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    “從問題到方程”教學(xué)設(shè)計(jì)

    2023-03-22 04:03:55劉暢
    新課程·上旬 2023年24期
    關(guān)鍵詞:列方程等量天平

    劉暢

    一、教學(xué)背景

    《義務(wù)教育課程方案(2022年版)》在課程實(shí)施意見中提出:培養(yǎng)學(xué)生會用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界、會用數(shù)學(xué)的思維思考世界、會用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界?;诖耍P者以“從問題到方程”為例,貫徹落實(shí)新課標(biāo)的要求。“從問題到方程”這一課題中的“到”韻味深長,筆者認(rèn)為,更多的要帶領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷探索實(shí)際問題中數(shù)量關(guān)系的過程,教給學(xué)生探究問題的方式,并注重對學(xué)生抽象能力、應(yīng)用意識和建模能力的培養(yǎng)。

    二、教材分析

    “從問題到方程”是蘇科版數(shù)學(xué)七年級上冊第四章第一節(jié)的內(nèi)容,是在學(xué)習(xí)了有理數(shù)以及代數(shù)式之后探究的又一個重要內(nèi)容。這節(jié)課重在探索實(shí)際問題中的數(shù)量關(guān)系,并用方程描述,再歸納總結(jié)出一元一次方程的概念,并使學(xué)生意識到方程是刻畫現(xiàn)實(shí)世界的數(shù)學(xué)模型,為后面解一元一次方程以及用一元一次方程解決實(shí)際問題做鋪墊,并且為后續(xù)二元一次方程、一元二次方程的學(xué)習(xí)提供了思路。

    三、學(xué)情分析

    學(xué)生在小學(xué)時(shí)期就學(xué)習(xí)過方程的概念,但他們對從生活問題中抽象出數(shù)學(xué)模型乃至方程較為陌生。到了初中階段,我們進(jìn)一步加強(qiáng)對方程的學(xué)習(xí),經(jīng)歷了從生活中的實(shí)際問題到建立方程的過程,使學(xué)生充分感受到方程的簡明性和優(yōu)越性。

    四、教學(xué)目標(biāo)

    1.探索實(shí)際問題中的數(shù)量關(guān)系,并用方程描述,通過對多種實(shí)際問題中數(shù)量關(guān)系的分析,使學(xué)生初步感受方程是刻畫現(xiàn)實(shí)世界的有效模型。

    2.通過觀察,歸納一元一次方程的概念。

    3.培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力,提高抽象問題的解決能力。

    五、教學(xué)重難點(diǎn)

    探索實(shí)際問題中的等量關(guān)系以及歸納一元一次方程的概念。

    六、教學(xué)過程

    (一)創(chuàng)設(shè)情境,導(dǎo)入新課

    (出示購買物品稱重的圖片)

    師:在日常生活中,我們利用天平性質(zhì)來測量物體質(zhì)量,那么,天平的原理是什么呢?

    生:等量!

    師:你能說一說其中的等量關(guān)系式嗎?

    生:兩邊重量相同。

    出示一個1 g小球、2個同樣的大球與5 g砝碼在天平上(如圖1)。

    師:如何精準(zhǔn)地知道雙方的等量關(guān)系呢?你們有什么方法?

    生:天平兩邊物體重量相等,可以用等式方法。

    出示笛卡爾對數(shù)學(xué)問題的理解。

    師:著名的數(shù)學(xué)家、哲學(xué)家以及幾何的創(chuàng)始人笛卡爾認(rèn)為世間萬物中的一些問題都可以轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題,再將這些數(shù)學(xué)問題進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題,最后將代數(shù)問題再簡化成解方程。從他的話語中我們可以看出什么?

    生:我們可以知道世界萬物都能轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題,而這些數(shù)學(xué)問題我們都可以運(yùn)用解方程的方法來解決。

    師:找到等量關(guān)系就可以根據(jù)等量關(guān)系式列出方程嗎?這個方程又是一個什么方程呢?我們又該如何解這個方程呢?

    生:2個相同大球的質(zhì)量加1個1 g小球的質(zhì)量等于5 g砝碼的質(zhì)量。

    師:方程可以看作是數(shù)學(xué)中描述相等關(guān)系的一架天平。今天我們共同學(xué)習(xí)“從問題到方程”。

    (設(shè)計(jì)意圖:本環(huán)節(jié)借助實(shí)例的方式,引導(dǎo)學(xué)生再次復(fù)習(xí)等式的性質(zhì),同時(shí),通過復(fù)習(xí)的方式,引出本次探究的問題,再從“天平”這一實(shí)際問題入手,引導(dǎo)學(xué)生說出其中的等量關(guān)系,并嘗試建立方程,從而引出本課的課題。)

    (二)探究新知

    1.探索發(fā)現(xiàn),了解天平與等式關(guān)系

    出示2x+1=5

    師:根據(jù)剛剛我們找出的等量關(guān)系,發(fā)現(xiàn)通過方程描述這類等量關(guān)系最為簡明,因此,請大家根據(jù)等式的性質(zhì)嘗試列出方程。

    生:設(shè)一個大球的質(zhì)量為xg,就可以得到:2x+1=5。

    2.由天平看等式性質(zhì)

    師:你知道天平的特性是什么嗎?如何才能保持天平兩邊的平衡呢?

    生:兩邊質(zhì)量相同。

    師:沒錯,天平的原理就是兩邊質(zhì)量相同,這樣才能保持平衡。那么,你還能運(yùn)用天平原理,也就是方程來描述等量關(guān)系嗎?

    問題一:

    師:學(xué)校開展籃球聯(lián)賽,規(guī)定:勝一場得2分,負(fù)一場得1分。某籃球隊(duì)比賽了12場,共得20分。那么,你該如何去描述其中數(shù)量之間的等量關(guān)系?

    生:勝場得分+負(fù)場得分=20分。

    師:如何建立方程呢?

    生:設(shè)勝了x場,可知負(fù)了(12-x)場。得到方程:2x+1(12-x)=20。

    問題二:

    師:想一想:以繩三折測之,繩多四尺;若將繩四折測之,繩多一尺。繩長、井深各幾何?這個問題究竟問的是什么,從中你發(fā)現(xiàn)哪些信息呢?

    師:同學(xué)們可以通過畫示意圖理解這個問題的意思。

    (展示學(xué)生畫的圖,如圖2所示)

    生:用繩子量井深,把繩三折來量,井外余繩四尺;把繩四折來量,井外余繩一尺。繩長、井深各幾尺?

    師:你能描述其中的等量關(guān)系嗎?

    生:3×(井深+4)=4(井深+1)。

    師:等號兩邊都表示的是什么量?

    生:繩長。

    師:如果設(shè)井深為x尺,如何列出方程?

    生:設(shè)井深為x尺??闪谐龇匠蹋?(x+4)=4(x+1)

    師:還有其他的等量關(guān)系嗎?還可以設(shè)繩長為x尺來列方程組。

    列式略。

    師:實(shí)際問題中已知量和未知量之間的相等關(guān)系,可以用多種不同的方式描述。通過比較可以看出,用方程描述這種等量關(guān)系最簡明。

    (設(shè)計(jì)意圖:旨在培養(yǎng)學(xué)生的思維,同一個問題,從不同的等量關(guān)系、不同的角度都能解決這個問題。)

    3.數(shù)學(xué)運(yùn)用

    用方程描述下列問題中數(shù)量之間的等量關(guān)系:

    某公園的門票價(jià)格為:成人票8元/張,兒童票3元/張。買門票共花了44元,共有8人去公園。

    師:你能找出其中的相等關(guān)系嗎?

    生:成人票的總價(jià)+兒童票的總價(jià)=44元。

    設(shè)成人x人,可知兒童為(8-x)人,可列方程:8x+3(8-x)=44。

    變式:某公園的門票價(jià)格為:成人票8元/張,兒童票3元/張。買門票共花了44元。你能找出其中的相等關(guān)系并列出方程嗎?

    生:成人票的總價(jià)+兒童票的總價(jià)=44元。

    設(shè)成人x人,兒童y人,可列方程:8x+3y=44。

    師:這兩個問題之間有什么聯(lián)系與區(qū)別?

    生:聯(lián)系是等量關(guān)系是一樣的,區(qū)別是第二個問題有兩個未知量,因此要設(shè)兩個未知數(shù),而第一個問題只有一個未知量,因此只要設(shè)一個未知數(shù)。

    師:總結(jié)得很到位!

    (設(shè)計(jì)意圖:在這個情境中,等量關(guān)系不變,但未知數(shù)的設(shè)法不一樣了,讓學(xué)生能夠概括其中的聯(lián)系與區(qū)別,為后面一元一次方程概念的歸納與辨析做鋪墊。)

    甲、乙兩人加工同一種服裝,乙每天比甲多加工1件,乙加工服裝24件所用時(shí)間與甲加工服裝20件所用時(shí)間相同。

    師:如何用方程來描述其中數(shù)量之間的相等關(guān)系?

