蹴鞠場景入題，數(shù)學(xué)文化應(yīng)用

夏巨星

摘 要：數(shù)學(xué)文化應(yīng)用類試題可以巧妙融入創(chuàng)新場景與傳統(tǒng)文化，為數(shù)學(xué)問題的創(chuàng)新應(yīng)用提供沃土.本文結(jié)合中國蹴鞠這一場景，巧妙結(jié)合一些相關(guān)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識，利用數(shù)學(xué)基本考點的創(chuàng)設(shè)與應(yīng)用來考查“四基”，合理提升數(shù)學(xué)思維品質(zhì)，引領(lǐng)并指導(dǎo)數(shù)學(xué)教學(xué)與復(fù)習(xí)備考.

關(guān)鍵詞：蹴鞠；立體幾何；概率；統(tǒng)計

教育部考試中心函件《關(guān)于2017年普通高考考試大綱修訂內(nèi)容的通知》要求“增加中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化的考核內(nèi)容，積極培育和踐行社會主義核心價值觀，充分發(fā)揮高考命題的育人功能和積極導(dǎo)向作用.比如，在數(shù)學(xué)中增加數(shù)學(xué)文化的內(nèi)容”^［1］.而中國蹴鞠就是一個很好的數(shù)學(xué)文化場景，合理融入相關(guān)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識，創(chuàng)設(shè)一些創(chuàng)新應(yīng)用問題，很好地體現(xiàn)試題的選拔性與區(qū)分度，是新高考數(shù)學(xué)命題中比較熱點的應(yīng)用之一.

1?圖形的結(jié)構(gòu)特征

【例1】?現(xiàn)代足球運動是世上開展得最廣泛、影響最大的運動項目，有人稱它為“世界第一運動”.早在2000多年前的春秋戰(zhàn)國時代，就有了一種球類游戲“蹴鞠”，后來經(jīng)過阿拉伯人傳到歐洲，發(fā)展成現(xiàn)代足球.1863年10月26日，英國人在倫敦成立了世界上第一個足球運動組織——英國足球協(xié)會，并統(tǒng)一了足球規(guī)則.人們稱這一天是現(xiàn)代足球的誕生日.如圖所示，足球表面是由若干黑色正五邊形和白色正六邊形皮圍成的，我們把這些正五邊形和正六邊形都稱為足球的面，任何相鄰兩個面的公共邊叫做足球的棱.已知足球表面的正六邊形的面為20個，則該足球表面的正五邊形的面為? ? ? ? ? ? ? ? ? ??個，該足球表面的棱為? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?條.

分析：依題意，通過歐拉公式構(gòu)建簡單多面體的頂點數(shù)V，面數(shù)F與棱數(shù)E之間的關(guān)系式，并從正五邊形與正六邊形這兩個不同的視角來分析，通過方程組的構(gòu)建與求解，進(jìn)而來求解該足球表面的正五邊形的面數(shù)與表面的棱數(shù).

解析：由于簡單多面體的頂點數(shù)V，面數(shù)F與棱數(shù)E間有關(guān)系式V+F-E=2，

設(shè)該足球表面的正五邊形的面為x個，正六邊形的面為y個，

故填答案：12；90.

點評：此類數(shù)學(xué)文化問題以中國蹴鞠為場景進(jìn)行合理創(chuàng)設(shè)，結(jié)合空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，利用空間想象加以直觀分析，融合直觀想象、邏輯推理與數(shù)學(xué)運算等相關(guān)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，實現(xiàn)數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的巧妙融合.

2?幾何體的表面積或體積

【例2】?足球起源于中國古代的蹴鞠游戲.“蹴”有用腳跳、踢的含義，“鞠”最早系外包皮革、內(nèi)飾米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以腳蹴、踢皮球的活動.已知某“鞠”的表面有四個點P，A，B，C，滿足PA=2，PA⊥平面ABC，AC⊥BC.若三棱錐P-ABC體積為2，則制作該“鞠”的外包皮革面積的最小值為? ? ? ? ? ? ? ? ? ?.

分析：根據(jù)題設(shè)條件，通過三棱錐的外接球的球心到所有頂點距離相等，且都為球半徑，即可找到球心的位置，然后在直角三角形ABC中，利用基本不等式的放縮來確定AB的最小值，進(jìn)而可得球半徑的最小值，得以求解對應(yīng)的表面積.

