幾何與向量兩法齊飛 立體問題迎刃而解
——談一道立體幾何試題的解法以及啟示

唐 洵

(福建省福清第三中學(xué) 350000)

1 問題呈現(xiàn)

圖1

(1)證明:DB⊥平面AEF；

(2)求二面角A-DB-C的大小．

2 命題意圖

本題是一道立體幾何的解答題，滿分12分，其中第(1)問5分，第(2)問7分，具體考查如下：

知識結(jié)構(gòu)層面：考查空間中線面的位置關(guān)系、二面角的求法、向量方法在立體幾何問題中的使用.

基本能力層面：考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力與空間想象能力.

核心素養(yǎng)層面：考查直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng).

數(shù)學(xué)思想層面：考查了數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化、函數(shù)與方程思想.

四翼評價層面：體現(xiàn)了“四翼”中的基礎(chǔ)性與綜合性.

3 解法探究

3.1 第(1)問解析

解法1因?yàn)镈A⊥平面ABC，且BC?平面ABC，所以DA⊥BC.

所以AC2+BC2=AB2.

所以AC⊥BC.

因?yàn)镈A∩AC=A，DA，AC?平面DAC，

所以BC⊥平面DAC.

因?yàn)锳E?平面DAC，

所以BC⊥AE．

又因?yàn)镈A=AC，E是CD的中點(diǎn)，

所以DC⊥AE.

又BC∩DC=C，所以AE⊥平面DBC．

因?yàn)镈B?平面DBC，

所以DB⊥AE.

因?yàn)镋F⊥DB,EF∩AE=E，

所以DB⊥平面AEF．

解法2 如圖2，取BC的中點(diǎn)G，連接AE,EG.

因?yàn)镈A⊥底面ABC，AB,AC?平面ABC，

所以DA⊥AC，DA⊥AB.

因?yàn)锳C2+BC2=AB2，

所以AC⊥BC.

所以AE2+EG2=AG2.

所以AE⊥EG.

因?yàn)锽D//EG，故AE⊥DB.

因?yàn)镋F⊥DB，AE∩EF=E，

所以DB⊥平面AEF．

圖2

解法3 因?yàn)镈A⊥底面ABC，AB,AC?平面ABC，

所以DA⊥AC，DA⊥AB.

所以BC2+CD2=BD2.

所以BC⊥CD.

所以AF2+DF2=AD2.

所以AF⊥BD.

因?yàn)镋F⊥DB，AE∩EF=E，

所以DB⊥平面AEF．

解法4 因?yàn)镈A⊥平面ABC，且BC?平面ABC，

所以DA⊥BC.

所以AC2+BC2=AB2.

所以AC⊥BC.

因?yàn)镈A∩AC=A，

所以BC⊥平面DAC.

因?yàn)镈A∩AC=A，

所以BC⊥平面ADE.

因?yàn)锽C?平面BCD，

所以平面BCD⊥平面ADC.

因?yàn)镈A=AC，E是CD的中點(diǎn)，

所以DC⊥AE.

因?yàn)槠矫鍮CD∩平面ACD=CD，AE?平面ADC，所以AE⊥平面DBC.

因?yàn)镈B?平面DBC，

所以DB⊥AE.

因?yàn)镋F⊥DB,EF∩AE=E，

所以DB⊥平面AEF．

解法5 因?yàn)镈A⊥平面ABC，且BC?平面ABC，所以DA⊥BC.

所以AC2+BC2=AB2.

所以AC⊥BC.

因?yàn)镈A∩AC=A，

所以BC⊥平面DAC.

因?yàn)锳E?平面DAC，

所以BC⊥AE．

又因?yàn)镈A=AC，E是CD的中點(diǎn)，

所以DC⊥AE.

又BC∩DC=C，所以AE⊥平面DBC．

解法6因?yàn)镈A⊥平面ABC，且BC?平面ABC，所以DA⊥BC.

所以AC2+BC2=AB2.

所以AC⊥BC.

因?yàn)镈A∩AC=A，

所以BC⊥平面DAC.

過點(diǎn)A作AG∥BC，所以AG⊥平面DAC.

所以DB⊥AE.

因?yàn)镈B⊥EF，且AE∩EF=E，

所以DB⊥平面AEF.

圖3

解法7因?yàn)镈A⊥平面ABC，且BC?平面ABC，所以DA⊥BC.

