解讀“變”、思考“教”、引導(dǎo)“學(xué)”、研究“考”
——人教A版新教材“導(dǎo)數(shù)”的解讀與思考

盛 姍

(浙江金華第一中學(xué) 321015)

2020年9月，依據(jù)《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》編寫(xiě)的人教A版普通高中數(shù)學(xué)教科書(shū)(以下簡(jiǎn)稱(chēng)“新教材”)正式啟用.新教材在內(nèi)容體系、邏輯結(jié)構(gòu)、例習(xí)題等方面與2007年版普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)(以下簡(jiǎn)稱(chēng)“舊教材”)相比有諸多變化.使用新教材時(shí)，要比較新舊教材，了解它們之間的傳承與變化；要分析它們的差異，對(duì)于修改和增加的內(nèi)容應(yīng)揣摩新教材的編寫(xiě)意圖；及時(shí)轉(zhuǎn)變教學(xué)理念，思考如何進(jìn)行有效教學(xué)，堅(jiān)持“在繼承中前行，在改革中完善”[1]，最終落實(shí)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).本文以選擇性必修第二冊(cè)“導(dǎo)數(shù)”一章為例，進(jìn)行新教材導(dǎo)讀以及新舊教材比較.

1 關(guān)于導(dǎo)數(shù)

1.1 導(dǎo)數(shù)的歷史

·最早的極限思想

早在魏晉時(shí)期，劉徽的“割圓術(shù)”(割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓合體，而無(wú)所失矣)就體現(xiàn)了“逼近”的極限思想，奠定了微積分理論基礎(chǔ).

·導(dǎo)數(shù)的起源

大約在1629年，法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬研究了作曲線(xiàn)的切線(xiàn)和求函數(shù)極值的方法，作切線(xiàn)時(shí)構(gòu)造了差分f(A+E)-f(A)，里面的因子就是我們現(xiàn)在所說(shuō)的導(dǎo)數(shù)f′(A).

·微積分的創(chuàng)立

17世紀(jì)，科學(xué)家們對(duì)物體運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度，求曲線(xiàn)的切線(xiàn)，求函數(shù)的最大(小)值，以及求長(zhǎng)度、面積、重心等四類(lèi)問(wèn)題不斷探索和研究，在此基礎(chǔ)上，牛頓和萊布尼茲各自獨(dú)立地創(chuàng)立了微積分[2].

1.2 導(dǎo)數(shù)的地位

導(dǎo)數(shù)是微積分的核心內(nèi)容之一，是聯(lián)系高等數(shù)學(xué)和初等數(shù)學(xué)的紐帶；它定量地刻畫(huà)了函數(shù)的局部變化，是研究函數(shù)性質(zhì)的基本方法；同時(shí)它又是高中數(shù)學(xué)知識(shí)的一個(gè)重要交匯點(diǎn)，是聯(lián)系多個(gè)章節(jié)內(nèi)容以及解決相應(yīng)問(wèn)題的重要工具.導(dǎo)數(shù)的學(xué)習(xí)有利于提升學(xué)生的思維能力，使其以動(dòng)態(tài)的、變化的、無(wú)限的變量數(shù)學(xué)觀來(lái)研究數(shù)學(xué)，從而也有利于學(xué)好高中其他課程.

2 新舊教材比較與分析

新教材的編寫(xiě)思路是：借助兩個(gè)具體實(shí)例，歸納出導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義之后，給出基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，接著學(xué)習(xí)四則運(yùn)算法則和復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；最后利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最大(小)值等性質(zhì)，感受導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)和解決實(shí)際問(wèn)題中的作用．

2.1 整體比較分析

·教材內(nèi)容的增減

新教材將舊教材第4—7節(jié)(“生活中的優(yōu)化問(wèn)題”“定積分的概念”“微積分基本定理”“定積分的簡(jiǎn)單應(yīng)用”)等內(nèi)容都刪了.另外，新教材增加了“拋物線(xiàn)的切線(xiàn)的斜率”這個(gè)實(shí)例.

·小節(jié)劃分變化

新教材將“導(dǎo)數(shù)的概念”和“導(dǎo)數(shù)的幾何意義”以及“函數(shù)的極值”和“函數(shù)的最大(小)值”分別合并成一節(jié)；又將“四則運(yùn)算法則”和“復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)”分開(kāi)，各自成一節(jié)(具體見(jiàn)表1).