    生:乙加工服裝24件所用時(shí)間=甲加工服裝20件所用時(shí)間。

    設(shè)甲每天加工x件,可知乙每天加工(x+1)件。則可列出方程:■=■

    正方形桌面的面積是2 m2,求它的邊長。

    生:設(shè)正方形的邊長為x m,可列方程:x2=2。

    4.自主歸納,形成方法

    師:在剛剛我們描述的過程中,你們的思路是什么樣的?

    生:審題、尋找等量關(guān)系、設(shè)未知數(shù)、列方程。

    (設(shè)計(jì)意圖:讓學(xué)生經(jīng)歷“從問題到方程”的過程,引導(dǎo)學(xué)生自主歸納其一般步驟,從而培養(yǎng)學(xué)生的歸納概括能力,以形成自己的知識體系,為后續(xù)用方程解決實(shí)際問題做鋪墊。)

    (三)歸納一元一次方程的概念

    出示:①2x+1=5;②2x+1(12-x)=20;③3(x+4)=4(x+1);④8x+3(8-x)=44;⑤8x+3y=44;⑥■=■;⑦x2=2

    師:觀察上述問題中的方程,你能將它們分類嗎?

    (學(xué)生小組討論交流)

    生:⑤中含有兩個未知數(shù),其他的方程都只含有一個未知數(shù)。

    生:⑥方程等號兩邊不是整式,其他方程的兩邊都是整式。

    生:⑦中未知數(shù)的次數(shù)是2次,①②③④⑥中未知數(shù)的次數(shù)都是1次。

    師:同學(xué)們歸納得真全面!我們把像①②③④這樣只含有一個未知數(shù)并且未知數(shù)的次數(shù)是一次的方程叫做一元一次方程。你能再寫幾個一元一次方程嗎?

    (展示學(xué)生的作品,讓其他同學(xué)進(jìn)行辨析)

    (四)練習(xí)鞏固

    1.下列式子中:①5x+3y=0;②6x2-5x;③3x<5;

    ④x2+1=3;⑤x+1=3是一元一次方程的有(? )。

    (設(shè)計(jì)意圖:本題考查了一元一次方程的概念,通過觀察、辨析,有助于學(xué)生深刻地理解一元一次方程的概念。)

    2.用方程描述下列問題中數(shù)量之間的等量關(guān)系:

    (1)一頭半歲的藍(lán)鯨體重22 t,90天后體重為30.1t。設(shè)藍(lán)鯨體重平均每天增加xt,可得方程? ?。

    (2)把50 kg大米分裝在3個同樣大小的袋子里,裝滿后還剩余5 kg,設(shè)每個袋子可裝大米xkg,可得方程? ?。

    (3)甲、乙兩城市間的鐵路經(jīng)過技術(shù)改造后,列車在兩城市間的運(yùn)行速度從100 km/h提高到120km/h,運(yùn)行時(shí)間縮短了2 h。設(shè)甲、乙兩城市間的路程為xkm,如何列方程?

    (設(shè)計(jì)意圖:本題讓學(xué)生再次經(jīng)歷用一元一次方程解決實(shí)際問題的過程,鞏固用一元一次方程解決實(shí)際問題的一般步驟。)

    3.請你賦予2x+1=5其他的實(shí)際意義。

    (設(shè)計(jì)意圖:讓學(xué)生編題目,是為了讓學(xué)生更深刻地理解知識并應(yīng)用知識,培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維,讓學(xué)生在交流、討論中碰撞出思維的火花。)

    七、案例小結(jié)

    本節(jié)課的設(shè)計(jì)重點(diǎn)沒有放到一元一次方程的概念,而是著重帶領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷“從問題到方程”的過程。如何分析問題中的數(shù)量關(guān)系,如何找到等量關(guān)系,如何列出方程,是本節(jié)課的核心內(nèi)容。通過這一系列的教學(xué)步驟,學(xué)生不僅能夠?qū)W到一元一次方程的基本知識,還能夠在解決實(shí)際問題的過程中培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模和解決問題的能力。這種實(shí)踐性的教學(xué)方法有助于學(xué)生更好地理解和應(yīng)用數(shù)學(xué)知識。

    (作者單位:江蘇省南京江寧開發(fā)區(qū)學(xué)校)

    編輯:溫雪蓮

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