對(duì)一道二元最值問題的解法探究

李一粲 吳云

摘 要：最值問題是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中普遍存在的一類典型問題，解法也是多種多樣、優(yōu)劣有別.遇到具體的最值問題，在嘗試多種方法的同時(shí)，也需要根據(jù)具體情況選擇合理、高效的解法.本文通過對(duì)一道二元最值問題的探究與分析，歸納這類問題的求解思路與策略，并對(duì)解法的適切性進(jìn)行分析，以便更好地鞏固所學(xué)的知識(shí)與方法，提高解題效率.

關(guān)鍵詞：基本不等式；二元最值；一題多解

在高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中，二元函數(shù)的最值問題是一種常見的題型，它常常融合函數(shù)、不等式、解析幾何等知識(shí)，具有綜合性強(qiáng)、思維量大、技巧性強(qiáng)等特點(diǎn)，是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的一個(gè)熱點(diǎn)及難點(diǎn).在此知識(shí)點(diǎn)的學(xué)習(xí)過程中需要不斷加強(qiáng)反思、歸納和總結(jié)解題策略，以此探究解題規(guī)律，揭示解題方法，形成解題技能.下面對(duì)一道二元最值問題的解法進(jìn)行探究.

1?問題呈現(xiàn)

問題：已知正實(shí)數(shù)x，y滿足5x²+4xy-y²＝1，則12x²+8xy-y²的最小值為? ? ? ? ? ? ? ??.

這是一個(gè)比較常見的二元條件極值問題，即在“正實(shí)數(shù)x，y滿足5x²+4xy-y²＝1”的條件下，求一個(gè)類似式子12x²+8xy-y²的最小值.表面看起來兩式形式接近，能比較容易找到兩者的關(guān)系并恰當(dāng)變換出目標(biāo)，其實(shí)，真正處理起來還是有不少困難的，只有選擇合適的路徑方能有效解答.

2?解法探索

2.1?“1”的代換法

“1”的代換法是求最值問題時(shí)常用的方法，即用題目中或已知公式中與1有關(guān)的等式，將1用等式替換下來，變成較繁的式子，“欲擒故縱”，使后續(xù)的變換能夠達(dá)到求出最值的目標(biāo).

2.2?雙變量代換法

雙變量代換法是通過設(shè)兩個(gè)變量，換成另外一種對(duì)稱的形式，進(jìn)而轉(zhuǎn)化成可以使用基本不等式等工具的形式，使問題得解.

評(píng)注：因式分解是雙變量換元的基礎(chǔ)和前提.途徑2是先對(duì)求解目標(biāo)恒等變形再求其最值，運(yùn)算上優(yōu)于途徑1，解法2應(yīng)該是該題的最佳解法.

2.3?判別式法

判別式法也是求解最值問題時(shí)常用的方法，即通過變換，將欲求的最值的式子轉(zhuǎn)化成一個(gè)一元二次方程的系數(shù)，利用該一元二次方程有解時(shí)其判別式不小于零的特點(diǎn)求得最值.

解法3：

因?yàn)?x²+4xy-y²＝1①，

所以12x²+8xy-y²＝12x²+8xy-（5x²+4xy-1）=7x²+4xy+1，

評(píng)注：該解法首先利用①式將12x²+8xy-y²進(jìn)行恒等變形，再將所求目標(biāo)式子整體設(shè)參，從而表示y，再代入①中，通過換元得到③式，最后結(jié)合方程有正實(shí)數(shù)解進(jìn)行求解.

2.4?基本不等式法

基本不等式法即為直接利用基本不等式成立的條件及相關(guān)性質(zhì)，結(jié)合相應(yīng)的變換而得到最值的方法.

此題還可以借助于“GGB”探究其幾何背景.

方程5x²+4xy-y²＝1為雙曲線的方程，令t＝12x²+8xy-y²，則t-2＝2x²+y²，t＞2，表示橢圓的方程.如圖1所示，雙曲線和橢圓的中心均為坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)t變化使得橢圓和雙曲線相切時(shí)，t取得最小值，即為所求，這也是判別式方法的由來.該題的幾何背景是研究?jī)蓚€(gè)二次曲線的位置關(guān)系問題，借助于“GGB”技術(shù)可以將抽象的數(shù)學(xué)問題具體化、可視化.它將“靜態(tài)的”問題演繹成“發(fā)展的”“動(dòng)態(tài)的”和“可視化的”過程，經(jīng)歷從抽象到具體的過程，實(shí)現(xiàn)從“不可見”到“可視化”的過程，更利于問題的發(fā)現(xiàn)、方法的形成、知識(shí)體系的構(gòu)建、洞悉數(shù)學(xué)的本質(zhì)，突破數(shù)學(xué)“難以意會(huì)，無法言傳”的障礙，提升思維層次.

對(duì)于二元最值問題，首先還是要掌握基本的、常用的方法，比如通過代入、加減消元等手段將其一元化，轉(zhuǎn)化為基本不等式或函數(shù)的求最值問題.其次根據(jù)題設(shè)條件挖掘一些隱含信息，了解試題的背景，不僅指導(dǎo)這道題怎么做，更要學(xué)會(huì)抓住問題的本質(zhì)，歸納這一類問題的解題思想和方法，達(dá)到解一題通一類的效果.

參考文獻(xiàn)：

［1］ 郭建華.“1”的美麗變身［J］.數(shù)理天地（高中版），2018（11）：13-14.