一題多變，變中求道
——以平行線中的拐點問題為例

西華師范大學(xué) 陳星穎

教師可以立足于一個知識點，通過改變某些條件或者結(jié)論等一題多變的方式演變成多道題.通過對多道題的探索，引導(dǎo)學(xué)生從“變”中找“不變”，在“不變”中找到解決問題的方法，提高學(xué)生的解題能力.下面筆者結(jié)合教材中的一道練習(xí)題進行論述.

1 原題呈現(xiàn)

圖1

(新人教A版七年級下冊第五章第三節(jié)的習(xí)題)如圖1，如果AB∥CD∥EF，那么∠BAC+∠ACE+∠CEF=( ).

分析：該題是一個典型的平行線中的拐點問題，其中C是拐點.圖1已經(jīng)給出了平行線中拐點問題作輔助線的方法，學(xué)生能夠很容易根據(jù)平行線的性質(zhì)得出答案.但在各類測試中，對該類問題的考查比教材中的題目更加復(fù)雜，因此筆者通過改變提問、改變拐點的位置、改變拐點的個數(shù)、改變題目條件、改變問題情境、結(jié)論與條件互換的變式來提高學(xué)生的解題能力.

2 原題變式

2.1 改變提問

問題是數(shù)學(xué)的心臟，改變提問的方式可以充分挖掘題目的內(nèi)涵.通過一題多問，延伸題目的外延，發(fā)散學(xué)生的思維.

變式1條件不變，∠ACE與∠BAC，∠CEF有什么數(shù)量關(guān)系？

變式2條件不變，∠ACE與∠BAC的補角和∠CEF的補角有什么數(shù)量關(guān)系？

變式3條件不變，能否用∠ACE表示∠BAC與∠CEF的和？

分析：若直接提問角的度數(shù)之和為多少，學(xué)生很容易得出，可能不會思考題中未提及的角之間有什么關(guān)系？通過提問角的數(shù)量關(guān)系是什么，以及∠ACE與其他兩角的補角關(guān)系如何，讓學(xué)生牢固掌握這道題所涉及到的知識點.不管問題怎么變，先抓住平行線的性質(zhì)，然后找到這三條平行線所涉及的角的關(guān)系，最后解決問題.

2.2 改變拐點的位置

平行線中的拐點不僅可以在兩平行線之內(nèi)，也可以在兩平行線之外.雖然拐點位置靈活多變，但解題也是有規(guī)律可尋的.

變式4在圖2～5中，已知AB∥CD，那么∠B，∠D和∠E的數(shù)量關(guān)系是什么？

圖2

圖3

圖4

圖5

分析：通過拐點位置的變化，讓學(xué)生明確平行線中拐點問題的輔助線添加規(guī)律以及解題的一般步驟.不管拐點是在平行線的內(nèi)部，還是在平行線的外部，添加輔助線的規(guī)律都是過拐點作已知直線的平行線.解題時，都是將拐點涉及的∠E，運用平行線的性質(zhì)，轉(zhuǎn)換為用∠B，∠D或與∠B，∠D相關(guān)的角表示，最后找到∠B，∠D和∠E的關(guān)系.

2.3 增加拐點的個數(shù)

拐點不僅位置靈活，其個數(shù)也可變化.增加拐點個數(shù)可促進學(xué)生深入探究各拐點間的關(guān)系.

變式5在圖6(或圖7)，已知AB∥CD，∠ABE和∠CDE的平分線相交于點F，若∠E=80°，求∠F的度數(shù).

變式6如圖8，已知AM∥CN，∠MBE和∠NDE的平分線相交于點F，若∠E=80°，求∠F的度數(shù).

變式8如圖10，已知AB∥CD，則∠E1+……+∠En與∠B+∠F1+……+∠Fn-1+∠D的數(shù)量關(guān)系是什么？

變式9如圖11，已知AB∥CD，則∠1+∠2+……+∠n等于多少度？

圖6

圖7

圖8

圖9

圖10

圖11

2.4 改變題目中的條件

2.4.1 改變題目中的非本質(zhì)條件

改變題目中的非本質(zhì)條件，把題目條件減弱，可以提高題目的難度，讓學(xué)生在找到解題辦法后深化解題思路.

分析：將條件從特殊變換到一般，輔助線的作法與解題思路不變.條件弱化后，學(xué)生將注意力放在解題過程中的方法，梳理這類題型的解法，進而形成解題體系.

2.4.2 改變題目的本質(zhì)條件

平時的練習(xí)題大多屬于結(jié)構(gòu)良好的問題，而在具體的考題中，學(xué)生可能會遇到結(jié)構(gòu)不良的問題，改變題中的本質(zhì)條件可促使學(xué)生拓寬解題思路.

變式11如圖12，當AB與CD不平行時，連接MN，且MN同時平分∠BME和∠DNE，則∠AME，∠CNE，∠MEN的數(shù)量關(guān)系是什么？

變式12如圖13，AB∥CD，∠BED，∠ABE，∠CDE之間有什么數(shù)量關(guān)系？若E在OM射線上運動時，∠BED，∠ABE，∠CDE又有什么數(shù)量關(guān)系？

圖12

圖13

2.5 改變問題情境

改變問題的情境，可以讓學(xué)生在復(fù)雜的情境中識別拐點模型.

變式13如圖14，將一塊含30°的直角三角板放置在平行四邊形中，求∠1+∠2的度數(shù).

圖14

圖15

變式14將一副三角板的兩直角邊和一張對邊平行的紙條按圖15擺放，求∠1的度數(shù).

圖16

變式15如圖16，小刀的刀柄外形是一個直角梯形(挖去一個半圓)，刀片上下平行，轉(zhuǎn)動刀片時形成∠1與∠2，求∠1+∠2的度數(shù).

分析：改變情境會增加對學(xué)生的干擾，增加線段會隱藏拐點.首先引導(dǎo)學(xué)生觀察題中的平行關(guān)系，如AB∥CD，平行的紙條或刀片.其次，找到拐點，抽離出其中的拐點模型，利用對應(yīng)的角度關(guān)系解決問題.

2.6 結(jié)論與條件互換

將條件與結(jié)論互換也可以讓學(xué)生深度挖掘題目蘊涵的知識點.教材中的題是根據(jù)平行求角度，考查平行線的性質(zhì).我們還可以根據(jù)角度大小運用平行線的判定定理，證明直線的平行關(guān)系.同樣地，上述有些變式也可以將條件與結(jié)論互換，引起學(xué)生的深入思考.

平行線中的“拐點”問題是有難度的，特別是其形式多變，通過一題多變的形式可以幫助學(xué)生找到解決“拐點”問題的方法.解決拐點問題最重要的是找到輔助線的添加規(guī)律以及涉及的角度關(guān)系，輔助線的添加一般是過拐點作已知直線的平行線，平行線有可能不是水平放置，需要自己識別.沒有平行條件時，則需要觀察思考，構(gòu)造出平行線.找角度關(guān)系時，不僅要考慮題干中提到的角，還要思考這個角的余角、補角以及特殊的平角、周角等.本文中通過層層遞進的變式提升學(xué)生的解題能力，形成解題的體系.