在問題探究中“生長(zhǎng)數(shù)學(xué)”
——以《一次函數(shù)》期末復(fù)習(xí)課為例

代 影

(江蘇師范大學(xué)附屬實(shí)驗(yàn)學(xué)校，江蘇 徐州 221011)

卜以樓老師提出的“生長(zhǎng)數(shù)學(xué)”理論，從凸顯教育價(jià)值、塑造核心素養(yǎng)、營(yíng)造思維必然、創(chuàng)設(shè)意識(shí)喚醒等多方面，提出了數(shù)學(xué)系統(tǒng)教學(xué)與素質(zhì)思維培養(yǎng)的重要性，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)課堂實(shí)踐應(yīng)找準(zhǔn)知識(shí)生長(zhǎng)點(diǎn)，選好生長(zhǎng)路徑，教給學(xué)生具有生長(zhǎng)力的數(shù)學(xué).下面以蘇科版教材《一次函數(shù)》期末復(fù)習(xí)課為例，借助問題引導(dǎo)教學(xué)手段，探討一下課堂教學(xué)如何探尋數(shù)學(xué)知識(shí)生長(zhǎng)點(diǎn)，引領(lǐng)學(xué)生構(gòu)建知識(shí)結(jié)構(gòu)體系.

1 “生長(zhǎng)數(shù)學(xué)”下的問題提出

《一次函數(shù)》是初中階段“數(shù)與代數(shù)”中的重要教學(xué)內(nèi)容.它既是學(xué)生接觸“函數(shù)”的起始，也是后續(xù)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ).本節(jié)授課對(duì)象為初中八年級(jí)學(xué)生，所用教材為蘇科版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)教科書.本節(jié)為期末復(fù)習(xí)課，倘若在教學(xué)中僅限于單元內(nèi)容回顧，拘囿于教材章節(jié)編設(shè)框限，則不利于學(xué)生整體知識(shí)體系構(gòu)建，更不利于創(chuàng)新思維與數(shù)學(xué)能力培養(yǎng).筆者在本課執(zhí)教過程中進(jìn)行了以下思考：《一次函數(shù)》作為初中“數(shù)與代數(shù)”的重要銜接內(nèi)容，如何向內(nèi)充分發(fā)掘其內(nèi)涵、向外充分拓展其外延，讓學(xué)生在知識(shí)生長(zhǎng)中自然厘清其內(nèi)在關(guān)聯(lián)，自覺建構(gòu)完整數(shù)學(xué)知識(shí)體系，在學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)的同時(shí)有助于其數(shù)學(xué)素養(yǎng)發(fā)展.

2 “生長(zhǎng)數(shù)學(xué)”下的教學(xué)研判

2.1 學(xué)情分析

學(xué)生學(xué)習(xí)本章后已初步掌握了一次函數(shù)概念、性質(zhì)與運(yùn)用等相關(guān)知識(shí)，能根據(jù)函數(shù)關(guān)系畫出圖像或根據(jù)圖像確定函數(shù)解析式，對(duì)具體問題中函數(shù)變量之間的關(guān)系也具備初步分析能力.由于初次接觸函數(shù)，學(xué)生對(duì)函數(shù)的理解程度有待加強(qiáng).對(duì)一次函數(shù)所蘊(yùn)含的“由數(shù)到形”或“從形到數(shù)”的數(shù)學(xué)思維認(rèn)知有待深入.

2.2 目標(biāo)設(shè)定

臨近學(xué)期結(jié)束，學(xué)生章節(jié)學(xué)習(xí)情況尚可，但期末復(fù)習(xí)需對(duì)全冊(cè)數(shù)學(xué)知識(shí)融會(huì)貫通，將全冊(cè)數(shù)學(xué)知識(shí)以整體化視角進(jìn)行綜合構(gòu)建.基于上述考慮，筆者對(duì)本節(jié)復(fù)習(xí)教學(xué)設(shè)定如下目標(biāo).

2.2.1 教學(xué)目標(biāo)設(shè)定

(1)了解一次函數(shù)的形式、圖像及性質(zhì)，能靈活運(yùn)用一次函數(shù)解決數(shù)學(xué)問題.

(2)借助具體數(shù)學(xué)問題，進(jìn)一步理解“分類”“數(shù)形結(jié)合”“幾何直觀”等數(shù)學(xué)思想方法，提升學(xué)生數(shù)學(xué)綜合能力.

(3)對(duì)本章涵蓋的數(shù)學(xué)知識(shí)與方法進(jìn)行系統(tǒng)梳理，使其結(jié)構(gòu)化，發(fā)展數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn).

2.2.2 本課教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)

重點(diǎn)：一次函數(shù)的數(shù)形結(jié)合應(yīng)用.

難點(diǎn)：章節(jié)知識(shí)體系構(gòu)建，理解分類數(shù)學(xué)思想，用函數(shù)與方程解決數(shù)學(xué)問題.

3 “生長(zhǎng)數(shù)學(xué)”下的教學(xué)設(shè)計(jì)

3.1 以問題建構(gòu)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)

師：臨近期末，本節(jié)課我們一起來(lái)復(fù)習(xí)一次函數(shù).復(fù)習(xí)之前，通過一道題讓大家回顧一下一次函數(shù).

