類比探究 提煉方法 彰顯本質

劉園園

摘 要：專題教學在提高學生解題能力，發(fā)展學生數學思維等方面具有重要應用.在教學中，對于一些重點的、熱點的、難點的問題可以以專題的方式呈現，讓學生通過類比探究提煉解決問題的方法，感悟問題的本質，提高解題效率.

關鍵詞：專題教學；方法；解題效率

近幾年來，有關函數圖象中角度存在性問題成了中考的寵兒.此類問題具有一定難度，考試均分不高.為了突破這一學習難點，筆者將以此類問題改編形成專題，采用從簡單到困難的類比法，形成這一系列問題的解題思路，掌握解題的方法，提高解題效率^［1］.

1?問題呈現，體驗解題策略

【例1】?如圖1，拋物線y=x²-2x-3與x軸相交于A、B兩點，和y軸交于C點，P是拋物線的動點，設m為點P的橫坐標.

問題1：若點P使得∠PBA=45°，求m的值.

以上問題難度不大，學生很快就找到了解題方法.

生1：根據已知可求得點B和點C的坐標分別為（3，0）、（0，-3），連結BC，∠OBC=45°，又∠PBA=45°，所以點P就是點C，故求得m=0.結合圖1可知，滿足條件的點P不唯一.采用畫圖的方法即可以找到P點，該點是拋物線和直線的交點.同時，∠PBA=45°，這樣可以得出PB所在的直線，解析式如下：y=-x+3.

接著與拋物線方程聯立，并求解得x₁=3（舍去），x₂=-2，所以m=-2.

師：很好，生1是從代數的角度出發(fā)，根據交點坐標得到了m值.還有誰應用了這一方法呢？（學生紛紛舉手）

根據課堂反饋，大多數學生都應用了這一方法.代數法思維起點低，符合大多數學生的思維習慣，故應用的人較多.

師：看來大家和生1一樣厲害.請大家思考一下，該問題是否有更簡捷的方法呢？

生2：先在圖1上畫出點P的大概位置，過點P作x軸的垂線，交于點D.因為∠PBA=45°，所以PD=BD，又點P的橫坐標為m，用點P坐標表示線段，故有｜m²-2m-3｜=-m+3，也可以得到答案.

師：很好，生2從幾何的角度出發(fā)，先是構造直觀的幾何圖形，畫出滿足條件的角，然后將角度問題轉化為線的問題，利用點的坐標解決了問題.

設計意圖：開展教學過程中讓學生學會站在不同角度去思考，采用不同的方法來解決問題，讓數學思維被充分激活.這樣可以為之后的解題提供更多的資源，促進學生解決問題能力的提升^［2］.

2?認知發(fā)展，提煉解題策略

問題2：已知條件不變，過點B作BD⊥AC于點D，是否存在第二象限內的點P，使得∠PBA=∠ABD？若存在，請求m的值.

在問題1順利求解后，教師將問題進行拓展，給出了問題2.問題2與問題1相比，難度略有提升，為了讓學生能夠更好地解決問題，教師繼續(xù)讓學生進行小組探究，以此集思廣益，讓學生快速找到解決問題的突破口.

生3：按照生2的思路，可以先在第二象限內尋找點P，連結BP，然后想辦法求出BP的解析式.如果想將BP的解析式求出來，先要將AC直線的解析式求出.再加上BD⊥AC的條件是可以求出BD解析式的，之后可以將D點的坐標算出.同時，令D′、D關于x軸對稱.此時可以求得出BD′直線的解析式，而BD′的直線解析式與BP的相同.求出直線BP解析式后，與拋物線聯立即可求得點P的坐標.這樣雖然能夠求解，但是感覺過程有些煩瑣，所以沒有直接計算，想看看是否還有其他解題路徑.

師：說得很好，大家是否還有更為簡捷的方法呢？

生4：我的思路和生3基本相同，不過在求直線BP的解析式時，我是先算直線BD與y軸的交點坐標，易得其交點坐標為（0，-3），這樣根據∠PBA=∠ABD，可知直線BP經過（0，3），從而求得直線BP的解析式.

師：很好，充分利用圖象特征，有效地簡化了運算過程.你們還有其他想法嗎？

師：很好，幾位同學的思路都非常清晰，都是圍繞“求直線BP的解析式”展開的，雖然運算過程有所不同，但是其解題思路基本一致.還有沒有其他思路可以求解呢？是否可以運用幾何法求解呢？（教師啟發(fā)學生跳出原有思維的禁錮，嘗試應用幾何法求解）

生6：在圖1上尋找點P的大概位置，過點P作x軸的垂線，且交于點E，則有∠ACO=∠ABD，又∠PBA=∠ABD，所以∠PBA=∠ACO，易證△ACO∽△PBE，這樣BE=3PE，故3（m²-2m-3）=-m+3.

