2022年清華大學(xué)強(qiáng)基計(jì)劃數(shù)學(xué)試題(部分)及其詳解

甘志國

(北京豐臺二中 100071)

2022年清華大學(xué)強(qiáng)基計(jì)劃數(shù)學(xué)測試已于2022年6月28日舉行，試題共35道，全部是不定項(xiàng)選擇題.本文回憶出了其中的12道題(并且大部分題的選項(xiàng)也不完整)，還給出了其詳細(xì)解答.

按本文列出的順序：第1,6題均是抽象函數(shù)問題；第2，9題均是不等式問題，其中第2題涉及柯西不等式與均值不等式；第3,4題均是復(fù)數(shù)問題；第5,7,8,10,11,12題分別是立體幾何中的三視圖問題、排列組合問題、初等數(shù)論問題、考查定積分的定義、平面解析幾何中的四葉玫瑰線問題、平面向量問題中的數(shù)量積.其中第2,3,6題在全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽預(yù)賽試題(下簡稱預(yù)賽試題)中均出現(xiàn)過類題；第6題在預(yù)賽試題中還出現(xiàn)過兩次類題，但這三道題中的抽象函數(shù)均不存在(即都是錯(cuò)題).相對于高考數(shù)學(xué)試題，這份強(qiáng)基計(jì)劃數(shù)學(xué)試題新穎，整體難度適中.

題1若運(yùn)算“&”滿足x&(y&z)=x&y+z,x&x=0，則2000&2002=____.

解法1 在題設(shè)中令x=y=z=2000，可得

2000&(2000&2000)=2000&2000+2000=0+2000=2000，

2000&(2000&2000)=2000&0.

所以2000&0=2000.

在題設(shè)中令x=2000,y=z=2022，可得

2000&(2022&2022)=2000&2022+2022,

2000&(2022&2022)=2000&0=2000.

所以2000&2022=2000-2022=-22.

解法2 在題設(shè)中令y=z=x，可得

x&(x&x)=x&x+x=0+x=x,

x&(x&x)=x&0.

所以x&0=x.

在題設(shè)中令z=y，可得

x&(y&y)=x&y+y,

x&(y&y)=x&0=x.

所以x&y=x-y.

還可驗(yàn)證x&y=x-y滿足題設(shè).

所以2000&2022=2000-2022=-22.

題2若a2+b2+c2+d2+e2=1，則|a-b|+|b-c|+|c-d|+|d-e|+|e-a|的最大值是____.

解法1 因?yàn)?是奇數(shù)，所以在a,b,c,d,e,a中必有兩個(gè)相鄰的數(shù)同號(包括0)，可不妨設(shè)ea≥0同號，可不妨再設(shè)a≥e≥0(若a≤e≤0，把下面解答中的a,b,c,d,e分別換成-a,-b,-c,-d,-e，即可得到相應(yīng)解答).

因?yàn)槭乔笞畲笾?，因而可只考慮a≥0,b≤0,c≥0,d≤0,e≥0的情形，得

由柯西不等式，可得

所以最大值是4.

解法2 同解法1知，可只考慮a≥0,b≤0,c≥0,d≤0,e≥0,a≥e的情形，得

|a-b|+|b-c|+|c-d|+|d-e|+|e-a|

=a-b+c-b+c-d+e-d+a-e

=2(|a|+|b|+|c|+|d|).

由柯西不等式，可得

(1×|a|+1×|b|+1×|c|+1×|d|)2≤(12+12+12+12)(|a|2+|b|2+|c|2+|d|2)≤4(a2+b2+c2+d2+e2)=4.

所以|a|+|b|+|c|+|d|≤2,當(dāng)且僅當(dāng)|a|=|b|=|c|=|d|,e=0時(shí)取等號.

所以最大值是4.

注本題與2022年全國中學(xué)生數(shù)學(xué)奧林匹克競賽新疆賽區(qū)選拔賽第11題如出一轍，這道題是：

題3 若復(fù)數(shù)z滿足|z|=1，則|(z-2)(z+1)2|的最大值是____.

解法1 可設(shè)z=cosθ+isinθ，得

|(z-2)(z+1)2|2

=|(cosθ-2+isinθ)(cosθ+1+isinθ)2|2

=|(cosθ-2+isinθ)(2cos2θ+2cosθ

+2isinθ(cosθ+1)|2

=4|2cos3θ-3cosθ-1+isinθ(2cos2θ-2)|2

=4[(2cos3θ-3cosθ-1)2+(1-

cos2θ)(2cos2θ-2)2]

=4(-4cos3θ-3cos2θ+6cosθ+5).

再設(shè)函數(shù)f(x)=-4x3-3x2+6x+5(-1≤x≤1)，可求得

f′(x)=-6(x+1)(2x-1)(-1≤x≤1).

解法2 可設(shè)z=a+bi(a,b∈[-1,1],a2+b2=1)，得

|(z-2)(z+1)2|2=|z-2|2·|z+1|4

=[(a-2)2+b2][(a+1)2+b2]2

=(5-4a)(2a+2)(2a+2)

|(z-2)(z+1)2|2=|z-2|2·|(z+1)2|2

再由三元均值不等式，可得

注本題源于2017年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽遼寧賽區(qū)預(yù)賽第7題“已知復(fù)數(shù)z滿足|z|=1，則|z3-3z-2|的最大值為____.”

