數(shù)式結(jié)構(gòu)貫代數(shù)

王琳琳

摘 要：代數(shù)問題占據(jù)了初中數(shù)學(xué)的半壁江山.但是代數(shù)問題往往結(jié)構(gòu)多樣，形式多變，學(xué)生在處理問題時常常遇到困難.為了幫助學(xué)生更好地解決代數(shù)問題，教師在教學(xué)過程中要抓住數(shù)式結(jié)構(gòu)這個關(guān)鍵，引導(dǎo)學(xué)生以此為解題的落腳點與突破點.

關(guān)鍵詞：代數(shù)；數(shù)式結(jié)構(gòu)；解題教學(xué)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022版）》增加了兩個代數(shù)基本事實，增加代數(shù)推理.將“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域整合為“數(shù)與運算”“數(shù)量關(guān)系”兩個主題.史寧中教授認(rèn)為數(shù)學(xué)基本思想無外乎抽象、推理、和模型思想.代數(shù)領(lǐng)域的抽象主要體現(xiàn)在用符號表示數(shù)、數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律.而推理建立在概念符號的基礎(chǔ)上，與幾何中的推理相比，代數(shù)中的推理則偏重計算，通過計算和推理比較數(shù)式，數(shù)量關(guān)系.“數(shù)量關(guān)系”通過式子表達(dá)，研究數(shù)式結(jié)構(gòu)對于代數(shù)教學(xué)大有裨益，本文將結(jié)合專家講座淺談初中教學(xué)中如何充分利用數(shù)式結(jié)構(gòu)指導(dǎo)代數(shù)教學(xué).

1?教學(xué)觀點

在生長數(shù)學(xué)公益講壇中，諸士金老師指出從小學(xué)到初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的兩大困境：

“數(shù)系擴充和用字母表示數(shù)”

以此拋出第一個具體問題1：“3x+1怎么看”？

觀點1：從宏觀角度說，從數(shù)到式的結(jié)構(gòu)化認(rèn)識是對現(xiàn)實中數(shù)、數(shù)量以及數(shù)量關(guān)系的抽象.

觀點2：從動態(tài)和靜態(tài)觀點看，3x+1流動起來看是函數(shù)，是規(guī)律，3×1+1，3×2+1、…靜態(tài)結(jié)構(gòu)可以看成AB結(jié)構(gòu)+1可以看成A+B結(jié)構(gòu).

觀點3：套入不同的問題背景對應(yīng)不同的問題，不同的角色，買東西，x是蘋果的個數(shù)，1是塑料袋的價格；出租車起步價1元，超過里程每公里3元……

觀點4：數(shù)量關(guān)系在數(shù)學(xué)的大家庭里能反映出位置關(guān)系，即數(shù)形結(jié)合.

觀點5：式結(jié)構(gòu)除了可以看成代數(shù)式結(jié)構(gòu)還有算式的結(jié)構(gòu)如A+B，A=a×b一結(jié)構(gòu)是一級運算，二結(jié)構(gòu)是二級運算.

諸老師補充：數(shù)量及數(shù)量關(guān)系的抽象需要更多問題巨象化說明并緊接著拋出問題2：

“2x+3y=5怎么看？方程的式結(jié)構(gòu)你怎么看”？

觀點1：A+B=5，A和B互為控制關(guān)系，x是y的函數(shù)，y也是x的函數(shù)，但若變?yōu)锳²+B²=5，則A與B只互為控制關(guān)系，而非函數(shù)關(guān)系.

觀點3：式結(jié)構(gòu)可以看成f（a）：從a開始，追求通透的數(shù)學(xué)理解，使其結(jié)構(gòu)脈絡(luò)分明，不僅要知道結(jié)構(gòu)的結(jié)點，也要關(guān)注建立不同式結(jié)構(gòu)之間的關(guān)系、法則和思想方法，這是f.

諸老師總結(jié)：研究數(shù)的結(jié)構(gòu)化特征是基于數(shù)感、符號感基礎(chǔ)上的抽象意識、推理意識（運算），而進(jìn)入初中之后研究式的結(jié)構(gòu)化特征是基于數(shù)結(jié)構(gòu)特征的一般化研究，能更為系統(tǒng)全面地刻畫現(xiàn)實世界中的數(shù)量、數(shù)量關(guān)系及其變化的規(guī)律性，有利于發(fā)展學(xué)生的抽象能力，凸顯式結(jié)構(gòu)的一般性特征.關(guān)注式結(jié)構(gòu)的內(nèi)在特征及其結(jié)構(gòu)的演變，可以更好地在數(shù)學(xué)內(nèi)部發(fā)展推理能力、運算能力，凸顯式結(jié)構(gòu)發(fā)展性特征.

