對一類圓周運動的靜摩擦力分析

蔣 敏 皮 軍 徐繼龍

(西南大學附屬中學校，重慶 400700)

相互接觸的兩物體有相對滑動趨勢又保持相對靜止，在它們接觸面上有阻礙相對滑動趨勢的靜摩擦力產(chǎn)生.靜摩擦力的大小與方向往往與物體所受的其他力及運動狀態(tài)有關(guān)，這使得對靜摩擦力的分析有一定難度.靜摩擦力的常見分析方法有運動趨勢判斷法和解析法.

當物體隨圓盤在水平面內(nèi)做勻速圓周運動時，相對圓盤運動趨勢為遠離圓心，可以確定靜摩擦力的方向指向圓心.[1]當物體隨曲面在水平面內(nèi)做勻速圓周運動時，往往受重力、支持力和靜摩擦力作用，物體在不同的位置半徑不同導致需要的向心力不同，再加上曲面傾角的變化使彈力方向相應變化，使得這類問題具有較強的綜合性.對于這類較復雜的情況，很難通過定性的分析得出結(jié)果，往往需要在靜摩擦力的兩個可能的方向中，假定靜摩擦力沿其中一個方向，數(shù)值為f，然后根據(jù)物體運動狀態(tài)及受力情況建立平衡方程或動力學方程求解，最后根據(jù)解出的表達式進行討論.[2]

1 物體隨冪函數(shù)旋轉(zhuǎn)曲面的運動

物塊隨曲面在水平面內(nèi)做圓周運動時的靜摩擦力與曲面的形狀有關(guān)，下面分析物體隨以冪函數(shù)旋轉(zhuǎn)曲面為內(nèi)表面的容器做圓周運動所受靜摩擦力情況.

如圖1所示，一容器固定在水平轉(zhuǎn)臺上，建立如圖所示坐標系，容器內(nèi)表面在第一象限的關(guān)系式為y=kxn(k>0，n>0)，轉(zhuǎn)臺與容器繞豎直軸線以角速度ω勻速轉(zhuǎn)動.小物塊A隨容器轉(zhuǎn)動且相對器壁靜止.

圖1

由于容器的形狀與參數(shù)k和n的值有關(guān)，取不同k與n的值情況并不相同，定性分析比較困難，所以用解析法進行討論.對小物塊A進行受力分析如圖2所示，小物塊受重力mg，彈力N，沿容器壁切線向下的摩擦力f.

圖2

水平方向合力提供向心力，豎直方向受力平衡，有

Nsinθ+fcosθ=mω2x.

(1)

Ncosθ=mg+fsinθ.

(2)

式中θ為物塊與容器接觸處的切線與水平方向的夾角.

由(1)(2)兩式解得

f=m(ω2xcosθ-gsinθ).

(3)

由于

(4)

所以

將sinθ與cosθ代入(3)式，有

(5)

當n>2時，由于摩擦力表達式較復雜，用圖像進行分析.取m=1 kg，k=1，ω=4 rad/s，分別取n=2.5、3、3.5、4，以f為縱坐標，x為橫坐標，作出f-x圖像，如圖3所示.可以看出，當n>2時，隨著x逐漸增大，摩擦力先沿切線向內(nèi)增加再減小為0，然后再沿切線向外逐漸增大.

圖3

當n<2時，同樣用圖像進行分析.取m=1 kg，k=1，ω=4 rad/s，分別取n=1.5、1、0.5，以f為縱坐標，x為橫坐標，作出f-x圖像，如圖4所示.可以看出，當n<2時，x較小時摩擦力沿切線向外，x較大時摩擦力沿切線向內(nèi)，中間有個位置摩擦力恰好為0.其中n=1.5時，隨著x逐漸增大，摩擦力沿切線向外先增加再減小為0，然后再沿切線向內(nèi)逐漸增大；n=1時，f與x為一次函數(shù)關(guān)系；n=0.5時，隨著x逐漸增大，摩擦力沿切線向外先逐漸減小為0，然后再沿切線向內(nèi)逐漸增大.

