例談圓錐曲線第三定義的應(yīng)用

李文東

(廣東省中山市中山紀(jì)念中學(xué) 528454)

平面內(nèi)，與兩定點(diǎn)A,B的斜率之積為非零常數(shù)λ(λ≠-1) 的點(diǎn)的軌跡為橢圓(λ<0)或雙曲線(λ>0)(不含點(diǎn)A,B)，我們將這個(gè)稱為橢圓和雙曲線的第三定義.反之，設(shè)AB是過(guò)橢圓(或雙曲線)中心的弦，且PA,PB都存在非零斜率kPA,kPB，則kPA·kPB=e2-1(e為離心率).

因?yàn)辄c(diǎn)A，P在橢圓上，

兩式相減，得

圓錐曲線中有不少問(wèn)題是和第三定義相關(guān)的，利用好第三定義對(duì)于這些問(wèn)題的求解能夠起到很好的簡(jiