例析坐標(biāo)系與參數(shù)方程應(yīng)用中的常見誤區(qū)

侯有岐

(陜西省漢中市四○五學(xué)校 723312)

坐標(biāo)系與參數(shù)方程作為高考的選考內(nèi)容之一，考查難度相對穩(wěn)定，第一問考查內(nèi)容多為互化，第二問常利用參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義或極坐標(biāo)方程中ρ,θ的幾何意義解決問題，內(nèi)容涉及距離、面積、弦長、交點(diǎn)、軌跡等問題.但在坐標(biāo)系與參數(shù)方程的應(yīng)用中，由于學(xué)生忽略互化條件的限制、混淆參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義和ρ,θ的幾何意義及范圍的限制，常出現(xiàn)下列思維誤區(qū)：

1 參數(shù)方程與普通方程的互化中忽略“等價(jià)變形致錯

A.一條直線 B.兩條直線

C.一條射線 D.兩條射線

剖析出錯的根本原因是忽視了參數(shù)的取值范圍從而導(dǎo)致縮小了x的取值范圍.

所以參數(shù)方程化為普通方程為y=2(x≤-2或x≥2),所以表示兩條射線.故選D.

評注參數(shù)方程化普通方程，既要消參得到橫、縱坐標(biāo)所滿足的關(guān)系式，又要探究橫、縱坐標(biāo)對參數(shù)的值域，這個(gè)值域和橫、縱坐標(biāo)所滿足的關(guān)系式才與原參數(shù)方程等價(jià).

2 混淆直線參數(shù)方程的一般式與標(biāo)準(zhǔn)式致錯

(1)求曲線C的直角坐標(biāo)方程和參數(shù)方程；

(2)求直線l被曲線C截得的弦長.

錯解(1)曲線C的極坐標(biāo)方程化為

ρ2=2ρsinθ+4ρcosθ.

由ρ2=x2+y2,x=ρcosθ,y=ρsinθ,得

x2+y2=2y+4x.

所以曲線C的直角坐標(biāo)方程為

(x-2)2+(y-1)2=5.

代入(x-2)2+(y-1)2=5，

所以直線l被曲線C截得的弦長為

剖析出錯的根本原因是忽視了本題中所給出的直線參數(shù)方程不是標(biāo)準(zhǔn)形式,導(dǎo)致計(jì)算弦長錯誤.

正解(1)曲線C的極坐標(biāo)方程化為

ρ2=2ρsinθ+4ρcosθ.

由ρ2=x2+y2,x=ρcosθ,y=ρsinθ,得

x2+y2=2y+4x.

所以曲線C的直角坐標(biāo)方程為

(x-2)2+(y-1)2=5.

(x-2)2+(y-1)2=5，

又因?yàn)橹本€l的參數(shù)方程可化為

所以直線l被曲線C截得的弦長為

方法2因?yàn)橹本€l的參數(shù)方程是

評注已知直線l經(jīng)過點(diǎn)M0(x0,y0),傾斜角為α,點(diǎn)M(x,y)為直線l上任意一點(diǎn),則直線l的參數(shù)方程為

①

(2)令a=cosα,b=sinα,則直線參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式可以化為

②

(3)如果直線參數(shù)方程的一般形式為

③

當(dāng)c2+d2≠1或d<0時(shí)，應(yīng)先化成標(biāo)準(zhǔn)形式后才可以利用t的幾何意義解題.

(4)不少模擬試題以及高考試題，若采用直線參數(shù)方程中參數(shù)t的幾何意義去解決能夠收到事半功倍的效果.

3 對橢圓參數(shù)方程中角參數(shù)的含義理解不清致錯

剖析錯解中把點(diǎn)M和原點(diǎn)連線與x軸的夾角誤認(rèn)為是過該點(diǎn)的橢圓參數(shù)方程中所對應(yīng)的角參數(shù)α，事實(shí)上，橢圓參數(shù)方程中角參數(shù)α是離心角，現(xiàn)階段的教材不研究其幾何意義，故可借助點(diǎn)M與原點(diǎn)連線的傾斜角和三角函數(shù)知識分類討論求解.

