設計類“數學活動”的教學實踐

鄧昌濱，顧廣林

（江蘇省興化市教師發(fā)展中心；江蘇省泰州市九龍實驗學校）

“數學活動”指對于蘊含數學模型的真實情境或者似真情境，學生通過操作、探索等活動經歷“發(fā)現(xiàn)問題—提出問題—分析問題—解決問題”的過程，進而獲得“四基”、發(fā)展“四能”、培養(yǎng)科學態(tài)度的學習活動.將“數學活動”界定為數學應用活動，是對常規(guī)數學教學的補充，這樣的“數學活動”的教學內容和形式更加豐富和鮮活，使學生有更廣闊的發(fā)展空間.按照活動內容的特征，可以將“數學活動”分為設計、測量、調查和實驗四類.其中，設計類“數學活動”不只是簡單的操作，而是需要通過作品展示、交流評價等活動進行理性思考，優(yōu)化原有的設計方案.這種實踐和思維活動能夠促進學生的計劃能力、審美能力、創(chuàng)新意識與理性精神等素養(yǎng)的提升，彰顯設計類“數學活動”的育人價值.本文以蘇科版《義務教育教科書·數學》九年級上冊第一章“一元二次方程”中的“數學活動 矩形綠地中的花圃設計”的教學為例，簡要敘述設計類“數學活動”的教學結構.

一、設計類“數學活動”的教學結構

課堂教學結構是教學過程中教師、學生、時間等各教學要素在同時空內的有序組合.設計類“數學活動”是一種體驗式學習，需要學生動手操作、交流展示、思維碰撞、理性概括和邏輯驗證，不斷優(yōu)化設計方案.其教學思路一般是通過似真情境引導學生提出問題，然后設計出合適的解決問題的方案，最后拓展與延伸，據此歸納出如圖1所示的教學結構圖.

圖1

二、設計類“數學活動”的教學實踐

“數學活動 矩形綠地中的花圃設計”是在學生已有的幾何與方程相關知識的基礎上展開的，要求學生對限定條件的花圃圖案進行開放性設計，以激發(fā)學生的創(chuàng)新思維和審美情趣，體現(xiàn)數學的應用價值.本節(jié)課的主要活動過程如下.

1.問題情境，激發(fā)興趣

導入：我們在生活中會看到很多奇特、漂亮的建筑物、廣場、花圃等，它們是設計師們的創(chuàng)新設計，傾注著設計師們的辛勤付出，是時代特征和文化的一種體現(xiàn).下面，讓我們一起去領略一下設計師們的作品.

教師通過多媒體呈現(xiàn)如圖2～4所示的一系列相關圖片.

圖2

圖3

圖4

【教學分析】在活動準備階段，為學生提供生活化、開放性的材料，盡可能地提出讓學生感興趣的問題情境，從而激發(fā)學生的求知欲望和數學思考.

2.提出問題，開放探究

問題1：在一塊長是32 m、寬是24 m的矩形綠地內，要圍出一個花圃，使花圃面積是矩形面積的一半.你能給出設計方案嗎？

【教學分析】學生需要基于問題思考，“數學活動”的價值就在于它是基于問題的.因此，活動中應該重視提出問題的環(huán)節(jié).教學中，讓學生通過觀察、操作、猜想等數學活動，從情境中提出有價值的數學問題，這也是創(chuàng)新的基礎.如果學生感到有難度，教師要引導學生生成問題.

3.設計方案，展示作品

活動1：將問題1中設計的花圃在已知矩形中用陰影表示出來.

活動探究：學生在小組合作、討論交流后，每組選派代表到黑板前展示，逐步形成如圖5～16所示的方案.

圖5 方案1

圖6 方案2

圖7 方案3

圖8 方案4

圖9 方案5

圖10 方案6

圖11 方案7

圖12 方案8

圖13 方案9

圖14 方案10

圖15 方案11

圖16 方案12

【教學分析】對數學問題進行意義建構，讓學生感知數學，體驗數學美.再在理解問題本質的基礎上，鼓勵學生獨立或合作設計花圃的開放性方案，激發(fā)學生的發(fā)散思維、創(chuàng)新思維和審美情趣，體現(xiàn)數學的應用價值.

4.解決問題，優(yōu)化方案

活動2：上述方案中，對照設計要求，都符合要求嗎？

通過交流，學生認為設計后的花圃應是一個整體，故方案8不符合要求；通過計算，方案6中的花圃面積是已知矩形面積的，故方案6不符合要求；方案1～方案5，方案7、方案9、方案12符合要求；方案10、方案11條件欠完整，需要進一步補充條件才可行.

活動3：在問題1中，若要圍出一個矩形或圓形花圃，如方案6、方案10，是否可行？

方案10中，若設計的圓形花圃的面積是矩形面積的一半，則圓的面積為×32×24=384，通過計算可得圓的半徑為≈11.06（m）.

同理，可得方案11中的四個扇形半徑也為11.06 m，則方案10、方案11都可行.

【教學分析】以學生體驗為主線，通過分析、嘗試、計算、驗證等數學活動，放手讓學生進行多樣化、開放性的體驗活動，使學生經歷提出假設、辨析、優(yōu)化（含簡化）等過程.其中，關鍵步驟要盡量留給學生自己去做，讓學生在活動中嘗試解決問題.

5.抽象概括，理性提升

問題2：上述可行方案中，有什么共性特點？你還能設計出哪些方案？

上述可行方案中，設計的花圃有矩形、菱形、正方形、等腰三角形、圓形等形狀，分界線主要有線段與圓（?。﹥煞N.其中，方案10、方案11是以圓（?。榉纸缇€，體現(xiàn)曲線美；方案1、方案4、方案5都是以一條線段為分界線，體現(xiàn)簡潔美，這些分界線都經過矩形的中心.因此，只要將此線繞中心任意旋轉，就可以得到無數不同的圖形；方案7中，左右平移三角形的上方頂點，根據三角形的面積不變性，可以得到更多形狀不同的三角形；方案3、方案9、方案12中，將這兩條分界線分別繞兩個矩形的中心適當旋轉，也可以得到許多不同的圖形；方案6、方案10中的矩形與圓形花圃在矩形區(qū)域內適當平移后，還可以得到更多可行方案.

問題3：在一塊長為32 m、寬為24 m的矩形綠地內設計一個矩形花圃，使四周的綠地等寬，花圃的面積與綠地的面積相等，并計算綠地的寬.

設花圃四周綠地的寬為x m，由花圃面積為矩形面積的一半，建立方程（32-2x）（24-2x）=384.解得x=24（舍去），或x=4.

也可由四周綠地面積和為矩形面積的一半建立方程，鼓勵學生從不同的角度建立方程求解.

【教學分析】數學活動的核心要素是理性思維，要嘗試從不同視角對活動進行反思、歸納和總結.活動中要及時引導學生驗證所設計方案的合理性與準確性，體驗平移、翻折、旋轉等圖形變換在設計類活動中的作用，還要認識到數學運算、建立方程模型等的重要功能，這種有思維深度的數學活動，有利于學生將感性認識上升為理性認識，逐步使解決問題的策略形成一個整體結構，進而獲得處理復雜問題的研究方法與手段.

6.實踐應用，提升能力

練習1：為了方便游客觀賞，決定在一塊長為32 m、寬為24 m的矩形綠地中開辟橫豎兩條寬為2 m的小路，然后在剩余的綠地上開辟花圃，使花圃的面積等于剩余面積的一半.試畫出設計草圖，并計算花圃的面積.

練習2：某單位準備在一塊長為30 m、寬為20 m的矩形空地中修兩條縱向平行和一條橫向彎曲的小道，剩余的地方種植花草.如圖17，要使種植花草的面積為532 m2，那么小道的寬度應為多少米？（所有小道的寬度均相等.）

圖17

【教學分析】練習題的設計旨在使學生將以上活動中形成的經驗在新情境中遷移應用，從小課堂拓展到社會的大課堂，挑戰(zhàn)新問題，向更高點邁步，從而提高學生的創(chuàng)新意識、實踐能力和應用能力.