特級教師卜以樓接著作階段性總結(jié)：

從1開始，從1到a，一切從a開始，1是數(shù)字，a是字母，y=ax²，y=a（x+1）²…給數(shù)學(xué)以生命，它會給你無限精彩，把數(shù)學(xué)上成生命成長的課，那么學(xué)生不再是學(xué)數(shù)學(xué)，而是享受數(shù)學(xué)……

那么“式結(jié)構(gòu)的教學(xué)怎么進(jìn)行？”幾位老師以具體案例給出了答案.

案例1：以“字母表示數(shù)”為例

【例題】?（1） 框圖中五個數(shù)的和與中間的數(shù)有什么關(guān)系？這個結(jié)論有一般性嗎？

（2）圖中有這種位置關(guān)系的5個數(shù)的和是95，求這五個數(shù).

（3） 在日歷表中你還能發(fā)現(xiàn)哪些規(guī)律？

（4） 你還能提出哪些問題？

這里可能提出下列問題：

問題1：在生活中，圖表可以表示什么？

問題2：在數(shù)學(xué)中，有用符號表示的例子么？舉例說明

問題3：你能將這些符號表述的例子分類么？

問題4：你怎么看待用字母表示數(shù)中的字母？

這里圖表其實對應(yīng)的是數(shù)，第一次接觸的話，要讓學(xué)生體會用字母表示數(shù)的必要性，有一部分用字母表示數(shù)的意識和觀念，要提升為能力，首先必要性：第一很簡約，第二數(shù)字表示不完……而字母具有高度的抽象性，簡潔性，概括性……

接下來思考：① 字母和數(shù)有什么相同和不同之處？

學(xué)生可能舉例：3和a，3就是3，a可以3，-3，0……

② 求3的絕對值，-4的絕對值，a的絕對值呢？-a是負(fù)數(shù)么？……

③ 用式子表示加法（乘法）交換律……

在不斷的追問和應(yīng)答中，培養(yǎng)學(xué)生用結(jié)構(gòu)眼光看世界，發(fā)展學(xué)生抽象能力和歸納能力，形成從生活到數(shù)學(xué)的數(shù)學(xué)眼光，在定義和概念形成的過程中認(rèn)識式結(jié)構(gòu).

專家總結(jié)：數(shù)學(xué)抽象包括三個階段（層次）：

簡約階段：將繁雜的實際問題簡單化、條理化，感受到可以借助圖（還不是圖形）或更簡單的文字清晰地表達(dá).

如，面對一群跳來跳去的青蛙這一繁雜的事物，利用“一只青蛙一張嘴，兩只青蛙四條腿……”這樣很簡潔、有條理的文字表達(dá)，關(guān)注一只青蛙的嘴、眼、腿的關(guān)系.

符號階段（對應(yīng)符號意識）：去掉具體的內(nèi)容，利用概念、符號、關(guān)系表述已經(jīng)簡約化的事物.如，可以借助數(shù)的概念、字母、符號建立青蛙的嘴、眼和腿的關(guān)系：嘴的數(shù)量是1，設(shè)眼的數(shù)量為a，腿的數(shù)量為b，則有a=1×2，b=1×4，

這樣的表達(dá)已經(jīng)初步把事物關(guān)系的本質(zhì)用數(shù)學(xué)來表征.

普適階段（對應(yīng)模型思想）：建立一般法則，進(jìn)行簡單推理，形成數(shù)學(xué)模型，解釋更多具體事物.如，對一只、兩只、三只……青蛙的嘴、眼和腿的關(guān)系，抽象形成n，2n，4n……這樣具有一般意義的數(shù)學(xué)模型.這三個階段構(gòu)成一個從特殊到一般、從感性到理性、從現(xiàn)象到本質(zhì)的抽象過程.

案例2：以“代數(shù)式的值”為例

問題1：代數(shù)式2x的實際意義是什么？

問題2：當(dāng)x=-2，求代數(shù)式2x的值.

問題3：x還可以取哪些值？2x的值有什么變化？

問題4：所有代數(shù)式的值都會和2x值的變化一樣么？舉例說明

凡變化必有序，序是從無到有，是數(shù)學(xué)中的重要特征，對問題的排序，從無序到有序，問題及解決.

案例3：“用二元一次方程組解決問題”為例

用模型表達(dá)解問題，發(fā)展學(xué)生的應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識，促進(jìn)學(xué)生用式、方程、不等式和函數(shù)等模型刻畫實際問題，在問題解決的過程中，創(chuàng)新策略、優(yōu)化式結(jié)構(gòu).

問題1：你能舉例說明2x+3的實際意義么？你能求出x的值么？如果不能請你結(jié)合例子添加條件，求出x的值.

