例談質(zhì)點(diǎn)與圓弧槽系統(tǒng)問(wèn)題情境的設(shè)計(jì)與解答方略

許冬保

(江西省九江市第一中學(xué) 332000)

質(zhì)點(diǎn)與圓弧槽系統(tǒng)構(gòu)成力學(xué)中一類典型的組合模型.該模型涉及力學(xué)中的功能關(guān)系、牛頓運(yùn)動(dòng)定律、平衡條件、圓周運(yùn)動(dòng)等知識(shí)的應(yīng)用，由此模型演繹的物理問(wèn)題，綜合性強(qiáng)、設(shè)計(jì)方式靈活、能力要求高.以下從“物理觀念”素養(yǎng)中的運(yùn)動(dòng)與相互作用觀念以及能量觀念的視角，進(jìn)行分析.

1 質(zhì)點(diǎn)與圓弧槽系統(tǒng)問(wèn)題情境設(shè)計(jì)

如圖1，在質(zhì)點(diǎn)與圓弧槽系統(tǒng)中，質(zhì)點(diǎn)在槽中可分為加速運(yùn)動(dòng)型及動(dòng)態(tài)平衡型兩類；而槽又可分為固定型與可動(dòng)型兩類.根據(jù)質(zhì)點(diǎn)與圓弧槽的相互作用方式，以及質(zhì)點(diǎn)與圓弧槽系統(tǒng)對(duì)系統(tǒng)外約束物體的作用方式，可以設(shè)計(jì)出豐富多彩的運(yùn)動(dòng)情境，運(yùn)動(dòng)情境設(shè)計(jì)主要有以下方式：

圖1

(1)圓弧槽不固定、置于水平地面上，因外界約束而保持靜止，質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，探究圓弧槽所受作用力的變化規(guī)律；

(2)圓弧槽固定或不固定，內(nèi)壁光滑或粗糙，質(zhì)點(diǎn)在下滑過(guò)程中，考查質(zhì)點(diǎn)或系統(tǒng)功能關(guān)系的應(yīng)用；

(3)圓弧槽固定或不固定，質(zhì)點(diǎn)在圓弧槽某位置，通過(guò)法線方向建立牛頓運(yùn)動(dòng)定律方程求解有關(guān)問(wèn)題；

(4)圓弧槽固定，通過(guò)分析水平方向及豎直方向加速度的變化，探究水平方向、豎直方向速度、重力瞬時(shí)功率等物理量的變化規(guī)律；

(5)圓弧槽不固定、置于光滑水平面上，從動(dòng)量與能量的角度，分析質(zhì)點(diǎn)與圓弧槽的運(yùn)動(dòng)，定性判斷或定量計(jì)算有關(guān)物理量；

(6)質(zhì)點(diǎn)從圓弧槽外進(jìn)入槽，并與圓弧槽發(fā)生相互作用，多角度探究小球與圓弧槽的作用.

2 情境分類與解答方略

2.1 質(zhì)點(diǎn)與圓弧槽系統(tǒng)的平衡問(wèn)題

例1質(zhì)量為M的凹槽靜止在水平地面上，內(nèi)壁為半圓柱面，截面如圖2，A為半圓的最低點(diǎn)，B為半圓水平直徑的端點(diǎn).凹槽恰好與豎直墻面接觸，內(nèi)有一質(zhì)量為m的小滑塊.用推力F推動(dòng)小滑塊由A點(diǎn)向B點(diǎn)緩慢移動(dòng)，力F的方向始終沿圓弧的切線方向，在此過(guò)程中所有摩擦均可忽略，下列說(shuō)法正確的是( ).

圖2

A.推力F先增大后減小

B.凹槽對(duì)滑塊的支持力先減小后增大

C.墻面對(duì)凹槽的壓力先增大后減小

D.水平地面對(duì)凹槽的支持力先減小后增大

解析設(shè)滑塊和O點(diǎn)連線與豎直方向夾角為θ，由平衡條件有

F=mgsinθ；FN1=mgcosθ

滑塊從A緩慢移動(dòng)B點(diǎn)時(shí)，θ增大，則推力F增大，支持力FN1減小.

對(duì)凹槽與滑塊整體分析，得墻面對(duì)凹槽的壓力為

可見，當(dāng)θ增大時(shí)，墻面對(duì)凹槽的壓力先增大后減小.

水平地面對(duì)凹槽的支持力為

FN3=(M+m)g-Fsinθ=(M+m)g-mgsin2θ

可見，當(dāng)θ增大時(shí)，水平地面對(duì)凹槽的支持力減小.綜上，正確選項(xiàng)是C.

評(píng)述該題情境設(shè)計(jì)符合上述考查方式中的(1)要求.試題通過(guò)光滑凹槽中滑塊沿圓弧切線方向的力F作用下的運(yùn)動(dòng)情境，考查受力分析、動(dòng)態(tài)平衡的分析、力的合成與分解等知識(shí)點(diǎn).主要考查“科學(xué)思維”素養(yǎng)中的模型建構(gòu)、科學(xué)推理及科學(xué)論證等要素.

2.2 質(zhì)點(diǎn)在固定粗糙圓弧槽中運(yùn)動(dòng)的問(wèn)題

例2 (2016年全國(guó)III卷試題)如圖3，一固定容器的內(nèi)壁是半徑為R的半球面；在半球面水平直徑的一端有一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)P.它在容器內(nèi)壁由靜止下滑到最低點(diǎn)的過(guò)程中，克服摩擦力做的功為W.重力加速度大小為g.設(shè)質(zhì)點(diǎn)P在最低點(diǎn)時(shí)，向心加速度的大小為a，容器對(duì)它的支持力大小為FN，則 ( )

圖3

選項(xiàng)A、C正確.

評(píng)述本題運(yùn)動(dòng)情境設(shè)計(jì)符合上述方式(2)、(3)要求.試題主要考查動(dòng)能定理、牛頓運(yùn)動(dòng)定律及圓周運(yùn)動(dòng)規(guī)律的應(yīng)用，側(cè)重考查考生的理解能力及推理論證能力.本題最容易出現(xiàn)的錯(cuò)誤是，由于未進(jìn)行受力分析而遺漏重力.

2.3 質(zhì)點(diǎn)在固定光滑圓弧槽中運(yùn)動(dòng)的問(wèn)題

例3(東北師大附中2022年摸底考試)如圖4，內(nèi)壁光滑的半圓形凹槽放置于粗糙的水平地面上，現(xiàn)將一個(gè)質(zhì)量為m的小鐵球從與圓心O等高處A由靜止釋放，在鐵球沿凹槽下滑的過(guò)程中凹槽保持靜止，若研究小鐵球從最高點(diǎn)A滑至最低點(diǎn)B的過(guò)程，已知重力加速度為g.則下列說(shuō)法正確的是( ).

圖4

A.鐵球下滑過(guò)程中加速度的豎直分量先減小后增大

B.鐵球下滑過(guò)程中加速度的水平分量先增大后減小

C.鐵球下滑過(guò)程中重力瞬時(shí)功率逐漸增大

D.地面對(duì)凹槽摩擦力的最大值為1.5mg

解析研究小鐵球從A滑至B的過(guò)程，小鐵球作加速運(yùn)動(dòng).在A處小鐵球的加速度為重力加速度，方向豎直向下；在B處向心加速度方向豎直向上，無(wú)切向加速度.因此，該過(guò)程中，豎直方向的加速度分量先減小后增大；水平方向的加速度分量先增大后減小.

重力的瞬時(shí)功率取決于豎直方向的分速度.A處的速度為0，B處的速度方向水平向左，所以，A、B兩處重力瞬時(shí)功率為0.可見，小鐵球從最高點(diǎn)A滑至最低點(diǎn)B的過(guò)程，重力瞬時(shí)功率的變化規(guī)律是先增大后減小.

如圖5，設(shè)凹槽的半徑為R，某時(shí)刻運(yùn)動(dòng)至小球與球心連線跟水平方向夾角為θ處，速度大小為v，此時(shí)小球所受彈力為FN，由機(jī)械能守恒定律，有

圖5

解得FN=3mgsinθ.

評(píng)述該題情境設(shè)計(jì)符合上述考查方式中的(1)、(2)、(3)、(4)要求.要求能通過(guò)定性或半定量的方法，分析豎直方向及水平方向速度、加速度的變化規(guī)律，重力瞬時(shí)功率的概念在此得到有效考查.其次，地面對(duì)凹槽摩擦力的方向，要求能結(jié)合牛頓運(yùn)動(dòng)定律、機(jī)械能守恒定律、力的平衡條件及數(shù)學(xué)求極值的方法，通過(guò)科學(xué)推理得到最大靜摩擦力大小.試題主要考查考生的推理論證能力.

2.4 質(zhì)點(diǎn)在可動(dòng)光滑圓弧槽中運(yùn)動(dòng)的問(wèn)題

例4如圖1，在光滑水平地面上靜止放置一質(zhì)量為M的半圓槽，半圓槽內(nèi)壁光滑，軌道半徑為R，軌道最低點(diǎn)為B，兩端A、C與其圓心O處等高.現(xiàn)讓一質(zhì)量為m的小滑塊從A點(diǎn)由靜止開始釋放，小滑塊可視為質(zhì)點(diǎn)，重力加速度為g，若M=2m.則在此后的過(guò)程中( ).

A.半圓槽與小滑塊組成的系統(tǒng)動(dòng)量守恒，機(jī)械能守恒

D.小滑塊運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)，半圓槽對(duì)水平地面的壓力為3mg

小滑塊運(yùn)動(dòng)到B時(shí)，設(shè)小滑塊的速度大小為v1，半圓槽的速度大小為v2.由動(dòng)量守恒定律，有

0=mv1-2mv2

由機(jī)械能守恒定律，有

小滑塊相對(duì)半圓槽做圓周運(yùn)動(dòng)，在B處，向心加速度方向向上，出現(xiàn)超重.因此，半圓槽對(duì)水平地面的壓力大于3mg.

綜上，正確選項(xiàng)是B、C.

評(píng)述該題情境設(shè)計(jì)符合上述考查方式中的(2)、(3)、(5)要求.試題以小滑塊在半圓槽中的運(yùn)動(dòng)為載體，考查動(dòng)量守恒定律、機(jī)械能守恒定律成立的條件；類比人船模型導(dǎo)出半圓槽運(yùn)動(dòng)的位移；能綜合應(yīng)用動(dòng)量觀念與能量觀念，確定小滑塊與半圓槽在B處的速度；定性分析半圓槽對(duì)水平地面的壓力與重力的關(guān)系.主要體現(xiàn)對(duì)理解能力、推理論證能力的考查.

2.5 質(zhì)點(diǎn)在光滑圓弧槽中運(yùn)動(dòng)的綜合問(wèn)題

例5 如圖6(a)所示，帶有半圓形軌道的凹槽放在水平面上，凹槽左側(cè)有一固定的障礙物，a、b為軌道的兩端，軌道半徑為R.在a點(diǎn)正上方某高度從靜止開始釋放一質(zhì)量為m的小球，小球下落后從a端進(jìn)入軌道，此后小球只在凹槽內(nèi)運(yùn)動(dòng)，設(shè)凹槽質(zhì)量為2m，不計(jì)摩擦和空氣阻力.

(1)求小球釋放時(shí)距離a端的最大高度；

(2)在滿足(1)的條件下，求凹槽離開障礙物后其軌道最低點(diǎn)對(duì)小球的支持力大?。?/p>

(3)現(xiàn)將該凹槽固定在傾角為30°的斜面上(圖6(b))，將小球從距離a點(diǎn)某高度水平拋出，小球恰好能無(wú)碰撞地從a端進(jìn)入軌道運(yùn)動(dòng)，此后小球能原路返回到拋出點(diǎn).試求拋出點(diǎn)距離a端的最大高度.

圖6

解析(1)設(shè)小球距離a端的最大高度為h，小球進(jìn)入凹槽后，達(dá)最低點(diǎn)速度為v0.要使小球恰不能從凹槽右端b飛出，則小球與凹槽必共速，設(shè)該速度為v.由機(jī)械能守恒定律，有

(2)在凹槽離開障礙物以后運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，設(shè)小球從凹槽兩端返回至最低點(diǎn)時(shí)的速度為v1，此時(shí)凹槽速度為u1，取v0方向?yàn)檎较?由動(dòng)量守恒定律，有

mv0=mv1+2mu1

由機(jī)械能守恒定律，有

凹槽對(duì)小球的支持力大小為FN，小球運(yùn)動(dòng)返回到凹槽最低點(diǎn)時(shí)，由牛頓運(yùn)動(dòng)定律，有

解得FN=4mg.

(3)設(shè)拋出點(diǎn)距離a端的最大高度為H，欲使小球原路返回，其在凹槽內(nèi)運(yùn)動(dòng)的最高點(diǎn)應(yīng)與圓心等高.設(shè)小球剛從a端進(jìn)入凹槽時(shí)速度為v2，豎直分速度為vy.由機(jī)械能守恒定律，有

評(píng)述該題情境設(shè)計(jì)符合上述考查方式中的(2)、(3)、(5)、(6)要求.要求能根據(jù)力與運(yùn)動(dòng)的關(guān)系，定性得出小球及凹槽的運(yùn)動(dòng)性質(zhì)與規(guī)律，能靈活地使用機(jī)械能守恒定律、水平動(dòng)量守恒定律及牛頓運(yùn)動(dòng)定律定量研究題設(shè)問(wèn)題.問(wèn)題(3)的分析要點(diǎn)是能找出小球在凹槽右側(cè)上升的最大高度.該題通過(guò)多處設(shè)置臨界狀態(tài)，考查考生的分析綜合能力及推理論證能力.