求解二面角問題的兩個“妙招”

蘇亞亞

二面角問題經(jīng)常出現(xiàn)在立體幾何試題中，此類問題不僅考查同學(xué)們對立體幾何中二面角知識的掌握程度，還考查了運算與直觀想象能力.求解二面角問題主要有兩個“妙招”.

一、巧用定義

二面角的大小通常用二面角的平面角的大小來表示.運用定義法求解二面角問題，需根據(jù)二面角的平面角的定義，在二面角的棱上任取一點，并過該點在兩個半平面內(nèi)作垂直于棱的兩條直線，則這兩條直線所夾的角即為二面角的平面角.最后借助幾何知識，如線面垂直的性質(zhì)定理、正余弦定理、勾股定理等求得平面角的大小，即可求出二面角的大小.

運用定義法求解二面角問題，必須從圖形中找到突破口，即根據(jù)圖形的特點和二面角的平面角的定義，求作或確定二面角的平面角.再通過轉(zhuǎn)化，將空間中的幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化到平面內(nèi)，借助平面幾何知識求得二面角的平面角的大小.

二、巧構(gòu)向量

向量法是解答立體幾何問題的常用方法.在求解二面角問題時，首先要根據(jù)圖形的特征，建立合適的空間直角坐標(biāo)系，得到相關(guān)點的坐標(biāo)；再根據(jù)線面垂直的判定定理，分別求出兩個半平面的法向量，那么二面角即為兩個法向量的夾角或其補(bǔ)角.

通過建立空間直角坐標(biāo)系，便可將幾何問題轉(zhuǎn)化為向量運算問題，運用向量的數(shù)乘運算、數(shù)量積公式即可求得二面角的大小.但要注意的是，建立空間直角坐標(biāo)系的方法不同，所求的點的坐標(biāo)和運算過程會有所不同.為了便于計算，要讓更多的點在坐標(biāo)軸上.

相比較而言，定義法的適用范圍較廣，向量法雖然思路較為簡單，但解題過程中的運算量較大.同學(xué)們在解題時，可根據(jù)解題需求選擇最佳的方案，以提升解題的效率.

（作者單位：甘肅省隴南市宕昌縣第一中學(xué)）