在創(chuàng)設(shè)“問題情境”中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)
——以“初識(shí)圓錐曲線”一課為例

王文杰

(江蘇省蘇州工業(yè)園區(qū)星海實(shí)驗(yàn)中學(xué) 215021)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》(下稱《標(biāo)準(zhǔn)》)在教學(xué)建議中提出：基于數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的教學(xué)活動(dòng)應(yīng)該把握數(shù)學(xué)的本質(zhì)，創(chuàng)設(shè)合適的教學(xué)情境、提出合適的數(shù)學(xué)問題，引發(fā)學(xué)生思考與交流，形成和發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)[1]．那么教師如何在問題情境中引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題和提出問題、分析問題和解決問題的能力？筆者在一次省外教學(xué)交流活動(dòng)中開設(shè)研討課“初識(shí)圓錐曲線”，對(duì)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中實(shí)踐“問題情境中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)”進(jìn)行了嘗試與探索，現(xiàn)將教學(xué)過程及思考總結(jié)整理如下，與同行分享．

1 教學(xué)分析

關(guān)于本課教學(xué)內(nèi)容，在高中數(shù)學(xué)人教A版選擇性必修第一冊(cè)第三章“圓錐曲線的方程”的前言里，只簡(jiǎn)單敘述了用平面截圓錐面得到圓錐曲線．而本節(jié)課研究的主要目的是要讓學(xué)生感受到“數(shù)學(xué)知識(shí)”與“現(xiàn)實(shí)生活”的緊密聯(lián)系，學(xué)會(huì)看到生活中的數(shù)學(xué)問題，即“學(xué)生會(huì)用數(shù)學(xué)眼光觀察世界”．另外，本課從“感知靜態(tài)的圓錐曲線”到“探索動(dòng)態(tài)的圓錐曲線”，既符合圓錐曲線發(fā)現(xiàn)和研究的歷史，滲透數(shù)學(xué)文化，又遵循學(xué)生認(rèn)知的規(guī)律，知識(shí)研究循序漸進(jìn)．

教學(xué)目標(biāo) (1)通過平面截圓錐面，感知靜態(tài)的圓錐曲線；(2)通過創(chuàng)設(shè)情境，探索動(dòng)態(tài)的圓錐曲線，發(fā)現(xiàn)圓錐曲線的特征，掌握?qǐng)A錐曲線的定義；(3)會(huì)用數(shù)學(xué)眼光觀察世界，感悟數(shù)學(xué)文化，提高發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的能力．

2 教學(xué)過程

2.1 設(shè)置情境，引出問題

情境1 生活中你見過這些圖形嗎(圖1)？

圖1

師：同學(xué)們，我們生活中見過這些圖形嗎？我們看到過哪些特別的曲線？

生(合)：見過……

設(shè)計(jì)意圖借助學(xué)生身邊常見的圖形，激發(fā)研究興趣，逐步引出研究的問題．

情境2 觀察圓錐形酒杯的液面，發(fā)現(xiàn)水平放置時(shí)與微傾時(shí)液面圖形有何變化(圖2)？

圖2

師：請(qǐng)觀察老師手中酒杯的液面，有什么變化？

生：圓錐形酒杯中液面從一個(gè)圓面變成了一個(gè)“扁圓”面．

師：輪廓曲線呢？

生：從圓變成了“扁圓”．

師：那什么是“扁圓”？“扁圓”又具有怎樣的特征呢？

設(shè)計(jì)意圖用生活實(shí)例現(xiàn)場(chǎng)演示，讓學(xué)生“真”觀察，進(jìn)一步激發(fā)探究熱情，并引導(dǎo)學(xué)生要善于觀察生活，善于發(fā)現(xiàn)問題．

情境3 公元前3～4世紀(jì)，不少古希臘學(xué)者在圓錐面中用截面截得不同的曲線．請(qǐng)4～5位同學(xué)合作：觀察課桌上的幾何模型(圖3)，若用一個(gè)平面截該模型，可以得到幾種曲線？