點評：此類數(shù)學(xué)文化問題以中國蹴鞠為場景進(jìn)行合理創(chuàng)設(shè)，通過空間幾何體的相互條件，結(jié)合空間點、線、面等的關(guān)系與性質(zhì)，合理變形與轉(zhuǎn)化，進(jìn)而進(jìn)行邏輯推理與直觀想象，確定相關(guān)要素的值，為進(jìn)一步的分析與處理提供條件.

3?比賽的概率問題

【例3】?（2023屆江蘇省蘇州市高三第二學(xué)期開學(xué)期初調(diào)研數(shù)學(xué)試卷）（多選題）中國蹴鞠已有兩千三百多年的歷史，于2004年被國際足聯(lián)正式確認(rèn)為世界足球運動的起源.蹴鞠在2022年卡塔爾世界杯上再次成為文化交流的媒介，走到世界舞臺的中央，訴說中國傳統(tǒng)非遺故事.為弘揚中華傳統(tǒng)文化，我市四所高中各自組建了蹴鞠隊（分別記為“甲隊”“乙隊”“丙隊”“丁隊”）進(jìn)行單循環(huán)比賽（即每支球隊都要跟其他各支球隊進(jìn)行一場比賽），最后按各隊的積分排列名次（積分多者名次靠前，積分同者名次并列），積分規(guī)則為每隊勝一場得3分，平一場得1分，負(fù)一場得0分.若每場比賽中兩隊勝、平、負(fù)的

點評：此類數(shù)學(xué)文化問題以中國蹴鞠為場景進(jìn)行合理創(chuàng)設(shè)，并以多選題的創(chuàng)新類型加以創(chuàng)設(shè)，巧妙融入閱讀理解、概率應(yīng)用以及數(shù)學(xué)運算，很好考察了閱讀理解能力與邏輯推理能力.

4?概率與統(tǒng)計問題

【例4】?足球運動是一項古老的體育活動，源遠(yuǎn)流長，最早起源于我國古代的一種球類游戲蹴鞠，后來經(jīng)過阿拉伯人傳到歐洲，發(fā)展成現(xiàn)代足球.為了解某社區(qū)足球愛好者的年齡分布情況，從該社區(qū)隨機抽取50名足球愛好者，將這50人的年齡按［5，15），［15，25），［25，35）， ［35，45），［45，55］分成5組，得到了如下的頻率分布直方圖.

（1） 求樣本的平均數(shù)及中位數(shù)；

（2） 從年齡段［35，45）和［45，55］中按分層隨機抽樣的方法隨機抽取4人，再從這4人中隨機抽取2人，求這兩人的年齡都落在［35，45）的概率.

分析：根據(jù)題設(shè)條件，（1） 結(jié)合頻率分布直方圖，利用平均數(shù)與中位數(shù)的定義代入值求解即可；（2） 先確定從年齡段［35，45）和［45，55］中分別抽取的人數(shù)，再利用古典概率模型求概率.

點評：此類數(shù)學(xué)文化問題以中國蹴鞠為場景進(jìn)行合理創(chuàng)設(shè)，借助頻率分布直方圖的數(shù)形結(jié)合加以數(shù)據(jù)處理與分析，巧妙融入統(tǒng)計圖表與統(tǒng)計數(shù)據(jù)，并結(jié)合概率的求解來綜合應(yīng)用，達(dá)到數(shù)學(xué)知識與數(shù)學(xué)能力的全面考查.

借助中國蹴鞠這一基本運動，合理融入相應(yīng)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識與基本考點，結(jié)合數(shù)學(xué)知識中的“四基”巧妙融合與應(yīng)用，合理實現(xiàn)對數(shù)學(xué)文化的滲透，有效增強了考生的理性思維與應(yīng)用意識，培養(yǎng)了愛國主義情懷.

參考文獻(xiàn)：

［1］ 中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）［M］.北京：人民教育出版社，2018.

［2］ 馬應(yīng)雄.向量方法在立體幾何問題中的常見應(yīng)用［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)，2022（23）：64-65.

［3］ 趙學(xué)昌.抽象思維在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用研究——以人教版《立體幾何》為例［J］.數(shù)理天地（高中版），2022（23）：58-60.