所以tanα=2.

(2)當(dāng)點(diǎn)M在第四象限時(shí)，由

所以tanα=-2.

評注當(dāng)已知角為橢圓上一點(diǎn)和原點(diǎn)連線與x軸的夾角時(shí)，可依據(jù)傾斜角的含義和范圍，結(jié)合三角函數(shù)知識分類討論求解，這樣就避免了橢圓參數(shù)方程中角參數(shù)幾何意義的理解.

4 忽視極坐標(biāo)系中點(diǎn)的極坐標(biāo)不唯一性致錯

例4在極坐標(biāo)系中,點(diǎn)P(ρ,θ)關(guān)于極點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)可以是( ).

①(ρ,-θ)；②(-ρ,-θ)；③(-ρ,θ)；④(ρ,π+θ).

A.④ B.①② C.①③ D.③④

錯解由點(diǎn)的極坐標(biāo)的意義知，點(diǎn)P(ρ,θ)關(guān)于極點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)可以是(ρ,π+θ).

剖析出錯的根本原因是忽視了極坐標(biāo)下點(diǎn)的極坐標(biāo)的不唯一性，因?yàn)棣选蔙的特性,所以點(diǎn)P(ρ,θ)關(guān)于極點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)也可以是(-ρ,θ).事實(shí)上,當(dāng)ρ>0時(shí),點(diǎn)P(ρ,θ)在極角θ的終邊上,|OP|=ρ；當(dāng)ρ<0時(shí),點(diǎn)P(ρ,θ)在極角θ的終邊的反向延長線上,|OP|=-ρ.

正解因?yàn)棣选蔙，所以ρ既可以是正值，也可以是負(fù)值.因此，點(diǎn)P(ρ,θ)關(guān)于極點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)可以是(-ρ,θ)或(ρ,π+θ).故選D.

評注解答極坐標(biāo)系下有關(guān)點(diǎn)的極坐標(biāo)問題時(shí)，一定要注意點(diǎn)的不唯一性.另外，本題也可以把點(diǎn)P(ρ,θ)的坐標(biāo)化成直角坐標(biāo)，然后根據(jù)三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式判斷解決.

5 忽視極角的范圍致錯

由ρ=4cosθ，得曲線C的方程為(x-2)2+y2=4.

所以，曲線C是以(2,0)為圓心，2為半徑的圓.

由ρ=4cosθ，得(x-2)2+y2=4.

評注極坐標(biāo)方程實(shí)質(zhì)上是極徑關(guān)于極角的函數(shù)表達(dá)式，于是求解有關(guān)最值問題時(shí)，常選用極坐標(biāo)方程，此時(shí)應(yīng)特別注意極角的范圍，即研究函數(shù)問題，定義域優(yōu)先.

同步檢測：

由|AB|=5，得

故ρ=4.

題2化極坐標(biāo)方程ρ2cosθ-ρ=0為直角坐標(biāo)方程為( ).

A.x2+y2=0或y=1 B.x=1

C.x2+y2=0或x=1 D.y=1

答案C.

因?yàn)橹本€l的極坐標(biāo)方程為ρ(cosθ+2sinθ)=15,

所以直線l的直角坐標(biāo)方程為x+2y-15=0.

故選C.

(1)求直線l的普通方程與曲線C的直角坐標(biāo)方程；

設(shè)P,Q相對于M(1,0)的參數(shù)方程分別是t1,t2，

故t1與t2異號.

(1)求直線l的普通方程與曲線C的直角坐標(biāo)方程；

解析(1)直線l的普通方程為

由曲線C：3ρ2+ρ2sin2θ=12，

將x=ρcosθ,y=ρsinθ代入曲線C可得

3(x2+y2)+y2=12.