優(yōu)選目標(biāo)直線 簡(jiǎn)化解幾運(yùn)算
——以一類直線過(guò)定點(diǎn)的解析幾何綜合題為例

蒲榮飛

(安徽省合肥市第八中學(xué) 230071)

判斷或證明直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題是直線和圓錐曲線綜合問(wèn)題中的一類常見(jiàn)的重要題型，此類問(wèn)題具有運(yùn)算量大、運(yùn)算要求高的典型特點(diǎn).大量的繁復(fù)運(yùn)算往往成為學(xué)生難以逾越的屏障，如果在選擇直線時(shí)再不加選擇和甄別，往往還會(huì)人為增加運(yùn)算量，無(wú)疑對(duì)于本身就很薄弱的運(yùn)算能力更是雪上加霜.本文將通過(guò)具體例子來(lái)解讀如何通過(guò)優(yōu)選目標(biāo)直線來(lái)簡(jiǎn)化此類解析幾何問(wèn)題的運(yùn)算.

1 目標(biāo)直線的選擇視角

對(duì)于此類直線過(guò)定點(diǎn)的綜合問(wèn)題，已知條件和所證結(jié)論中均會(huì)涉及到多條直線，到底選擇哪條直線作為目標(biāo)直線可能會(huì)比較簡(jiǎn)單些？選擇的標(biāo)準(zhǔn)又是什么？下面首先通過(guò)一道例題來(lái)作以對(duì)比分析.

例1 已知圓C過(guò)點(diǎn)P(1,0)，且與圓x2+(y-3)2=4外切于點(diǎn)(0,1)，過(guò)點(diǎn)P作直線PA,PB與圓C分別交于異于點(diǎn)P的A,B兩點(diǎn)，且kPA·kPB=-3．求證：直線AB恒過(guò)定點(diǎn)．(其中kPA,kPB分別為直線PA,PB的斜率)

解析設(shè)圓C的方程為x2+(y-b)2=r2，

解得b=0,r=1.

故圓C的方程為x2+y2=1.

方法1 由題意可設(shè)lPA:y=k(x-1) (k≠0)，

與x2+y2=1聯(lián)立，得

(1+k2)x2-2k2x+k2-1=0.

于是直線AB的方程為

方法2 由題意可設(shè)lAB:x=my+b，

與x2+y2=1聯(lián)立,得

(m2+1)y2+2mby+b2-1=0.

2 目標(biāo)直線的甄別優(yōu)選

(2)當(dāng)kMN存在時(shí)，可設(shè)lMN:y=kx+b,

(4k2+1)x2+8kbx+4b2-4=0.

而當(dāng)b=1時(shí)，點(diǎn)A與點(diǎn)M重合，不合題意，故k=b+1.

此時(shí)直線MN的方程為(x+1)b+x-y=0，過(guò)定點(diǎn)(-1,-1)；又kMN不存在時(shí)，直線x=-1也過(guò)該點(diǎn)，故直線MN恒過(guò)定點(diǎn)(-1,-1).

評(píng)注如果對(duì)于目標(biāo)直線不做任何甄選，而按照例1中方法1的思路選擇直線AM作為目標(biāo)直線，而其與橢圓C的方程聯(lián)立求得點(diǎn)M的坐標(biāo)本身形式就很復(fù)雜，再利用k1=2-k2代入得到點(diǎn)N的坐標(biāo)形式將更加復(fù)雜，求解化簡(jiǎn)kMN的計(jì)算量將無(wú)法預(yù)估.而選擇直線MN作為目標(biāo)直線，不但思路清晰而且可大大降低運(yùn)算量.

(1)求拋物線C的方程；

(2)已知經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(3,-2)的直線交拋物線C于M,N兩點(diǎn)，經(jīng)過(guò)定點(diǎn)B(3,-6)和點(diǎn)M的直線與拋物線C交于另一點(diǎn)L，問(wèn)直線NL是否恒過(guò)定點(diǎn)？如果過(guò)，求出該定點(diǎn)；否則，請(qǐng)說(shuō)明理由.

故所求拋物線C的方程為y2=4x.

①

②

將①中y0換為y2可得

故直線NL恒過(guò)定點(diǎn)(-3,0).

評(píng)注本題在求解直線MN的方程時(shí)之所以并未使用已知點(diǎn)A，而是使用了未知點(diǎn)M,N，就是充分考慮到三條直線MN,ML,NL具有結(jié)構(gòu)形式完全相同的特點(diǎn)，只需求出其中一條，便可通過(guò)代換寫出其余兩條，從而大大簡(jiǎn)化了計(jì)算.

3 真題演練

(1)求橢圓E的方程;

(2)證明：直線CD過(guò)定點(diǎn).

4 感悟啟示

4.1 簡(jiǎn)化運(yùn)算,始于“四預(yù)”

所謂運(yùn)算核心素養(yǎng)是指在明晰運(yùn)算對(duì)象的基礎(chǔ)上，依據(jù)運(yùn)算法則解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的素養(yǎng).筆者認(rèn)為要達(dá)到靈活運(yùn)算、簡(jiǎn)化運(yùn)算的目的，首先需要做好“四預(yù)”即預(yù)審、預(yù)設(shè)、預(yù)估、預(yù)算.預(yù)審條件和對(duì)象，它是理解運(yùn)算對(duì)象、進(jìn)行正確運(yùn)算的前提；預(yù)設(shè)視角和思路，它是思維嚴(yán)謹(jǐn)科學(xué)、方法靈活多樣的體現(xiàn)；預(yù)估方法和順序，它是對(duì)不同思路所涉及的運(yùn)算量的一個(gè)整體評(píng)估，是確定嘗試順序的關(guān)鍵；預(yù)算選擇和調(diào)整，即對(duì)運(yùn)算思路的實(shí)踐探索，并在試算的基礎(chǔ)上及時(shí)做好調(diào)整與糾偏.

4.2 強(qiáng)化能力，起于“三練”

要想提升運(yùn)算能力，必須要勤加練習(xí).但是這里的練習(xí)不是盲目的低效重復(fù)，而應(yīng)該是一種具有明確目的專項(xiàng)練習(xí)，需要明確為什么而練？練什么？它是一種持之以恒的艱苦練習(xí)，需要付出額外的能力和辛苦；它是一種需要科學(xué)指導(dǎo)的有意練習(xí)，需要有一套科學(xué)的訓(xùn)練方法，并及時(shí)反饋及時(shí)針對(duì)性地調(diào)整.

4.3 形成素養(yǎng)，源于“雙積”

由運(yùn)算能力上升到運(yùn)算素養(yǎng)的高度，一定是源于背后的“雙積”即積累和積淀.積累的是基礎(chǔ)知識(shí)和基本方法，積淀的是基本的數(shù)學(xué)思想和基本的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，扎實(shí)的基礎(chǔ)知識(shí)和基本方法的積累是學(xué)科核心素養(yǎng)形成的主要載體，而豐富的數(shù)學(xué)思想和活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積淀則是學(xué)科核心素養(yǎng)形成的主要路徑.