巧用類比思想，培養(yǎng)初中生邏輯推理能力

宿遷市蘇州外國(guó)語學(xué)校 張 誠(chéng)

法國(guó)數(shù)學(xué)家拉普拉斯認(rèn)為：“在數(shù)學(xué)的王國(guó)里，發(fā)現(xiàn)真理的主要工具就是歸納和類比.”類比推理是指根據(jù)兩種不同對(duì)象在某些方面具有相同之處或相似之處，借助于聯(lián)想，通過對(duì)一個(gè)模型的研究來獲得另一個(gè)模型的信息，常常作為探索新問題的辦法.類比推理的科學(xué)預(yù)見性、探索性，可以讓學(xué)生經(jīng)歷聯(lián)想、抽象化、映射、驗(yàn)證等數(shù)學(xué)活動(dòng)過程，更有助于學(xué)生發(fā)現(xiàn)、提出問題，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí).

1 巧用概念類比，引導(dǎo)合情推理

數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)重要基石.掌握概念內(nèi)涵，厘清概念異同點(diǎn)，是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ).由于數(shù)學(xué)概念具有一定的枯燥性、繁雜性和相似性，且很多概念之間存在緊密的聯(lián)系，故學(xué)生在學(xué)習(xí)時(shí)非常容易混淆.在新概念教學(xué)時(shí)，巧用概念類比，引導(dǎo)學(xué)生鞏固復(fù)習(xí)已學(xué)概念，并在新舊概念的共同點(diǎn)和差異中明確概念同化的關(guān)鍵要素[1]，并將零散的數(shù)學(xué)知識(shí)聯(lián)結(jié)成數(shù)學(xué)知識(shí)鏈條，有助于完善學(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu)體系.

案例1“一元二次方程”概念課

“一元二次方程”是初中數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容，可以讓學(xué)生類比一元一次方程的概念，通過合情推理得到一元二次方程的概念.在課堂中，首先結(jié)合學(xué)生生活創(chuàng)設(shè)以下問題導(dǎo)入新課.

復(fù)習(xí)引入：一塊長(zhǎng)方形綠地的周長(zhǎng)為34 m，寬為7 m，那么它的長(zhǎng)是多少？

學(xué)生通過獨(dú)立解決問題，回顧一元一次方程的概念及利用方程解決問題的方法，為學(xué)習(xí)一元二次方程做好準(zhǔn)備.

概念類比：根據(jù)題意，列出方程.

(1)一塊長(zhǎng)方形綠地的面積為1200 m2，且長(zhǎng)比寬多10 m，那么長(zhǎng)和寬各為多少m？

(2)一個(gè)正方形的面積等于12，求它的邊長(zhǎng).

(3)已知一個(gè)數(shù)比另一個(gè)數(shù)大3，且兩個(gè)數(shù)乘積為0，求這兩個(gè)數(shù).

在列方程的過程中，要求學(xué)生思考以上三個(gè)方程與一元一次方程的相同點(diǎn)，嘗試類比一元一次方程給上面的三個(gè)方程下定義，其目的是用三個(gè)實(shí)際問題列出的三個(gè)方程與一元一次方程進(jìn)行類比，理解“元”“次”等特征，從而順利歸納出一元二次方程的概念：只含有一個(gè)未知數(shù)且未知數(shù)的最高次數(shù)為2的整式方程叫做一元二次方程.那么，一元二次方程的一般形式如何呢？還需要對(duì)上述兩個(gè)方程進(jìn)行一般化，從而得到一元二次方程的一般形式為

ax2+bx+c=0(a≠0),

其中，ax2為二次項(xiàng)，a為二次項(xiàng)系數(shù)，bx為一次項(xiàng)，b為一次項(xiàng)系數(shù)，c為常數(shù)項(xiàng).

表1 一元二次方程與一元一次方程的類比

在整個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)中，將類比推理的思想與一元二次方程概念的學(xué)習(xí)有機(jī)融合起來，教師的不斷引導(dǎo)，讓學(xué)生經(jīng)過觀察、聯(lián)想、抽象化和映射的數(shù)學(xué)活動(dòng)，通過類比推理，從而根據(jù)一元一次方程的概念得到一元二次方程的概念，極大程度地鍛煉了學(xué)生的邏輯推理能力.