表1 新舊教材關(guān)于“導(dǎo)數(shù)”內(nèi)容的對(duì)比

2.2 新舊教材的微觀比較分析

·對(duì)導(dǎo)數(shù)的概念生成過(guò)程的處理

導(dǎo)數(shù)的概念非常抽象，而導(dǎo)數(shù)的幾何意義涉及一般曲線(xiàn)的切線(xiàn)的概念，對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)是全新的，也是有一定難度的[3].新、舊教材均采用概念形成的方式來(lái)給出導(dǎo)數(shù)概念.所謂概念形成是指通過(guò)對(duì)典型豐富的實(shí)例進(jìn)行反復(fù)感知、比較和抽象，以歸納的方式概括出本質(zhì)屬性而獲得概念的形成[4].但是新、舊教材的處理方式還是有些差異的，具體見(jiàn)圖1和圖2.

圖1 新教材導(dǎo)數(shù)概念生成過(guò)程

圖2 舊教材導(dǎo)數(shù)概念生成過(guò)程

值得指出的是速度問(wèn)題、曲線(xiàn)切線(xiàn)的斜率問(wèn)題是導(dǎo)數(shù)概念產(chǎn)生過(guò)程中兩個(gè)最為經(jīng)典的實(shí)例.這樣改變，既自然地呈現(xiàn)導(dǎo)數(shù)的物理意義和幾何意義，又遵循了新教材主編李龍才副教授提出的“至少讓學(xué)生經(jīng)歷4次由平均變化率過(guò)渡到瞬時(shí)變化率的過(guò)程”，助力學(xué)生初步理解導(dǎo)數(shù)的內(nèi)涵．

·定積分內(nèi)容的刪減

舊教材中有三節(jié)內(nèi)容是關(guān)于定積分的，但是新教材中已經(jīng)不見(jiàn)其蹤影.定積分涉及特別的認(rèn)知方式，現(xiàn)屬大學(xué)一年級(jí)數(shù)學(xué)知識(shí)，在高中階段講，學(xué)生的思維水平不夠；再者定積分屬了解內(nèi)容，并且與高中其他內(nèi)容關(guān)聯(lián)甚少，為了減輕高中學(xué)生的負(fù)擔(dān)，所以刪去.

當(dāng)然，定積分是微積分學(xué)中最基本的概念之一，并不是教材上沒(méi)有就完全只字不提了，可以在“文獻(xiàn)閱讀與數(shù)學(xué)寫(xiě)作”中，組織學(xué)生搜集、閱讀與微積分有關(guān)的資料及其對(duì)人類(lèi)文明的貢獻(xiàn)，從中感受理性精神．

·優(yōu)化問(wèn)題的重組

“生活中的優(yōu)化問(wèn)題”在舊教材中是單獨(dú)成節(jié)的，但是新教材里看不見(jiàn)這個(gè)標(biāo)題了.是真的刪除了嗎？事實(shí)上，里面的典型例題(飲料瓶大小對(duì)公司利潤(rùn)的影響)、重要習(xí)題和思想方法都被保留在了“函數(shù)的最大(小)值”一節(jié)里.這樣重組的意圖是什么？一方面，優(yōu)化問(wèn)題的題材來(lái)源于生活實(shí)際，利用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題是研究導(dǎo)數(shù)的最終意義所在，也是新高考重點(diǎn)考查的能力之一；另一方面，這些優(yōu)化問(wèn)題的本質(zhì)就是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最大(小)值，是最大(小)值的實(shí)際應(yīng)用.

·導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則生成過(guò)程的變化

新教材遵循“實(shí)例探究→舉例驗(yàn)證→歸納猜想→適度求證”的實(shí)施過(guò)程來(lái)組織求導(dǎo)法則的學(xué)習(xí)，過(guò)程自然合理、不突兀.從具體到抽象、從特殊到一般，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律．

·函數(shù)增減快慢的處理

利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)增減的快慢遠(yuǎn)比研究單調(diào)性抽象，這對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)是一個(gè)難點(diǎn).新教材結(jié)合具體函數(shù)，讓學(xué)生體會(huì)導(dǎo)數(shù)絕對(duì)值大小對(duì)函數(shù)圖象增減快慢的影響，從而得出一般結(jié)論；既有形的直觀又有數(shù)的嚴(yán)謹(jǐn)，較之舊教材僅從例題(注水容器水面高度問(wèn)題)圖象進(jìn)行說(shuō)明，學(xué)生更容易理解和掌握.這可能也是新教材刪除該例題的原因.緊接著還安排了新例題，對(duì)上述結(jié)論進(jìn)行應(yīng)用和鞏固，同時(shí)也為后面利用最值證明重要不等式埋下伏筆.