師：非常好，你是怎么想到這個方法的呢？

生6：我想到這個方法是受了問題1的啟發(fā)，作垂線后發(fā)現相似三角形，于是就按照這個思路求得了m值.

師：很好，結合以上過程說一說，你有哪些發(fā)現？

生7：在求角度這個問題時只要利用好了圖形，就可以直接把圖轉變成為線的問題，非常直觀，再轉化成為求交點坐標的問題就能輕松解決.

生8：采用代數法計算出交點的坐標，再將解析式求出，然后聯立方程，運用方程的思想方法求得交點坐標.這種方法雖然運算過程煩瑣，但是易于理解.

生9：在求交點坐標時也可以運用幾何法，即根據圖形特點構造特殊的圖形，如特殊三角形或相似三角形，結合線段的等量關系，利用方程法解決問題.應用該方法可以有效規(guī)避煩瑣的運算，有利于提高解題效率.

設計意圖：在問題1的基礎上進行拓展，讓學生通過問題的解決總結歸納解決此類問題的方法，形成解題策略，提高學生解題效率.

3?借助應用，深化策略理解

通過以上兩個問題的探究，解題策略已經形成，為了進一步加深策略理解，教師趁熱打鐵，給出了問題3.

問題3：若點P使得∠PAC=∠ACO，求m的值.

問題給出后，教師讓學生獨立思考，基于前面的解題經驗，學生很快找到了解決問題的方法.

生10：取AP與y軸的交點為E.因為∠PAC=∠ACO，所以AE=EC.設OE的長度為x，則CE=3-x，AE=3-x，x只需要利用勾股定理就可以求出，之后E點坐標也可以得出，再得到這兩值之后，就可以計算出AP直線的解析式，有效解決了問題.

生11：我前面的解題思路和生10相同，但是求出點E的坐標后，我沒有求解析式，而是過點P作x軸的交點D，利用△AOE∽△ADP，求得了m值.

設計意圖：教學中，為了檢測學生解題策略的掌握情況，教師繼續(xù)給出問題，加強解題策略，加深學生對這類問題的認知，提升運用水平.

4?橫向延伸，積累活動經驗

問題給出后，教師先讓學生獨立思考，然后進行小組交流，并以互動的方式充分地展示學生的解題過程.在教師的啟發(fā)和引導下，學生運用不同的方法解決了問題，積累了豐富的解題經驗，升華了認知.

設計意圖：將解決拋物線問題的經驗遷移至雙曲線問題上，通過對比分析鞏固了原認知，讓學生的思維得到了拓展，深化了解題的能力.很多數學的知識與方法是存在聯系的，在教學中教師要多從“聯系”的角度出發(fā)，引導學生將相似或相關的內容進行類比，繼而明確問題的本質，提高學生解決問題的能力^［3］.

5?教學思考

專題型的解題教學，是十分重要的方法，需要采用專項練習，幫助學生掌握一類解題方式，從而實現會一題通一類的效果.

以習題為載體開展的專題訓練，引導學生采用類比法，解決某些特定問題，以此提升解題效率.在專題訓練中，教師要打破就題論題的格局，多給學生一些獨立思考的時間和空間，引導學生通過對相似或相關內容的類比掌握解決此類問題的方法，并在解題的基礎上讓學生學會思考，學會學習.

若想提高專題訓練的效果，教師應按照由淺入深的方式加以呈現，以此調動學生參與課堂的積極性.在解題教學的過程中，教師不要將方法和經驗直接呈現給學生，需要讓學生在解題時去感悟解決的過程、方法，以及解題時的靈感，促使學生有效發(fā)展思維能力.數學思想是數學學科的精髓，是數學學習的靈魂.正因為有了數學思想和數學方法的存在，數學知識變得更加系統(tǒng)、全面.本課中，先從形入手，確定解題思路，然后通過“數”與“形”的轉化，高效地解決了問題.

總之，教師在設計專題時應以學生的思維為起點，通過“低起點、小坡度”的問題逐層深入，讓學生在類比探究中積累解題經驗，掌握解決一類問題的方法，提高教學效率.

參考文獻：

［1］ 黃悅軍.核心素養(yǎng)視角下初中數學復習課教學模式的構建與實踐［J］.理科考試研究，2020（14）：30-33.

［2］ 高志軍.例析初中復習課中小題大做專題的運用［J］.中學數學，2021（4）：41-42.

［3］ 王榮華.核心素養(yǎng)視角下初中數學復習課教學策略［J］.福建教育學院學報，2021（8）：38-40.