圖3

學(xué)生觀察討論后，教師動(dòng)態(tài)演示結(jié)果(圖4)．

圖4

生：……

師：我們分別稱其為橢圓、雙曲線、拋物線．又因?yàn)檫@三種曲線最早都是由截圓錐面得到的，所以又將其統(tǒng)稱為圓錐曲線．

師：今天我們重點(diǎn)研究圓錐曲線中的橢圓．

設(shè)計(jì)意圖歷史文化與現(xiàn)代科技結(jié)合，讓學(xué)生“知其然”又“知其所以然”．

情境4 模擬點(diǎn)光源投影實(shí)驗(yàn)．

師：如果點(diǎn)光源位于球心的正上方，平面上的投影是個(gè)圓面，輪廓曲線就是個(gè)圓(圖5)；如果點(diǎn)光源稍微偏離正上方一點(diǎn)，平面上的投影是個(gè)橢圓面，輪廓曲線就是個(gè)橢圓(圖6)，其實(shí)就相當(dāng)于情景3中的平面截圓錐面得到的曲線橢圓．

師：類比圓的特征，你能發(fā)現(xiàn)橢圓的特征嗎？

生：圓上的點(diǎn)到切點(diǎn)(圓心)的距離等于定值．橢圓上的點(diǎn)到切點(diǎn)的距離不等于定值．

師：為什么不是定值？

生：因?yàn)榍悬c(diǎn)有點(diǎn)偏在右側(cè)．

師：提醒一下，橢圓圖形好像也有對(duì)稱性的，如果考慮對(duì)稱性，左側(cè)是不是也應(yīng)該有個(gè)切點(diǎn)比較合理？這個(gè)切點(diǎn)怎么得到呢？我們可以在投影的下方放一個(gè)球，這個(gè)球與上方的球一樣，滿足：與投影面相切，與圓錐面相切(圖7)．當(dāng)有兩個(gè)切點(diǎn)后，你的想法是什么？

生：曲線上的點(diǎn)到兩切點(diǎn)的距離之和是否是定值？

師：好．下面我們一起來證明它．如圖7，過點(diǎn)M作圓錐面的一條母線分別交圓O1，圓O2于P，Q兩點(diǎn)，因?yàn)檫^球外一點(diǎn)作球的切線長(zhǎng)相等，所以MF1=MP，MF2=MQ，所以MF1+MF2=MP+MQ=PQ，即MF1+MF2=定值．

師：上面的證明，最早是在1822年由比利時(shí)數(shù)學(xué)家丹德林(1794—1847)發(fā)明的，我們將其稱為丹德林雙球?qū)嶒?yàn)．

設(shè)計(jì)意圖考慮數(shù)學(xué)課堂上實(shí)現(xiàn)點(diǎn)光源投影實(shí)驗(yàn)有一定難度，且為避免教學(xué)重點(diǎn)“本末倒置”，所以簡(jiǎn)化為模擬點(diǎn)光源投影實(shí)驗(yàn)，既讓學(xué)生體會(huì)到生活實(shí)例的熟悉感，又快速引出對(duì)橢圓定義的研究．

2.2 數(shù)學(xué)建構(gòu)，探究問題

問題：類比“圓”的定義，你能給出“橢圓”的定義嗎？

師：平面內(nèi)到一定點(diǎn)O的距離等于定值(定值大于零)的點(diǎn)的軌跡叫作圓，這個(gè)定點(diǎn)叫作圓的圓心，定值叫作圓的半徑．那么橢圓的定義呢？

生(討論后，合作補(bǔ)充完成)：平面內(nèi)到兩定點(diǎn)F1,F2的距離的和等于常數(shù)(大于F1F2)的點(diǎn)的軌跡叫作橢圓，兩個(gè)定點(diǎn)F1,F2叫橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫作橢圓的焦距．

設(shè)計(jì)意圖通過生活中實(shí)例、問題情境的引導(dǎo)，學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題，并將發(fā)現(xiàn)的“數(shù)學(xué)”抽象概括，培養(yǎng)數(shù)學(xué)的核心素養(yǎng)能力．當(dāng)然抽象概括數(shù)學(xué)的概念、性質(zhì)、定理等都是數(shù)學(xué)教學(xué)的難點(diǎn)，學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力不是一蹴而就的，但是也不能因“數(shù)學(xué)抽象”是難點(diǎn)就避而遠(yuǎn)之，讀教材、抄板書是培養(yǎng)不出學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力的．本節(jié)課在數(shù)學(xué)知識(shí)建構(gòu)時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生思考“圓的定義”，教會(huì)學(xué)生用“類比”開放式的思維方式去抽象概括，并以師生合作、生生合作的方式慢慢“打磨”橢圓概念，以此培養(yǎng)能力，提升素養(yǎng)．