·例題、練習(xí)和習(xí)題的變化

一方面，新、舊教材在例題、練習(xí)和習(xí)題的數(shù)量上都有明顯增加，特別是練習(xí)數(shù)量，是舊教材的兩倍多，反映出新教材更注重教學(xué)的及時(shí)評(píng)價(jià)性.習(xí)題分為“復(fù)習(xí)鞏固”“綜合運(yùn)用”和“拓廣探索”三個(gè)層次，更為精準(zhǔn)地定位習(xí)題的目標(biāo)功能，供不同層次的學(xué)生選擇使用.“復(fù)習(xí)鞏固”和舊教材A組題量相當(dāng)，“綜合運(yùn)用”和“拓廣探索”題量接近舊教材B組的兩倍，反映新教材更重視知識(shí)的綜合運(yùn)用和拓展，注重培養(yǎng)學(xué)生綜合運(yùn)用能力和數(shù)學(xué)探究能力.例題習(xí)題變化如圖3(這里只對(duì)比導(dǎo)數(shù)概念、運(yùn)算和應(yīng)用的內(nèi)容，如果一道題有n個(gè)獨(dú)立小題，則計(jì)數(shù)為n).

圖3 例題、練習(xí)和習(xí)題的變化

另一方面，例題層次更豐富.新教材在各個(gè)知識(shí)節(jié)點(diǎn)后新增基礎(chǔ)例題，體現(xiàn)公式、定理的應(yīng)用，并給出示范，便于學(xué)生模仿和操練.配套練習(xí)數(shù)量的增加與之形成呼應(yīng)，先基礎(chǔ)后應(yīng)用，豐富的例題層次使教材更具使用價(jià)值，也有利于引導(dǎo)學(xué)生重視課本例題和習(xí)題，同時(shí)也體現(xiàn)教材注重?cái)?shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理素養(yǎng)的培養(yǎng).

3 數(shù)據(jù)修正，彰顯新教材的嚴(yán)謹(jǐn)性

·實(shí)例問(wèn)題修正

高臺(tái)跳水是本章一以貫之的例子，在新、舊教材中的地位都是不言而喻的.跳水函數(shù)刻畫(huà)的是運(yùn)動(dòng)員(視為質(zhì)點(diǎn)，新教材以“重心”替代)距離水面的相對(duì)高度與時(shí)間的關(guān)系，符合物理學(xué)中質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)模型和等效替代法思維.修正后的跳水函數(shù)符合運(yùn)動(dòng)員起跳瞬間重心離高臺(tái)(10 m)的高度約1 m(常數(shù)項(xiàng)為11)，也符合最高點(diǎn)時(shí)重心升高了1.176 m，比舊教材中“升高2.156 m”更符合實(shí)際(現(xiàn)實(shí)中一般運(yùn)動(dòng)員跳至最高點(diǎn)時(shí)重心離臺(tái)面高度約為1.3m).

·“思考”欄函數(shù)數(shù)據(jù)的變化

新教材以函數(shù)引導(dǎo)學(xué)生思考復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，并將其設(shè)計(jì)在了例題中.求導(dǎo)后內(nèi)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)沒(méi)有被掩蓋，強(qiáng)化復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則.

4 一點(diǎn)思考

基于上述對(duì)新舊教材“導(dǎo)數(shù)”部分的對(duì)比分析，我們建議在教學(xué)過(guò)程中，教師用好教材“教”，學(xué)生用好教材“學(xué)”，師生用好教材“接軌高考”.

4.1 順應(yīng)教材變化，用好教材“教”

教材是第一教學(xué)資源，是教師實(shí)施教學(xué)的主要材料.教學(xué)中應(yīng)順應(yīng)教材變化，理解教材編寫(xiě)變化的意圖，及時(shí)轉(zhuǎn)變教學(xué)理念.課堂設(shè)計(jì)可以考慮問(wèn)題鏈形式，引導(dǎo)的成分可以多一些；教學(xué)方式也可以適當(dāng)轉(zhuǎn)變，讓學(xué)生思考的時(shí)間多一些.特別是導(dǎo)數(shù)概念的教學(xué)，課堂上盡量讓學(xué)生充分地經(jīng)歷4次“逼近”過(guò)程，讓學(xué)生參與概念產(chǎn)生的整個(gè)過(guò)程，追求概念的自然生成，培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象和數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).