三、設計類“數學活動”的育人價值

1.提升學生的計劃能力

凡事預則立，不預則廢.活動前應先通盤規(guī)劃.例如，“矩形綠地中的花圃設計”的活動目的是什么？規(guī)劃設計的花圃可以是哪些形狀？如何規(guī)范而清晰地表達設計方案？如何從可行性、藝術性、可操作性等視角對諸多方案進行評價？規(guī)劃設計時應該遵循怎樣的步驟？設計類“數學活動”給學生提供了機會，使學生在綜合多方因素和充分權衡后，設計、辨析并不斷優(yōu)化方案，使方案合理可行，使學生養(yǎng)成提前計劃的良好習慣，從而提升學生的計劃能力，提高他們解決問題的效率.

2.發(fā)展學生的審美能力

審美能力是指人以審美方式把握世界的一種特殊能力，是人類認識美、評價美的能力，包含審美感受力、判斷力、想象力、創(chuàng)造力等.在學生設計的花圃圖案中，有三角形、四邊形、圓等形狀，體現(xiàn)了對稱美.運用幾何畫板軟件將已有方案中的圖形進行適當旋轉、平移等變換時，就可以得到更多方案，體現(xiàn)了數學中的動態(tài)美.方案6與方案10中，將矩形或圓形花圃的中心左右平移到黃金分割點處時，既實用又好看，體現(xiàn)了藝術美.在對諸多方案的共性歸納及其變式拓展中，學生將在生活中發(fā)現(xiàn)的規(guī)律用數學語言表達出來，體現(xiàn)了數學知識結構的統(tǒng)一和諧美和數學語言美.當然，審美能力的形成不是一蹴而就的，而是在系列數學活動中逐步培養(yǎng)的.

3.培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識

創(chuàng)新意識是對自然界和社會中的數學現(xiàn)象具有好奇心，不斷追求新知，獨立思考，會從數學的角度發(fā)現(xiàn)和指出問題，從而進行探索和研究.活動初期，教師通過似真情境引導學生提出問題，要求學生在一塊已知矩形綠地內，設計一個符合限定條件的花圃，激發(fā)學生的探究欲望，推動學生從被動創(chuàng)新走向樂于創(chuàng)新.活動中，要求學生獨立思考、學會思考，鼓勵學生到黑板前呈現(xiàn)自己的設計作品，發(fā)表自己的見解，這是激發(fā)學生創(chuàng)新思維的核心.接著，讓學生對已有方案進行驗證，歸納概括得到的猜想與規(guī)律，這是創(chuàng)新的重要方法.在整個活動過程中，學生親自參與設計花圃的全過程，提高了發(fā)現(xiàn)問題和提出問題的能力、分析問題和解決問題的能力，以及抽象能力、概括能力，創(chuàng)新意識也就隨之不斷形成與發(fā)展.

4.培養(yǎng)學生的理性精神

面對一個新問題，尤其是突發(fā)問題，人的思考更多源于直覺.反思直覺，研究直覺，即為理性.數學活動不只是動手操作，活動中更有數學思維含量.以本節(jié)課為例，“數學活動 矩形綠地中的花圃設計”中，通常需要經歷如下過程：（1）最初的花圃設計方案是從哪里開始的？（2）為什么這樣設計？怎樣驗證？（3）還有其他方法嗎？有何規(guī)律？（4）如何尋找更好的方法或更簡潔的表達？活動中，對于具有共性特征的設計方案，學生自覺運用數學的眼光去觀察，用數學的思維去思考，用數學的語言去表達，打通了知識間的聯(lián)系，提高了綜合應用知識的能力，則理性精神已在其中.同時，數學活動的問題解決需要學生充分的交往互動，在合作交流中培養(yǎng)了學生的信息處理能力、表達能力和團隊精神，感受分享與創(chuàng)造的樂趣，這也是學生未來發(fā)展需要具備的素養(yǎng).