2 巧用性質(zhì)類比，體驗(yàn)推理過程

數(shù)學(xué)性質(zhì)是數(shù)學(xué)表觀和內(nèi)在所具有的特征，是一種事物區(qū)別于其他事物的本質(zhì)屬性.性質(zhì)相似的事物在其他方面也具有一定的類似性，只有掌握數(shù)學(xué)對(duì)象的性質(zhì)才能更好地運(yùn)用它解決數(shù)學(xué)問題[2].由于數(shù)學(xué)性質(zhì)之間往往有內(nèi)在的關(guān)系和邏輯關(guān)系，新舊性質(zhì)的類比，可以幫助學(xué)生建立知識(shí)體系.所以，在學(xué)習(xí)新的數(shù)學(xué)對(duì)象性質(zhì)時(shí)，可以采用性質(zhì)類比的方法，引導(dǎo)學(xué)生將新的數(shù)學(xué)對(duì)象與舊的數(shù)學(xué)對(duì)象進(jìn)行比較，在辨析它們之間異同點(diǎn)的過程中，促進(jìn)新性質(zhì)的同化，這對(duì)于學(xué)生邏輯推理能力的培養(yǎng)大有裨益.

案例2“平行四邊形與梯形”單元復(fù)習(xí)課

平行四邊形是研究特殊平行四邊形的定義、性質(zhì)和判定的基礎(chǔ).由于該部分知識(shí)比較雜亂且分散，因此在單元復(fù)習(xí)課中，以“整”“理”為主線，結(jié)合思維導(dǎo)圖引導(dǎo)學(xué)生對(duì)平行四邊形和梯形的性質(zhì)進(jìn)行類比復(fù)習(xí)，幫助學(xué)生構(gòu)建完整的知識(shí)體系.

“整”，即讓學(xué)生在課前自主整理平行四邊形與梯形的性質(zhì)特點(diǎn)，抄寫下來，并按照一定邏輯順序粘貼，其目的是將分散在本單元中的知識(shí)要點(diǎn)展現(xiàn)在同一張圖上，形成整體(如圖1)感知，為性質(zhì)的類比分析做好鋪墊.

圖1

“理”，即讓學(xué)生以小組合作的形式，對(duì)平行四邊形和梯形的相關(guān)性質(zhì)進(jìn)行個(gè)性化梳理，整理出自己最感興趣的，認(rèn)為最重要的或掌握最不扎實(shí)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn).

“復(fù)”，即根據(jù)學(xué)生的“理”與“習(xí)”的反饋，有針對(duì)性地查漏補(bǔ)缺.發(fā)現(xiàn)學(xué)生在自主類比復(fù)習(xí)過程中的薄弱點(diǎn)在平行四邊形與梯形以及平行四邊形與長(zhǎng)方形之間的聯(lián)系上.同時(shí)，學(xué)生雖然能夠繪制出四邊形與各種特殊四邊形關(guān)系的韋恩圖，但對(duì)于它們之間的聯(lián)系卻不甚清晰.為此，針對(duì)學(xué)生存在的問題，設(shè)計(jì)了以下四個(gè)任務(wù)：

(1)將1個(gè)平行四邊形剪成2個(gè)梯形；

(2)將1個(gè)平行四邊形剪成2個(gè)完全一樣的梯形；

(3)將1個(gè)梯形剪出1個(gè)平行四邊形；

(4)將1個(gè)長(zhǎng)方形剪出1個(gè)平行四邊形.

學(xué)生以小組挑戰(zhàn)的形式完成任務(wù)，并進(jìn)行成果展示，在此過程中教師要注重引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注平行四邊形和梯形的主要特征，通過類比分析幫助學(xué)生完善思維導(dǎo)圖.這樣既有利于降低學(xué)生學(xué)習(xí)與記憶難度，而且能讓學(xué)生親身體驗(yàn)類比的過程，從中感受數(shù)學(xué)的邏輯美和知識(shí)之間的有趣關(guān)聯(lián)，促進(jìn)學(xué)生類比推理能力的提升.