2.3 數(shù)學(xué)運(yùn)用，解決問題

例由2～3位同學(xué)合作，試用所給的棉線畫出一個(gè)橢圓．

師：你確定你畫的曲線是“橢圓”嗎？若是，請(qǐng)說明理由；若不是，也請(qǐng)找出問題．

設(shè)計(jì)意圖學(xué)會(huì)運(yùn)用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，生活中處處都是數(shù)學(xué)，學(xué)生拿著一條棉線畫出一個(gè)個(gè)“圓扁不一”的圖形時(shí)，心中已經(jīng)感受到數(shù)學(xué)無限的魅力．當(dāng)然教師會(huì)充分挖掘“圓扁不一”的圖形的價(jià)值，追問學(xué)生：所畫圖形是不是橢圓？如果是，理由呢？如果不是，為什么？進(jìn)而讓學(xué)生看著自己畫的“圓扁不一”的圖形，進(jìn)一步認(rèn)識(shí)橢圓的定義，內(nèi)化數(shù)學(xué)知識(shí)，升華教學(xué)重點(diǎn)．

3 教學(xué)反思

3.1 “問題情境”是學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的窗口

本節(jié)課的四個(gè)問題情境，從靜態(tài)初識(shí)“圓錐曲線”到動(dòng)態(tài)初識(shí)“圓錐曲線”，從生活中的“圓錐曲線”到數(shù)學(xué)圖形中的“圓錐曲線”，從感性地發(fā)現(xiàn)“圓錐曲線”到理性地證明“圓錐曲線”，既符合數(shù)學(xué)歷史上發(fā)現(xiàn)與發(fā)展的客觀實(shí)際，又遵循學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的認(rèn)知規(guī)律．《標(biāo)準(zhǔn)》中指出：“教學(xué)情境和數(shù)學(xué)問題是多樣的、多層次的．教學(xué)情境包括：現(xiàn)實(shí)情境、數(shù)學(xué)情境、科學(xué)情境，每種情境可以分為熟悉的、關(guān)聯(lián)的、綜合的”[1]．所以教師設(shè)計(jì)的問題情境不僅要很好地引出新知，更要在潛移默化間讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)知識(shí)與現(xiàn)實(shí)世界之間的密切聯(lián)系，要簡(jiǎn)潔高效、精彩有效、科學(xué)正確，不能“嘩眾取寵”“喧賓奪主”，也不能“簡(jiǎn)單堆砌”“不知所云”，更不能“歪曲歷史”“違背科學(xué)”；教師設(shè)計(jì)的問題情境要結(jié)合現(xiàn)實(shí)生活、研究數(shù)學(xué)文化、綜合其他學(xué)科的知識(shí)，要洞悉學(xué)生的學(xué)習(xí)“興趣點(diǎn)”、了解學(xué)生知識(shí)的“最近發(fā)展區(qū)”，要把握課堂教學(xué)的方向和目標(biāo)，要讓學(xué)生感到既“遠(yuǎn)”又“近”、既“陌生”又“熟悉”、既“精彩”又“科學(xué)”．只有這樣設(shè)計(jì)的問題情境才是學(xué)生喜愛數(shù)學(xué)、發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的窗口．

3.2 “問題情境”是學(xué)生思考數(shù)學(xué)的引擎

高中數(shù)學(xué)課程學(xué)習(xí)要提高學(xué)生從數(shù)學(xué)角度發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力，這就要求教師設(shè)計(jì)的問題情境是多樣的、多層次的、變化的、靈動(dòng)的．例如：本課師生探究情境2時(shí)，學(xué)生課堂意外生成“扁圓”，教師借力追問：“什么是‘扁圓’？‘扁圓’又具有怎樣的特征呢？”；當(dāng)學(xué)生用棉線畫出“圓扁不一”的圖形時(shí)，教師適時(shí)提問：“你確定你畫的曲線是‘橢圓’嗎？若是，請(qǐng)說明理由；若不是，也請(qǐng)找出問題．”教師要做好學(xué)情分析，了解學(xué)生的興趣點(diǎn)、挖掘?qū)W生身邊的數(shù)學(xué)素材、把握知識(shí)之間的相互聯(lián)系，善用“追問”提好問題，讓學(xué)生在“問”與“答”之間、“思考”與“再思考”之間，學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)眼光觀察世界、用數(shù)學(xué)思維思考世界、用數(shù)學(xué)語言表達(dá)世界，讓學(xué)生在思考和解決問題的過程中，理解數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)，只有這樣設(shè)計(jì)的問題情境才是學(xué)生思考數(shù)學(xué)的引擎、學(xué)生核心素養(yǎng)培育的點(diǎn)火器．