題4在復(fù)平面上，復(fù)數(shù)z1,1+i,1+ai(a∈R)對應(yīng)的點(diǎn)分別是A,B,C，點(diǎn)A在線段BC上運(yùn)動，復(fù)數(shù)z2滿足|z2|=1.若復(fù)數(shù)z1+z2對應(yīng)的點(diǎn)組成的圖形的面積是π+4，則a可能的取值是____.

解析由題設(shè)“線段BC”可得a≠1.

(1)當(dāng)a<1時(shí)，可設(shè)z1=1+bi(a≤b≤1),z2=cosθ+isinθ，得

z1+z2=1+cosθ+(b+sinθ)i(a≤b≤1).

再設(shè)z1+z2=x+yi(x,y∈R),a<1，可得

進(jìn)而可得復(fù)數(shù)z1+z2對應(yīng)的點(diǎn)(x,y)組成的圖形即動圓(x-1)2+(y-b)2=1(a≤b≤1).

當(dāng)a=-1時(shí)，復(fù)數(shù)z1+z2對應(yīng)的點(diǎn)(x,y)組成的圖形即圖1中的陰影部分，其面積是π·12+22=π+4；當(dāng)a<-1時(shí)，復(fù)數(shù)z1+z2對應(yīng)的點(diǎn)(x,y)組成的圖形的面積大于π+4；當(dāng)-1

圖1

(2)當(dāng)a>1時(shí)，同理可求得a=3.

綜上所述，可得所求a可能的取值是-1或3.

題5若某幾何體的三視圖如圖2所示(圖2中不是頂點(diǎn)的點(diǎn)都是所在線段的中點(diǎn)，圖中最長的線段長都是2)，則該幾何體的體積是( ).

圖2

圖3

還可對l用數(shù)學(xué)歸納法證得

注在以前的全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽預(yù)賽試題中兩次出現(xiàn)過該題的類題：

參考答案C.

實(shí)際上，由下面的定理可知上面三道題均是錯(cuò)題：因?yàn)闈M足題設(shè)的抽象函數(shù)f(x)均不存在.

下面對k(k∈N)用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)x∈[nk(2-n),0]時(shí)，f(x)=0.

(1)當(dāng)x∈[2-n,0]時(shí)，1-x∈[1,n-1]，所以f(1-x)=1，再由①可得f(x)=0.故k=0時(shí)成立.

(2)假設(shè)k=l(l是某個(gè)自然數(shù))時(shí)成立：當(dāng)x∈[nl(2-n),0]時(shí)，f(x)=0.

所以當(dāng)x∈[nk(2-n),0]時(shí)，f(x)=0.

所以，當(dāng)x≥1時(shí)，1-x≤0，得f(1-x)=0，再由①得f(x)=1.

我們在編擬抽象函數(shù)問題時(shí)，一定要注意函數(shù)的存在性.

題7用藍(lán)色和紅色給一排10個(gè)方格涂色，要求至多有兩個(gè)藍(lán)色方格相鄰的涂法種數(shù)是( ).

A.504 B.505 C.506 D.507

(7)藍(lán)色方格數(shù)是8的涂法種數(shù)是0.先涂出2個(gè)紅色方格，它們形成3個(gè)空隙，這3個(gè)空隙放8個(gè)藍(lán)色方格，必有3個(gè)藍(lán)色方格相鄰，不滿足題設(shè).

同理，可得藍(lán)色方格數(shù)是9,10的涂法種數(shù)均是0.

綜上所述，可得所求答案是56+112+161+126+45+4+0+0+0=504.

所以當(dāng)且僅當(dāng)n=6時(shí)，(a2+b2+c2)min=192+62+302=1297.

題9若a2+ab+b2=3(a,b∈R)，則a2-ab+b2的最大值與最小值分別是____.

解法1 由題設(shè)，可得

3=a2+ab+b2≥3ab,ab≤1，a2-ab+b2=(a2+ab+b2)-2ab=3-2ab≥1，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=±1時(shí)取等號.

還可得3=a2+ab+b2=(a+b)2-ab≥-ab,

ab≥-3,

a2-ab+b2=(a2+ab+b2)-2ab=3-2ab≤9,

所以a2-ab+b2的最大值與最小值分別是9,1.

解法2 可得題設(shè)即

所以a2-ab+b2=(a2+ab+b2)-2ab

=3-2ab

進(jìn)而可得a2-ab+b2的最大值與最小值分別是9,1.

解析由定積分的定義，可得

題11 對于曲線C:(x2+y2)3=16x2y2，有( ).

A.曲線C僅過原點(diǎn)這一個(gè)整點(diǎn)

B.曲線C上的點(diǎn)與原點(diǎn)距離的最大值是2

C.曲線C圍成圖形的面積大于4π

D.曲線C是軸對稱圖形

解析由題設(shè)，可得曲線C上的點(diǎn)(x,y)滿足

①

所以選項(xiàng)B正確.還可得曲線C上的點(diǎn)均在以原點(diǎn)為圓心、2為半徑的圓內(nèi)或圓上，所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤.

可得四條直線y=±x,x=0,y=0均是曲線C的對稱軸，所以選項(xiàng)D正確.

注題中的曲線C即四葉玫瑰線(如圖4所示).

圖4

解法2 我們先證明向量的回路恒等式