借助信息技術(shù)工具，助力數(shù)學(xué)課堂教學(xué).高中數(shù)學(xué)大部分是動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)，教學(xué)過(guò)程中盡可能多借助軟件展示相關(guān)內(nèi)容的運(yùn)動(dòng)變化過(guò)程，幫助學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象能力.例如本章中曲線(xiàn)的切線(xiàn)問(wèn)題，教學(xué)過(guò)程中可以利用幾何畫(huà)板或者GeoGebra演示割線(xiàn)到切線(xiàn)的趨近過(guò)程，體會(huì)極限思想.

樹(shù)立用教材教而不僅僅是教教材的意識(shí).在教學(xué)中，以教材為藍(lán)本，適時(shí)拓展教學(xué)內(nèi)容.例如借助信息技術(shù)工具體會(huì)切線(xiàn)時(shí)，建議增加體驗(yàn)三次曲線(xiàn)f(x)=x3在點(diǎn)P1(0，0)和點(diǎn)P2(1，1)處的切線(xiàn)，讓學(xué)生直觀感受新定義下切線(xiàn)的各種情形——切線(xiàn)不是只能“切”過(guò)曲線(xiàn)，還可以是穿過(guò)曲線(xiàn)的；切線(xiàn)與曲線(xiàn)的公共點(diǎn)可以是多個(gè)的.把知識(shí)橫向延伸、讓思維縱向發(fā)展，使素養(yǎng)無(wú)聲地滲透.

4.2 順應(yīng)教材變化，用好教材“學(xué)”

引導(dǎo)學(xué)生采用多樣化的學(xué)習(xí)方式.學(xué)生課前的預(yù)習(xí)及課后的梳理都離不開(kāi)教材，教材的可讀性就顯得很重要了.新教材增加了小節(jié)導(dǎo)言和一些過(guò)渡式語(yǔ)句，有助于學(xué)生明晰本節(jié)學(xué)習(xí)的必要性及研究的路徑與方法；設(shè)置“探究”“觀察”“思考”欄，給學(xué)生自學(xué)研究指明方向；還有很多旁白助力思考，“探究與發(fā)現(xiàn)”開(kāi)拓學(xué)生視野.這些變化都體現(xiàn)新教材更適合學(xué)生自己閱讀、自學(xué)和檢測(cè).引導(dǎo)學(xué)生好好研讀教材，包括章引言和小結(jié)等，仔細(xì)思考教材中的每一個(gè)問(wèn)題[5]，用好教材“學(xué)”.

4.3 順應(yīng)教材變化，思考高考走向

教材是高考命題的主要依據(jù)，我們需要重視新教材傳達(dá)出來(lái)的新信息.歷年高考的導(dǎo)數(shù)大題中，利用零點(diǎn)存在性定理解決較為復(fù)雜的函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題時(shí)，尋找使函數(shù)值異號(hào)的兩個(gè)端點(diǎn)往往是一個(gè)難點(diǎn).對(duì)于“究竟能不能用變化趨勢(shì)來(lái)刻畫(huà)”一直存有爭(zhēng)議.教材新增例題的解答過(guò)程就是用“趨近”來(lái)刻畫(huà)“變化趨勢(shì)”，從而畫(huà)出函數(shù)的大致圖象.這種“趨近”刻畫(huà)，一方面和新教材全面滲透的“運(yùn)動(dòng)變化觀點(diǎn)”與極限思想相吻合；另一方面也體現(xiàn)新教材在指導(dǎo)學(xué)生解決問(wèn)題方面實(shí)操性更強(qiáng)，可有效幫助學(xué)生突破難點(diǎn).

復(fù)雜的導(dǎo)數(shù)不等式，往往需要利用與對(duì)數(shù)和指數(shù)有關(guān)的重要不等式進(jìn)行放縮.重要不等式以往只出現(xiàn)在習(xí)題中，而在新教材中它們除了在習(xí)題中仍被保留了下來(lái)外，在例題中也可見(jiàn)到它們的影子，而且安排的篇幅還不小.在“單調(diào)性”例題中得到不等式，又在學(xué)習(xí)了“最值”后給出了證明.這些都無(wú)疑在釋放一個(gè)信號(hào)：重視教材，充分挖掘教材的價(jià)值.