問題1下列函數(shù)：(1)y=x；(2)y=2x-1；(3)y=1；(4)y=1002-3x；(5)y=x2-1中，是一次函數(shù)的有( ).

A.4個(gè) B.3個(gè) C.2個(gè) D.1個(gè)

生1：選項(xiàng)(3)y=1，沒有自變量x，選項(xiàng)(5)y=x2-1，x是二次冪，只有(1)(2)(4)符合一元一次函數(shù)概念的要求.

師：學(xué)生1回答得很好.借助這道題，大家回顧一下什么是一次函數(shù)？

生：(集體思考，回顧章節(jié)知識(shí))

【設(shè)計(jì)意圖】引導(dǎo)學(xué)生回顧函數(shù)、變量、一次函數(shù)的概念與內(nèi)涵，為生成數(shù)學(xué)奠定知識(shí)基礎(chǔ).

問題2已知點(diǎn)A(0,6)與點(diǎn)B(8,0)是一次函數(shù)y=kx+b圖像上的點(diǎn)，試求出這個(gè)一次函數(shù)的具體表達(dá)式.

師：回答得很好.大家能否畫出這個(gè)一次函數(shù)的圖像.

【設(shè)計(jì)意圖】引導(dǎo)學(xué)生回憶一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)的圖像及性質(zhì)，將一次函數(shù)與其特例正比例函數(shù)關(guān)聯(lián)起來(lái)，引發(fā)學(xué)生數(shù)形結(jié)合地思考.

師：非常好！很好地運(yùn)用了“一元二次方程與一次函數(shù)”的關(guān)系.還有其他解法嗎？

生5：我覺得可以用畫圖解決.(上臺(tái)示意，見圖1).

圖1

師：生5給出了另外一個(gè)解題思路：圖像法.大家還記得我們?cè)趯W(xué)習(xí)二元一次方程組與一次函數(shù)的關(guān)系時(shí)，提到用一次函數(shù)來(lái)解決二元一次方程組的話，通常采用什么方法？

生：圖像法.

【設(shè)計(jì)意圖】啟發(fā)學(xué)生對(duì)章節(jié)內(nèi)容進(jìn)行系統(tǒng)回顧與整理，幫助學(xué)生形成數(shù)學(xué)知識(shí)系統(tǒng).

3.2 以問題生長(zhǎng)數(shù)學(xué)思維

生6：可以用兩點(diǎn)間距離公式計(jì)算，答案為10.

師：很好，兩點(diǎn)距離公式可求平面直角坐標(biāo)系內(nèi)任意兩點(diǎn)間的距離.還有什么其他解法嗎？

生7：我覺得可以用圖像法求解，根據(jù)題目條件，可求出A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為(0,6)、(8,0).畫圖(見圖1)可知，△AOB為直角三角形，根據(jù)勾股定理，可計(jì)算出斜邊AB=10.

生：(紛紛舉手，在臺(tái)下喊)用圖像法，用等積法.

【設(shè)計(jì)意圖】助函數(shù)表達(dá)式建構(gòu)圖像，培養(yǎng)學(xué)生“數(shù)形結(jié)合”解題思維與習(xí)慣，是一次函數(shù)教學(xué)的重要任務(wù).

問題5假設(shè)一次函數(shù)y=kx+b中自變量x的取值范圍為-2≤x≤6，其對(duì)應(yīng)的函數(shù)值范圍為-11≤y≤9.求該函數(shù)的解析式.

師：大家覺得生8的解法怎么樣？有沒有什么補(bǔ)充？

生9：老師我認(rèn)為他的思考不全面，他只考慮了函數(shù)值y隨x變大而變大的情況，即k>0的情況；而y隨x變大而減少，即k<0的情況他沒有考慮到.

師：應(yīng)該怎么做？

師：這種解題思維也被稱作為“分類”思想.布置一道課后思考題，想想會(huì)有幾種情況出現(xiàn)，考查一下大家對(duì)“分類”思想的應(yīng)用.

問題6直線y=4x+6與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B.過點(diǎn)B作直線BP與x軸交于點(diǎn)P，且使OP=2OA，求△ABP的面積.

【設(shè)計(jì)意圖】對(duì)一次函數(shù)系統(tǒng)知識(shí)的深化與構(gòu)建，同時(shí)也引出了對(duì)數(shù)學(xué)解題策略中“分類思想”的教學(xué)滲透，體現(xiàn)了生成數(shù)學(xué)對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思維培養(yǎng)的重視.

卜以樓老師指出：“生長(zhǎng)數(shù)學(xué)”是前后一致、邏輯連貫、一以貫之.“生長(zhǎng)數(shù)學(xué)”理念的運(yùn)用促使學(xué)生將過往學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)與新學(xué)知識(shí)應(yīng)用融于一體，體現(xiàn)了對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)整體知識(shí)的梳理與體系建構(gòu)，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維與能力生長(zhǎng)創(chuàng)設(shè)了積極條件.借助復(fù)習(xí)課形式，如何體現(xiàn)“生長(zhǎng)數(shù)學(xué)”綱舉目張、前后貫通等教學(xué)要求，促使學(xué)生學(xué)習(xí)能力與素質(zhì)得以全面提升，值得每位教師深刻思考.