圖4

圖5

(A) 可能兩球受摩擦力都沿桿向上.

(B) 可能A受摩擦力沿桿向上，B受摩擦力沿桿向下.

(C) 可能A受摩擦力沿桿向下，B受摩擦力沿桿向上.

(D) 若以更大的角速度繞y軸旋轉(zhuǎn)，A、B受到的摩擦力可能都減小.

2 物體隨球形內(nèi)表面運動

下面以一個題目為例分析物體在球形內(nèi)表面上隨球面做圓周運動時所受摩擦力的情況.

例2.如圖6所示，半徑為R的半球形容器固定在水平轉(zhuǎn)臺上，轉(zhuǎn)臺繞過容器球心O的豎直軸線以角速度ω勻速轉(zhuǎn)動.小物塊A、B隨容器轉(zhuǎn)動且相對器壁靜止，A、B和球心O點連線與豎直方向的夾角分別為α和β，α>β，則

圖6

(A) A、B受到的摩擦力可能同時為0.

(B) 若A不受摩擦力，則B受沿容器壁向上的摩擦力.

(C) A、B受到的摩擦力可能都沿容器壁向上.

(D) A、B受到的摩擦力可能都沿容器壁向下.

2.1 定性分析

該題的重點是分析物塊在容器內(nèi)不同位置所受摩擦力方向.當物塊和球心連線與豎直方向的夾角增大時，物塊與球面接觸面傾角增大，物塊的下滑趨勢更明顯，同時圓周運動半徑增大，在角速度一定時所需向心力增大，物塊被甩出去的趨勢更明顯，無法準確判斷相對滑動趨勢方向.再對特殊位置進行分析：當物塊和球心連線與豎直方向夾角為90°時，靜摩擦力豎直向上，與重力等大反向；當物塊和球心連線與豎直方向夾角接近0°時，支持力幾乎豎直向上，只能由靜摩擦力的水平分量提供向心力，此時靜摩擦力沿容器壁向內(nèi).于是可以猜想：夾角較大時摩擦力沿容器壁向上，夾角較小時摩擦力沿容器壁向內(nèi)，有一個臨界角度使摩擦力恰好為0.根據(jù)以上分析，(A)選項錯誤；若α正好為臨界角度，則A不受摩擦力，B受沿容器壁向下的摩擦力，(B)選項錯誤；若臨界角度小于β，則A、B受到的摩擦力都沿容器壁向上，(C)選項正確；若臨界角度大于α，則A、B受到的摩擦力都沿容器壁向下，(D)選項正確.所以選(C)(D).

定性的分析雖然選出了答案，但對摩擦力隨角度、角速度的具體變化規(guī)律并不清晰，下面對這種圓周運動的摩擦力進行定量分析.

2.2 定量分析

小物塊的受力分析如圖7所示，小物塊受重力mg、彈力N、沿容器壁向下的摩擦力f.小物塊隨著半徑為R的球形容器在水平面內(nèi)做勻速圓周運動，水平方向合力提供向心力，豎直方向受力平衡，有

圖7

Nsinθ+fcosθ=mω2Rsinθ.

(6)

Ncosθ=mg+fsinθ.

(7)

式中θ為小物塊和球心連線與豎直方向夾角.

由(6)(7)兩式解得

f=msinθ(ω2Rcosθ-g).

(8)

討論：

② 當0<θ<θ0時，f>0，摩擦力沿切線向內(nèi).相同的位置，角速度越大，摩擦力越大.

3 教學啟示

第二，命題應該充分考慮中學生的知識背景，設(shè)置相應難度的題目.教師應該根據(jù)題設(shè)條件看能否運用中學階段的知識進行解答，看看是否需要補充條件.如例2通過巧妙的選項設(shè)置，學生可以通過定性分析或特殊值計算進行判斷，符合中學生的能力水平.

第三，教師在教學中可以引導學生對一些定性分析的問題進行定量討論.引導學生分析題目深層次的物理過程，可以讓學生知其然更知其所以然，這樣才能滿足不同學生的需求.通過定量討論，可以培養(yǎng)學生嚴密思考的物理思維.