對一道函數(shù)公切線題的解法與變式探究

吳文忠

摘 要：多曲線（主要是兩曲線）的公切線及其綜合問題是近年高考中出現(xiàn)比較頻繁的一類基本考題，內(nèi)容涉及面廣，知識融合度高.本文從一道指對數(shù)混合函數(shù)圖象的公切線問題入手，探尋解決問題的技巧與方法，基于此進(jìn)行多層次的合理變式探究，深挖問題的內(nèi)涵與實(shí)質(zhì)，引領(lǐng)并指導(dǎo)數(shù)學(xué)教學(xué)與復(fù)習(xí)備考.

關(guān)鍵詞：函數(shù)；直線；公切線；導(dǎo)數(shù)

利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義來解決有關(guān)曲線的切線問題，一直是高考中比較常見的一類重點(diǎn)與熱點(diǎn)問題，背景簡單易懂，求解形式多樣.特別是涉及兩條及以上曲線（主要考查兩條曲線）的公切線問題，新穎度高，創(chuàng)新性強(qiáng)，形式更加復(fù)雜多變，能更加有效地考查學(xué)生的“四基”以及數(shù)學(xué)應(yīng)用能力等，凸現(xiàn)試題的選拔性與區(qū)分度，備受各方關(guān)注.

1?問題呈現(xiàn)

問題：若一條直線與函數(shù)y=lnx和y=e^x的圖象分別相切于點(diǎn)P（x₁，y₁）和Q（x₂，y₂），則（1-e^y₁）（1+x₂）的值為? ? ? ? ? ? ? ? ??.

本題研究的是涉及指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的圖象的公切線問題.隨著一條曲線上切點(diǎn)的對應(yīng)“動”態(tài)運(yùn)動，帶動另一條曲線上切點(diǎn)的變化，形成公切線的變化運(yùn)動.但根據(jù)所求代數(shù)關(guān)系式，涉及切點(diǎn)的相關(guān)坐標(biāo)的代數(shù)關(guān)系式是一個定值，為“靜”態(tài)數(shù)值，“動”與“靜”結(jié)合，創(chuàng)設(shè)一幅完美的畫卷.

在具體求解過程中，抓住兩條曲線所對應(yīng)的公切線問題設(shè)切點(diǎn)，利用切線方程以及切線的斜率等基本要素來合理切入，通過公切線的統(tǒng)一性，化各自的切線為一條公共直線，從不同思維視角切入，利用不同的技巧方法來處理，從而求解目標(biāo)代數(shù)表達(dá)式的值，實(shí)現(xiàn)問題的巧妙解決.

2?問題破解

方法1：（切線方程法）

解后反思：借助導(dǎo)數(shù)的幾何意義，從每條曲線所對應(yīng)的切線方程的求解入手，利用公切線的條件“合二為一”，構(gòu)建相應(yīng)的方程組，為問題的解決奠定基礎(chǔ)，這也是解決此類兩曲線的公切線及其綜合問題最為常用的一種“通性通法”.利用切線方程來切入時，一定要注意參數(shù)之間的聯(lián)系，同時注意代數(shù)式的恒等變形與轉(zhuǎn)化，往往可以為問題的分析與求解創(chuàng)造更多的機(jī)會與空間.

方法2：（斜率公式法）

解后反思：借助公切線中兩相應(yīng)切點(diǎn)的設(shè)置以及直線的斜率公式，引入公切線的斜率，同時抓住導(dǎo)數(shù)的幾何意義，構(gòu)建對應(yīng)切線的斜率，利用公切線在不同條件下對應(yīng)的斜率是統(tǒng)一的，有效構(gòu)建對應(yīng)的關(guān)系式，為問題的進(jìn)一步分析與求解打下基礎(chǔ)，這是解決此類兩曲線的公切線及其綜合問題中的一種“巧技妙法”.多視角構(gòu)建直線的斜率關(guān)系式，合理“聚焦”，產(chǎn)生共鳴.

方法3：（統(tǒng)一變量法）

解后反思：在解決此類兩曲線的公切線及其綜合問題時，兩個切點(diǎn)中的多個坐標(biāo)變量會給問題的分析與求解造成一定的困難，而統(tǒng)一變量法就顯得非常重要，對于目標(biāo)代數(shù)關(guān)系式的求解與應(yīng)用等方面都有很好的幫助.合理選擇其中某個變量（這里是公切線的斜率）加以統(tǒng)一處理，其他變量都以該變量來表示，這對于代數(shù)式的求值以及關(guān)系式的化簡等方面都有裨益.

3?變式拓展

3.1?同階變式

所以函數(shù)h（x）在（1，x₀）上單調(diào)遞減，在（x₀，2）上單調(diào)遞增.

又h（x₀）=x₀lnx₀-lnx₀-x₀-1=-lnx₀-x₀＜0，

當(dāng)x→1⁺時，h（x）→-2＜0，則知函數(shù)h（x）的零點(diǎn)x₁在（x₀，+∞）上，

又h（4）=6ln2-5＜0，h（5）=4ln5-6＞0，則有x₁∈（4，5），可得n=4.

故填答案：4.

4?教學(xué)啟示

4.1?歸納技巧方法

解決兩曲線的公切線問題，核心是切點(diǎn)坐標(biāo)，因?yàn)榍悬c(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)就是切線的斜率.公切線問題，應(yīng)根據(jù)兩個函數(shù)的圖象在切點(diǎn)處的斜率相等，且切點(diǎn)既在切線上又在曲線上，列出有關(guān)切點(diǎn)橫坐標(biāo)的方程（組），通過解方程（組）或恒等變形等來分析與求解.

4.2?提升變式效應(yīng)

在平時的解題過程中，要適時地將問題加以深入變形與拓展，借助“一題多變”，實(shí)現(xiàn)“一題多得”，久而久之，就能逐步培養(yǎng)學(xué)生靈活多變的數(shù)學(xué)思維，發(fā)散開拓的數(shù)學(xué)思想，創(chuàng)新應(yīng)用的探索精神與創(chuàng)新意識，從而真正把對數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng)落到實(shí)處，全面提高數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).