所以AC2+BC2=AB2.

所以AC⊥BC.

因?yàn)镈A∩AC=A，

所以BC⊥平面DAC.

過點(diǎn)A作AG∥BC，所以AG⊥平面DAC.

因?yàn)辄c(diǎn)F在DB上，所以存在實(shí)數(shù)k，使得

所以x=k,y=k,z=1-k，即F(k,k,1-k).

設(shè)平面AEF的法向量為m=(x,y,z)，

所以DB⊥平面AEF.

3.2 第(2)問解析

解法1過點(diǎn)A作AG∥BC，由(1)知BC⊥平面DAC，所以AG⊥平面DAC．

設(shè)平面ADB的法向量m=(x1,y1,z1)，

令y1=1，則m=(-1,1,0).

設(shè)平面DBC的法向量為n=(x2,y2,z2)，

令x2=1，則n=(1,0,1)．

解法2 因?yàn)镋F⊥DB，由(1)得DB⊥AF.

所以∠AFE為二面角A-DB-C的平面角.

因?yàn)辄c(diǎn)F在DB上，所以存在實(shí)數(shù)k，使得

所以x=k,y=k,z=1-k.

即F(k,k,1-k).

所以k+k+(1-k)×(-1)=0.

解法3因?yàn)镋F⊥DB，由(1)得DB⊥AF.

所以∠AFE為二面角A-DB-C的平面角.

因?yàn)镈A⊥底面ABC，

所以DA⊥AC,DA⊥AB.

由(1)知，AE⊥平面DBC.

因?yàn)镋F?平面DBC，所以AE⊥EF.

解法4 如圖4，過點(diǎn)C作CG⊥BD，垂足為點(diǎn)G，則直線CG與AF的所成角θ即為二面角A-DB-C的平面角.

圖4

解法5(射影面積法)如圖5，取AB的中點(diǎn)G，連接CG,DG，

因?yàn)镃A=CB，故CG⊥AB.

因?yàn)镈A⊥平面ABC，CG?平面ABC，

故DA⊥CG.

因?yàn)镈A∩AB=A，故CG⊥平面ABD.

故△CBD在平面ABD上的射影面積即為S△BDG.

因?yàn)槎娼茿-DB-C為銳角，

故二面角A-DB-C的余弦值

圖5

記A-DB-C的大小為θ，由三面角余弦定理可知，

4 教學(xué)啟示

作為老師，應(yīng)當(dāng)積極歸納高考真題中的圖形特征，幫助學(xué)生培養(yǎng)空間想象能力.挑選?？嫉目臻g幾何體模型，讓學(xué)生通過“眼觀”，記住空間圖形的結(jié)構(gòu)特征；讓學(xué)生通過“手繪”，增強(qiáng)空間想象能力；最后能通過“腦補(bǔ)”，在頭腦中形成空間幾何體.從某種意義上來說，學(xué)生繪制的幾何體的美觀程度，在一定層面上反映了該生空間想象能力的好壞.

注重基本定理的使用，關(guān)注問題求解的細(xì)節(jié)；對定理的記憶，必須做到“定理文字”“數(shù)學(xué)語言”“圖形表示”三管齊下；對定理的應(yīng)用，既必須“滴水不漏”，也不能“畫蛇添足”，如果教師能夠解決證明過程中的漏條件與添?xiàng)l件的問題，那么得分率的提高將一馬平川.

跳步易踩坑，踏實(shí)得滿分，建系常規(guī)化，坐標(biāo)逐個求；利用向量法求解坐標(biāo)時，學(xué)生容易跳步走，特別是對于中點(diǎn)、重心等點(diǎn)坐標(biāo)，喜歡通過觀察圖形，一步寫出，這樣的結(jié)果，對則全盤皆活，錯則滿盤皆輸，教師應(yīng)當(dāng)避免這樣的情況發(fā)生，引導(dǎo)學(xué)生腳踏實(shí)地，步步為營，特別是動點(diǎn)問題，對動點(diǎn)的坐標(biāo)切不可一步到位.

回歸課本重基礎(chǔ)，一題多變顯神通.除了關(guān)注高考的圖形之外，課本也是很好的命題素材，事實(shí)上，本題來自人教A版選修2-1數(shù)學(xué)P109頁例題4的改編.