，還是浙教版教材、北師大版教材中的情境“溫度計(jì)”，數(shù)軸概念的引入都是結(jié)合學(xué)生的生活實(shí)際，從學(xué)生已有的知識經(jīng)驗(yàn)中生長出來，解決用數(shù)來刻畫位置的問題.數(shù)軸概念的教學(xué)還需要關(guān)注概念引入的合理性，使學(xué)生感受用數(shù)刻畫位置的必要性.弗賴登塔爾認(rèn)為要將數(shù)軸作為一種形象化工具.數(shù)軸教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生將數(shù)軸的這種形象、直觀與抽象性結(jié)合，引導(dǎo)學(xué)生感悟建立數(shù)軸的意義和規(guī)定三要素的必要性．

理解學(xué)生是促進(jìn)概念教學(xué)實(shí)施的重要條件.概念的形成或者同化都需要抽象和概括，它是一個(gè)數(shù)學(xué)建模的過程.而現(xiàn)階段的學(xué)生的抽象能力正好處在相對薄弱的時(shí)候，創(chuàng)設(shè)符合學(xué)生認(rèn)知規(guī)律的情境，重視新舊知識之間的聯(lián)系就很重要和必要.教師在教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，需要在理解學(xué)生的基礎(chǔ)上理解數(shù)軸和數(shù)軸教學(xué).這樣的教學(xué)設(shè)計(jì)才能夠提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)軸解決各種數(shù)學(xué)問題的能力．

基于“三個(gè)理解”的概念教學(xué)需要從“理解”的角度來思考教學(xué)定位、確定教學(xué)內(nèi)容、優(yōu)化教學(xué)方法、設(shè)計(jì)教學(xué)流程，不斷實(shí)踐、反思，使概念教學(xué)更合理、自然、流暢、有效.