3 巧用條件類比，推理不變特征

不變特征是類比推理的前提，也是學(xué)生在類比推理過程中發(fā)現(xiàn)的“新結(jié)果”.當(dāng)遇到一些新的數(shù)學(xué)習(xí)題或問題時(shí)，學(xué)生往往會(huì)根據(jù)題目給出的條件，類比已經(jīng)學(xué)習(xí)過的知識(shí)，從而使得陌生問題熟悉化，當(dāng)尋找到其不變特征時(shí)，問題就能得以順利解決[3].為此，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，尤其是在解題教學(xué)中，可以引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合所求目標(biāo)，從條件入手尋找不變特征，大膽猜測(cè)、嘗試與驗(yàn)證，并在類比的過程中進(jìn)行適當(dāng)?shù)奶剿鱽斫鉀Q問題.

案例3解題教學(xué)

(1)如圖2所示，已知△ABC,以AB，AC為邊向外分別作等邊三角形ABD和AEC，連接BE，CD，請(qǐng)將圖形補(bǔ)充完整，并思考BE，CD之間有什么數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說明理由.

圖2

圖3

(2)如圖3所示，已知△ABC,以AB，AC為邊向外分別作正方形ABFD和AEGC，連接BE，CD，并思考BE，CD之間有什么數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說明理由.

對(duì)于題(1)，學(xué)生根據(jù)已知條件，很快畫出圖形，并分析.由于△ABD和△AEC為等邊三角形，所以有AD=AB,AC=AE,∠DAB=∠CAE=60°，可以證明△ACD和△AEB全等.根據(jù)三角形全等的性質(zhì)，可以推導(dǎo)出BE=CD.尋找“全等三角形”是求解本題的關(guān)鍵.

題(1)是向外作等邊三角形，而題(2)則是向外作正方形，等邊三角形和正方形都屬于多邊形，且具有各邊相等、各內(nèi)角相等的基本性質(zhì).為此，在求解題(2)之前，可以引導(dǎo)學(xué)生類比觀察兩道題目中的已知條件，既然三角形和正方形具有相同的性質(zhì)特征，由此，可以猜想題(2)與題(1)的解題思路應(yīng)該是基本一致的.這樣類比題(1)的解題思路進(jìn)行分析，可以看出邊與角之間的關(guān)系依然成立.由于ABFD和AEGC均為正方形，所以有AD=AB,AC=AE，∠DAB=∠CAE=90°，可以證明△ACD和△AEB依然是全等的，那也就是說結(jié)論還是BE=CD.

題(1)與題(2)有著相似的條件，所以，我們可以合理地猜想其條件的相似可能會(huì)產(chǎn)生相似的結(jié)論[4].這樣通過類比條件的方法，可以幫助學(xué)生更加迅速、準(zhǔn)確地解題，尤其在解決一些抽象的幾何問題時(shí).類比推理是一條通往成功的捷徑，對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力與邏輯推理能力的培養(yǎng)來說是非常有益的.

4 巧用方法類比，培養(yǎng)推理能力

很多中學(xué)曾提出“數(shù)學(xué)問題應(yīng)該‘一看就會(huì)，一做就對(duì)’”.在數(shù)學(xué)教學(xué)中，過分強(qiáng)調(diào)技能訓(xùn)練，會(huì)忽視了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)問題的思考，從而導(dǎo)致學(xué)生陷入“一看就會(huì)，一做就廢”的怪圈.學(xué)生在教師講解時(shí)往往能聽懂，但當(dāng)他們遇到新的問題時(shí)，就會(huì)變得束手無策.所以，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)教會(huì)學(xué)生如何思考問題，在遇到不熟悉的新問題時(shí)，可以將這類題目與已知問題解決方式緊密聯(lián)系起來，運(yùn)用已解決的數(shù)學(xué)問題的思想方法來解決新的問題，比如方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、類比思想、化歸思想等[5]，而這一過程中充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)思想方法的類比運(yùn)用.將思想方法類比貫穿于中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生類比推理能力和解決問題的能力極為重要.