問題2：你能舉例說明方程x+3=4和2x=4的所刻畫的實際意義嗎？

（注：二元一次方程組中的x表示的是同一個量）

問題3：你能用符號語言表示上述方程的“式結(jié)構(gòu)”么？

有了這些作基礎(chǔ)可以展開從方程到實際問題的追問1：你能舉例說明方程2x+3=4和2（x+3）=4的所刻畫的實際意義么？

再從實際問題到方程：例1：某一天菜場菠菜的價格為：青菜2元/千克，蒜苗4元/千克，結(jié)合上述信息便一道應(yīng)用題，使所列方程為：2x+4（5-x）=12.

2?教學(xué)謀劃

方程是引導(dǎo)學(xué)生理解數(shù)式結(jié)構(gòu)的好媒介，可以引導(dǎo)學(xué)生用不同符號來理解同一事物的具體數(shù)量，充分感受“算兩次”思想，感受不同的代數(shù)式可以表示同一數(shù)量的思想，感受代數(shù)式應(yīng)用的廣泛性.

為了充分理解數(shù)式結(jié)構(gòu)貫代數(shù)，我們可以對整個初中教學(xué)進(jìn)行謀劃，比如：

某專賣店銷售核桃，其進(jìn)價為40元/kg，按60元/kg出售，平均每天可售出100kg，后來經(jīng)過市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，單價每降低2元，則平均每天的銷售可增加20kg，若該專賣店銷售這種核桃想要平均每天獲利2240元，每千克核桃應(yīng)降價多少元？……

2.1?在初中數(shù)學(xué)“大系統(tǒng)”中進(jìn)行謀劃

七上“用字母表示數(shù)”

某專賣店銷售核桃，其進(jìn)價為40元/kg，按60元/kg出售，平均每天可售出100kg，后來經(jīng)過市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，單價每降低2元，則平均每天的銷售可增加20kg，如果每千克降價x元，則每千克利潤為? ? ? ? ? ??元，銷售數(shù)量為? ? ? ? ? ? ??千克.

七下“整式的乘法——多項式乘以多項式”：

2.3?在初中數(shù)學(xué)“中系統(tǒng)”中進(jìn)行謀劃

追問1：這個長方形面積能為25m²么？能為30m²？最大為多少？

追問2：總利潤能為2250么？總利潤能為3000元么？總利潤最大是多少元？

新課標(biāo)對于《根與系數(shù)的關(guān)系》一節(jié)內(nèi)容提出了更高的學(xué)習(xí)要求，尤其重視其代數(shù)推理過程，為了適應(yīng)新課標(biāo)，也為了讓學(xué)生通過觀察數(shù)式結(jié)構(gòu)來思考解決問題方法，對于此課定理的形成過程教學(xué)設(shè)計和過程展示如下：

問題：方程ax²+bx+c=0（a≠0）的兩根為x₁、x₂，請猜想x₁+x₂、x₁·x₂與各項系數(shù)a、b、c之間有什么關(guān)系？

追問1：如何證明？你有哪些方法？

學(xué)生容易想到用求根公式將兩根表示出來再相加和相乘，化簡即得，不做過多贅述.

追問2：方程還可以寫成a（x-x₁）（x-x₂）=0，比較兩個方程，能否得到根與系數(shù)之間的關(guān)系？

一元二次方程的兩根式學(xué)生不熟悉，可以加入適當(dāng)問題幫學(xué)生理解：

① 我們學(xué)習(xí)過因式分解解一元二次方程，方程的左邊可以寫成因式乘積的形式.

② 方程如果有一個根是x₁，則方程左邊應(yīng)該有因式？（x-x₁）

③ 方程如果有一個根是x₁、x₂，則方程左邊應(yīng)該有因式？（x-x₁）（x-x₂）

④ 一元二次方程一般式中二次項系數(shù)為a，但是上式展開二次項系數(shù)為1，怎么辦？（容易想到前面加a即可）

這樣就得到兩根式，這個過程的探索讓學(xué)生對于式結(jié)構(gòu)的理解也大有裨益，不應(yīng)直接忽略.

3?總結(jié)

研究數(shù)式結(jié)構(gòu)可以把握數(shù)量之間的一般關(guān)系和規(guī)律.在經(jīng)歷用數(shù)和字母表示數(shù)量，用代數(shù)式、方程表示數(shù)量關(guān)系，用運算和推理判斷數(shù)與代數(shù)式之間的大小關(guān)系三部曲后，學(xué)生對于代數(shù)中的核心要點：“符號”“表示”“運算推理”爛熟于心，運用自如.萬物是模型，式有千面終歸一；結(jié)在其間為關(guān)鍵，構(gòu)出關(guān)系自生長.