基于問題驅(qū)動的“函數(shù)”起始課教學(xué)實踐與思考

陳敏婕 葉旭山

摘 要：問題是數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的起搏器和動力源，以問題驅(qū)動數(shù)學(xué)概念教學(xué)，往往能夠調(diào)動學(xué)生自主建構(gòu)概念的積極性.基于這樣的教學(xué)理論，圍繞“函數(shù)”起始課核心概念進行教學(xué)，嘗試根據(jù)邏輯結(jié)構(gòu)設(shè)計問題串，以問題驅(qū)動概念教學(xué)，引發(fā)學(xué)生深度思考，在學(xué)生“再認識”“再創(chuàng)造”的過程中，深化對函數(shù)概念本質(zhì)的認識.

關(guān)鍵詞：函數(shù)；問題驅(qū)動；核心概念；起始課

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》中明確指出“重視發(fā)揮情境設(shè)計與問題提出對學(xué)生主動參與教學(xué)活動的促進作用，使學(xué)生在活動中逐步發(fā)展核心素養(yǎng)”.可見，問題提出是促動數(shù)學(xué)課堂教學(xué)活動有效發(fā)生、培育學(xué)生核心素養(yǎng)的重要路徑.這就要求教師在課堂教學(xué)設(shè)計中應(yīng)注重問題的驅(qū)動、引領(lǐng)，提升學(xué)生參與活動的質(zhì)量.因此，筆者在《函數(shù)》起始課的教學(xué)中，嘗試進行了以問題驅(qū)動來助力函數(shù)概念理解的教學(xué)探索.

1?背景分析

世界是運動變化的，函數(shù)是研究運動變化的重要數(shù)學(xué)模型.以探索簡單實際問題中量的變化為背景，經(jīng)歷“找出常量和變量，建立函數(shù)模型表示變量之間的單值對應(yīng)關(guān)系”的過程，自然形成函數(shù)概念，體現(xiàn)了抽象的思想、變化和對應(yīng)的思想，以及建模思想.

本節(jié)內(nèi)容主要包括：常量和變量的意義，函數(shù)的概念及其三種表示法.考慮到函數(shù)概念尤為抽象，本課從具體的現(xiàn)實情境入手，分析變化過程中量的變化，抽象出變量的概念，用對應(yīng)的觀點分析變量之間的關(guān)系，并以此為基礎(chǔ)，歸納各情境之間兩個變量關(guān)系的共性特征，抽象出變量的單值對應(yīng)關(guān)系，進而歸納出函數(shù)的概念.通過對情境的再認識，梳理函數(shù)的三個要素（自變量、因變量、對應(yīng)關(guān)系），并借助形象直觀的方式，助力學(xué)生理解函數(shù)概念的本質(zhì)特征.

2?教學(xué)實踐

2.1?問題情境

情境1：甲、乙兩地相距600km，列車以300km/h的速度從甲地勻速駛往乙地.

問題1：在列車行駛過程中，哪些量保持不變？哪些量是變化的？

問題2：你能說說列車的行駛路程skm與行駛時間th的關(guān)系嗎？

追問：時間的變化對路程有什么影響？具體說一說.

設(shè)計分析：從學(xué)生較熟悉的行程問題出發(fā)，學(xué)生很容易分析出在這個變化過程中，不變的量有“速度、總路程、總時間”，變化的量有“行駛時間、行駛路程、剩余路程”，并順勢引出常量與變量的概念.

問題2引導(dǎo)學(xué)生找尋行駛路程與行駛時間這兩個變量之間的關(guān)系，學(xué)生最先想到的是行程問題中蘊含的等量關(guān)系，即s=300t.進一步追問在這個變化過程中，隨著時間的變化，路程有什么影響，并引導(dǎo)學(xué)生舉例說一說，學(xué)生自然地想到當(dāng)t=1、當(dāng)t=2時對應(yīng)的行駛路程s的值.第一個情境的細致分析與解讀為后續(xù)情境2、3的研究方法提供了樣例.

問題3：在這個變化過程中，哪些量是變量？

追問：這兩個變量之間有什么聯(lián)系？

設(shè)計分析：引導(dǎo)學(xué)生自主分析情境2中涉及的變量，并嘗試找出兩個變量之間的聯(lián)系.部分學(xué)生困惑這兩個變量的關(guān)系并非像問題1中有明確的變化規(guī)律，教師需適時引導(dǎo)，幫助學(xué)生排疑解慮，明確這兩個變量的依賴關(guān)系，也是一種內(nèi)在聯(lián)系.如“當(dāng)x取定一個值時，y也有一個值和它對應(yīng)”，突出函數(shù)的本質(zhì)，剝離“用式子表示數(shù)量關(guān)系”這一非本質(zhì)屬性.另外，此處的對應(yīng)還出現(xiàn)了“多對一”的情況，豐富學(xué)生對函數(shù)中“對應(yīng)”的理解.

情境3：氣象站測得南京某日氣溫變化圖：

問題4：請你描述圖中氣溫T（℃）和時間t（h）的關(guān)系.

設(shè)計分析：在經(jīng)歷了情境1、2中變量關(guān)系的分析后，讓學(xué)生自主描述情境3中兩個變量之間的關(guān)系，再度感受“隨著t的變化，T也變化；當(dāng)t確定時，T也隨之確定.”也就是“當(dāng)t取定一個值時，T也有一個值和它對應(yīng)”，為函數(shù)概念的歸納做鋪墊.

2.2?概念生成

問題5：上述情境有什么共同特征？

一般地，在一個變化過程中的兩個變量x和y，如果對于x的每一個值，y都有唯一的值與它對應(yīng)，那么我們稱y是x的函數(shù)，x是自變量.

設(shè)計分析：啟發(fā)學(xué)生找尋三個情境的共同特征，并嘗試用文字語言歸納，學(xué)生之間不斷補充完善，生成函數(shù)概念.

問題6：重回情境，從函數(shù)角度分析變化過程中兩個變量的關(guān)系.

追問：這些對應(yīng)關(guān)系從哪里看出來的？

設(shè)計分析：理清函數(shù)概念后，用函數(shù)的眼光重新看待上述三個情境中兩個變量的關(guān)系，指出誰是誰的函數(shù)，再度感受函數(shù)概念中的“單值對應(yīng)”.借助于工具圖“數(shù)值轉(zhuǎn)換機”，使得變量之間的函數(shù)關(guān)系得以直觀形象地呈現(xiàn)，幫助學(xué)生更好地理解函數(shù)的本質(zhì).此外，三個情境恰好也展現(xiàn)了函數(shù)的三種表現(xiàn)形式，教師適時點撥.

2.3?鞏固應(yīng)用

問題7：舉一個存在函數(shù)關(guān)系的例子.

設(shè)計分析：學(xué)生嘗試舉例，有從現(xiàn)實情境描述的，有從數(shù)學(xué)內(nèi)部找尋的，引導(dǎo)學(xué)生進行自我評價和相互評價，感受身邊豐富的函數(shù)素材，深化對函數(shù)概念的理解.

問題8：用20m長的繩子圍一個矩形.你想研究哪些量？

追問1：這些量之間存在函數(shù)關(guān)系嗎？

追問2：你還能提出什么問題？

設(shè)計分析：提供定周長的繩子圍矩形的素材，引導(dǎo)學(xué)生自主找尋其中的變量，并分析是否存在函數(shù)關(guān)系.學(xué)生容易想到的量有長、寬、面積，啟發(fā)學(xué)生進一步提出問題，如定周長的矩形面積何時最大等，增強學(xué)生提出問題與分析問題的能力.

2.4?拓展延伸

問題9：已知矩形的面積為100.續(xù)寫你想研究的內(nèi)容.

設(shè)計分析：沿著例題的研究路徑，引導(dǎo)學(xué)生自主探索在定面積的矩形這一背景下，值得研究的量以及隱藏的函數(shù)關(guān)系等.

2.5?小結(jié)反思

問題10：通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，令你印象最深的是什么？

追問：由函數(shù)，你想到了什么？

設(shè)計分析：引導(dǎo)學(xué)生回憶本節(jié)課的研究過程，以及印象最深的環(huán)節(jié).教師對學(xué)生談到的認識總結(jié)、歸納，提煉函數(shù)概念可以用“一句話、一張圖”助力理解.追問啟發(fā)學(xué)生展開進一步聯(lián)想，如想到代數(shù)式、方程、函數(shù)的應(yīng)用等，鼓勵學(xué)生用整體的、聯(lián)系的、發(fā)展的眼光看問題.

3?教學(xué)反思

3.1?設(shè)計進階問題，驅(qū)動學(xué)生深度思考

問題情境是教學(xué)活動的起點.開篇通過熟悉的行程問題中這一變化過程引入，啟發(fā)學(xué)生用變化的眼光思考現(xiàn)實世界.三個情境中問題的設(shè)問方式分別是“你能說說列車的行駛路程skm與行駛時間th的關(guān)系嗎”“這兩個變量之間有什么聯(lián)系”“請你描述圖中氣溫T（℃）和時間t（h）的關(guān)系”.設(shè)問方式層層遞進，旨在提高學(xué)生自主分析問題和解決問題的能力.情境問題的設(shè)置相得益彰，方使得共性特征的探析水到渠成，凸顯了函數(shù)概念的形成過程.而后用函數(shù)的觀點重新審視三個情境，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實世界.

通過學(xué)生舉函數(shù)關(guān)系的例子，深化學(xué)生對函數(shù)概念的理解.如學(xué)生有談到燒水過程中，水溫與時間的變化過程，教師順勢引導(dǎo)燒水的兩段歷程，一段是水燒開以前溫度隨時間的變化，另一段是水燒開后水溫保持100攝氏度，再追問學(xué)生水溫是否是時間的函數(shù)，加深了學(xué)生對于概念本質(zhì)的理解.學(xué)生舉出了很多有價值的例子，學(xué)生的思維在沸騰.

3.2?借助圖形直觀，實現(xiàn)抽象概念可視化

數(shù)形結(jié)合思想是一種重要的數(shù)學(xué)思想，它可以將抽象的數(shù)學(xué)語言、數(shù)量關(guān)系與直觀的圖形相結(jié)合，以形助數(shù)、以數(shù)輔形，數(shù)形結(jié)合，相輔相成.三個情境中，不斷強調(diào)、凸顯兩個變量之間的關(guān)系，讓學(xué)生充分感受“對于x的每一個值，y都有唯一的值與它對應(yīng)”.這里輸入一個x，輸出一個y，有的學(xué)生已經(jīng)感受到像有個“程序”在牽引著這兩個變量，說明學(xué)生的內(nèi)心已然在編織一幅形象直觀的圖來理解函數(shù)概念.教師抓住學(xué)生閃現(xiàn)的星光，順勢理清這張函數(shù)解析圖——數(shù)值轉(zhuǎn)換機.

這張圖呈現(xiàn)了概念中的三要素，自變量x正如原料，因變量y恰似產(chǎn)品，函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系則是機器的運行原理，這正是函數(shù)的內(nèi)核.后續(xù)例題環(huán)節(jié)，分析素材中的變量是否存在函數(shù)關(guān)系，仍可以通過兩個角度來闡述，即函數(shù)的文字概念與數(shù)值轉(zhuǎn)換機的形象表述.一句話、一張圖，道清了函數(shù)兩個變量之間的關(guān)系.函數(shù)模型可視化，于生而言，是一份難忘的記憶，同時使得對函數(shù)概念的理解更加深刻.

3.3?設(shè)置開放性問題，拓展思維空間

給學(xué)生思考的空間與時間，讓學(xué)生的思維動態(tài)觸發(fā)、進階、升華.在例題環(huán)節(jié)，教師只提供背景素材，讓學(xué)生自主找尋想研究的量，并分析其中的函數(shù)關(guān)系，提出想要進一步研究的問題.學(xué)生親歷找變量、構(gòu)建函數(shù)模型，用數(shù)學(xué)的語言表述現(xiàn)實世界，其建模素養(yǎng)在悄然提升.

開放式的小結(jié)，意在培植學(xué)生的發(fā)散性思維.有的學(xué)生由函數(shù)想到了代數(shù)式，函數(shù)的右邊就是關(guān)于自變量的代數(shù)式，并且類比代數(shù)式的樣子，進一步猜想還可能研究的函數(shù)表達式的類型.有的學(xué)生想到方程，如果把兩個變量看成是兩個未知數(shù)，函數(shù)表達式可以看成一個二元方程，如果給其中一個變量賦值，那么就變成了一元方程，可以解出對應(yīng)的另一個變量的值.無形中為后續(xù)函數(shù)各類型的研究以及與方程、不等式關(guān)系的研究埋下伏筆.

參考文獻：

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