案例4已知一條直線上依次有A，B，C三個(gè)點(diǎn)，那么一共有幾條線段呢？

這個(gè)問題一般學(xué)生都能求解，共有三條線段，很多時(shí)候我們往往在學(xué)生得出答案就結(jié)束這個(gè)問題了.事實(shí)上，如果我們引領(lǐng)學(xué)生認(rèn)真思考并進(jìn)行知識(shí)遷移，學(xué)習(xí)效果將會(huì)截然不同.

思考1：如果這條直線上有6個(gè)點(diǎn)，你怎么數(shù)出線段的條數(shù)呢？

通過思考1，可以得到“順序識(shí)圖”的方法：根據(jù)線段有兩個(gè)端點(diǎn)的特征，可以先固定第一個(gè)端點(diǎn)，然后再以其余的點(diǎn)作為另一個(gè)端點(diǎn)組成線段，然后固定第二個(gè)端點(diǎn)，以其余的點(diǎn)組成線段，以此類推，直到找出最后的線段位置.采用一種方法，可以避免遺漏、重復(fù)的現(xiàn)象，不難得到當(dāng)直線上有6個(gè)點(diǎn)時(shí)，一共有15條線段.

思考2：如果這條直線上有n個(gè)點(diǎn)，共有多少條線段呢？

采用思考1中的順序識(shí)圖法，學(xué)生很快得出，共有(n-1)+(n-2)+……+3+2+1條線段.

思考3：如何計(jì)算(n-1)+(n-2)+……+3+2+1呢？

假設(shè)

S=(n-1)+(n-2)+……+3+2+1，

①

S=1+2+3+……+(n-2)+(n-1).

②

①+②式,得2S=n(n-1),所以S=0.5n(n-1).

在這個(gè)問題的解決過程中，采用了高斯的倒序相加法，這種方法不僅能巧妙解決很多初中數(shù)學(xué)問題，在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中更有用武之地.

思考4：這個(gè)方法是否能夠遷移運(yùn)用到其他數(shù)學(xué)問題中呢？

數(shù)角問題：從點(diǎn)O引m條射線OA,OB,OC,……,若組成的角都是銳角，則共有多少個(gè)銳角？

握手問題：七年級(jí)三班一共有45名學(xué)生，若每?jī)扇宋找淮问?，一共握了多少次手?/p>

比賽問題：n個(gè)籃球隊(duì)進(jìn)行單項(xiàng)循環(huán)比賽，其中每一個(gè)籃球隊(duì)都必須與其他籃球隊(duì)賽一場(chǎng)，總比賽場(chǎng)次是多少？

在解決數(shù)學(xué)問題的過程中，很多數(shù)學(xué)思想方法都具有一定的相似性.尤其是在解決一些復(fù)雜問題時(shí)，可以嘗試將問題進(jìn)行分解，運(yùn)用轉(zhuǎn)化的思想，使其變?yōu)槲覀兯煜さ膯栴}，進(jìn)而類比已有的解題思路，將各個(gè)問題突破，從而在問題解決的過程中，學(xué)生的邏輯推理能力能夠得到很好的訓(xùn)練.

5 結(jié)語

波利亞曾說過：“類比是發(fā)現(xiàn)的源泉，是一個(gè)偉大的引路人.”邏輯推理能力是重要的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，在數(shù)學(xué)課堂中，巧用類比思想，可以讓學(xué)生將舊知識(shí)類比遷移運(yùn)用到新知的學(xué)習(xí)中，形成新的知識(shí)結(jié)構(gòu)和體系，同時(shí)，在類比探究過程中，促進(jìn)了創(chuàng)造力和思考力的升華，提升了學(xué)生自主解決問題的能力，有助于提高學(xué)生的邏輯推理能力，實(shí)現(xiàn)對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng).