畫“雙圓”解單邊界勻強(qiáng)磁場(chǎng)中帶電粒子掃射“時(shí)空”問(wèn)題

陳衛(wèi)國(guó)

(北京師范大學(xué)貴陽(yáng)附屬中學(xué) 550023)

勻強(qiáng)磁場(chǎng)中帶電粒子掃射問(wèn)題，實(shí)質(zhì)為動(dòng)態(tài)軌跡圓問(wèn)題，過(guò)程抽象，分析、綜合能力要求較高，是學(xué)生學(xué)習(xí)“帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)”的難點(diǎn).圖像法畫雙圓處理，化抽象為形象，處理簡(jiǎn)潔.雙圓即：“軌跡圓的圓心軌跡圓”“入射點(diǎn)始，入射點(diǎn)和圓心軌跡圓任意點(diǎn)連線單向延長(zhǎng)2倍畫直徑端頭圓”, 所有軌跡圓在入射點(diǎn)相交.現(xiàn)以單邊界磁場(chǎng)為例進(jìn)行探討.

1 單邊界磁場(chǎng)

物理原型：有垂直平面的單邊界勻強(qiáng)磁場(chǎng)B，其中有一點(diǎn)S，在磁場(chǎng)中距離磁場(chǎng)邊界距離|SO|=d.大量質(zhì)量為m，電荷量為q的帶正電粒子，在磁場(chǎng)中S點(diǎn)以相同的速率垂直磁場(chǎng)向各個(gè)方向掃射，粒子軌跡半徑為r(如圖1)，試分析粒子運(yùn)動(dòng)情況.(邊界上哪些位置有粒子射出，以及到邊界射出區(qū)域的兩個(gè)端點(diǎn)對(duì)應(yīng)的耗時(shí)；粒子從磁場(chǎng)邊界沖出，對(duì)應(yīng)在磁場(chǎng)中耗時(shí)最長(zhǎng)、最短情況.)

圖1

軌跡為粒子左旋圓，分為兩類：

(2)粒子軌跡直徑滿足2r>d時(shí)，帶電粒子在磁場(chǎng)中做部分圓周運(yùn)動(dòng).并且，所有軌跡圓共S點(diǎn).

①以S為圓心，以r為半徑畫圓，此為可能的軌跡圓的圓心軌跡(圖1中的圓1)；以S為圓心，以2r為半徑畫圓，此為可能的軌跡圓直徑另一端頭軌跡(圖1中的圓2).

②粒子沖出磁場(chǎng)邊界的最大范圍：

過(guò)O點(diǎn)作長(zhǎng)度為r的向上垂線，將垂線向右平移至端頭與圓1相交，交點(diǎn)為C2，此為粒子將不從邊界射出的軌跡圓的臨界圓心，對(duì)應(yīng)的軌跡圓為圖1中圓4，對(duì)應(yīng)粒子射出邊界最右端點(diǎn)D2.

連接S點(diǎn)和圓2與磁場(chǎng)邊界交點(diǎn)D1，為粒子射出邊界最左端點(diǎn)對(duì)應(yīng)直徑與相應(yīng)半圓3.圖中D1與D2之間的長(zhǎng)度即為粒子將從邊界上射出的區(qū)域，有：

lD1D2=2rsinθ+rsinα

粒子能從最左端點(diǎn)沖出磁場(chǎng)，軌跡如圖1中半圓3，耗時(shí)為:

粒子能從最右端點(diǎn)沖出磁場(chǎng)，軌跡如圖1中圓4劣弧SD2，耗時(shí)為:

③粒子到達(dá)邊界的最長(zhǎng)時(shí)間與最短時(shí)間：

圖2

過(guò)O點(diǎn)作長(zhǎng)度為r的向上垂線，將垂線向左平移至與1圓相交，交點(diǎn)為C2，此為粒子在磁場(chǎng)中到邊界耗時(shí)最長(zhǎng)的軌跡圓的圓心，對(duì)應(yīng)的軌跡圓為圖2中圓4的優(yōu)弧SD1.故：

粒子在磁場(chǎng)中到邊界耗時(shí)最長(zhǎng)為圖2中圓4的優(yōu)弧SD1，有：

粒子在磁場(chǎng)中到邊界耗時(shí)最短時(shí)，過(guò)S點(diǎn)作磁場(chǎng)邊界的垂線，交邊界于O點(diǎn)，|SO|為滿足條件的對(duì)應(yīng)軌跡圓的最短弦，作該弦的中垂線與圓1相交于C1，此為粒子在磁場(chǎng)中到邊界耗時(shí)最短的軌跡圓的圓心，該弦對(duì)應(yīng)圖2中圓3的SO劣弧，有：

圖像法能解決的物理問(wèn)題，常規(guī)方法都能解決.但圖像法以它直觀、簡(jiǎn)潔的特點(diǎn)遠(yuǎn)遠(yuǎn)優(yōu)于、高于常規(guī)方法.文中我們采用“畫雙圓”圖像方法，幾乎可以解決所有帶電粒子在單邊界勻強(qiáng)磁場(chǎng)中掃射的“時(shí)空”問(wèn)題.但如果采用動(dòng)力學(xué)、幾何方法來(lái)解題，由于過(guò)程高度抽象，邏輯思維能力要求很高，很多同學(xué)甚至根本接受不了.當(dāng)然，圖像法必須在它的適應(yīng)范圍內(nèi)才有效，這也就啟迪我們：任何一種方法都不是萬(wàn)能的，對(duì)于具體的物理問(wèn)題，我們應(yīng)該尋找最適合它的解答方法.