聚焦“指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)”常見(jiàn)解題誤區(qū)

文麗娜

(甘肅省隴南市康縣第一中學(xué) 746500)

本文對(duì)指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的常見(jiàn)解題誤區(qū)加以歸類(lèi)解析，旨在幫助同學(xué)們?nèi)鏈?zhǔn)確地理解、認(rèn)識(shí)指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，有利于積累解題經(jīng)驗(yàn)，避免一些常見(jiàn)差錯(cuò)的產(chǎn)生，進(jìn)而提高處理此類(lèi)問(wèn)題的技能技巧.

1 未注意對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域而致錯(cuò)

反思一般地，求解與對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax有關(guān)的函數(shù)的定義域和單調(diào)區(qū)間時(shí)，應(yīng)優(yōu)先考慮其本身的約束條件x>0；否則，極易出錯(cuò).

2 未注意指數(shù)函數(shù)的值恒大于零而致錯(cuò)

例2已知函數(shù)y=9x+2·3x+2,x∈R，求函數(shù)的值域.

錯(cuò)解令t=3x，則因?yàn)閥=t2+2t+2=(t+1)2+1≥1，故所求函數(shù)的值域?yàn)閇1,+∞).

剖析錯(cuò)解的根源在于：誤認(rèn)為t∈R，從而(t+1)2+1≥1.而實(shí)際上，因?yàn)楫?dāng)x∈R時(shí)，t=3x>0，所以(t+1)2+1>2.

正解令t=3x，則因?yàn)閠>0，所以y=t2+2t+2=(t+1)2+1>2，故所求函數(shù)的值域?yàn)?2,+∞).

反思一般地，換元之后，要注意分析新元的取值范圍.特別地，若a>0,x∈R，則必有ax>0.

3 未注意函數(shù)的圖象有漸近線(xiàn)而致錯(cuò)

例3 設(shè)0

錯(cuò)解如圖1，在同一坐標(biāo)系內(nèi)分別作出曲線(xiàn)y=|ax-1|和直線(xiàn)y=2，則因?yàn)榍€(xiàn)與直線(xiàn)有2個(gè)不同的交點(diǎn)，而交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是原方程的實(shí)數(shù)解，所以原方程的不同實(shí)數(shù)解共有2個(gè).

圖1 圖2

剖析錯(cuò)解的根源在于：沒(méi)有注意到指數(shù)函數(shù)y=ax的圖象有漸近線(xiàn)——x軸，即直線(xiàn)y=0，從而所作曲線(xiàn)y=|ax-1|的圖形不準(zhǔn)確，由此導(dǎo)致錯(cuò)誤的產(chǎn)生.

正解如圖2，首先準(zhǔn)確作出曲線(xiàn)y=|ax-1|的圖形，注意在y軸右側(cè)的圖形有漸近線(xiàn)y=1；然后再作直線(xiàn)y=2，則由圖觀(guān)察即知原方程的不同實(shí)數(shù)解共有1個(gè).

反思一般地，利用指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象解題時(shí)，要注意準(zhǔn)確作圖是解題的關(guān)鍵所在.

4 未注意函數(shù)特性的靈活運(yùn)用而致錯(cuò)

圖3

反思一般地，遇到二次函數(shù)與指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)在圖象方面的交匯問(wèn)題時(shí)，要注意認(rèn)真觀(guān)察函數(shù)的圖象，靈活運(yùn)用函數(shù)的特性，加以準(zhǔn)確分析.

5 未注意底數(shù)對(duì)函數(shù)單調(diào)性的影響而致錯(cuò)

錯(cuò)解(1)由原不等式變形得log3a(x-1)

(2)錯(cuò)解的根源在于：分析t的取值范圍時(shí)，誤以為指數(shù)函數(shù)t=ax在[-1,1]上單調(diào)遞增.而實(shí)際上，因?yàn)榈讛?shù)a>0，且a≠1，所以指數(shù)函數(shù)t=ax在[-1,1]上的單調(diào)性不確定，故應(yīng)加以討論分析.

(2)當(dāng)a>1時(shí)，同錯(cuò)解可得a=3.

反思①利用指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解題時(shí)，首先要注意考查底數(shù)與“1”的大小關(guān)系，若不確定，則應(yīng)分情況討論.②一般地，若常數(shù)a>1，則有l(wèi)ogax>logay?x>y>0；若常數(shù)0logay?y>x>0.

6 未注意對(duì)數(shù)函數(shù)的值域?yàn)镽必須滿(mǎn)足真數(shù)取遍所有的正數(shù)而致錯(cuò)

例6 若函數(shù)f(x)=ln(ax2+2x+1)的值域?yàn)镽，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

剖析當(dāng)真數(shù)大于零時(shí)，并不能保證真數(shù)一定取遍所有的正數(shù)，從而對(duì)應(yīng)函數(shù)的值域也就不一定是R.例如：函數(shù)y=lg(x2+1)中真數(shù)x2+1≥1>0，但對(duì)應(yīng)y≥lg1=0，即函數(shù)的值域是[0,+∞)，顯然就不是R.上述錯(cuò)解，實(shí)際上是分析了當(dāng)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽時(shí)，實(shí)數(shù)a∈(1,+∞).

正解依題設(shè)，應(yīng)使函數(shù)g(x)=ax2+2x+1的函數(shù)值取遍所有的正數(shù).

綜上可知，所求實(shí)數(shù)a的取值范圍是[0,1].

反思本題分析的關(guān)鍵在于以下兩點(diǎn)，一是由題設(shè)得到必須滿(mǎn)足對(duì)數(shù)的真數(shù)ax2+2x+1的值要取遍所有的正數(shù)；二是必須按a=0和a≠0進(jìn)行具體的討論分析.

以上，通過(guò)“借誤導(dǎo)悟”的形式，具體闡明了在處理有關(guān)指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)問(wèn)題中經(jīng)常會(huì)遇到的一些解題誤區(qū)，能夠幫助同學(xué)們加深對(duì)指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)的再理解與再認(rèn)識(shí).同時(shí)，也能夠較好地提升同學(xué)們?cè)谥庇^(guān)想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算以及邏輯推理方面的核心素養(yǎng).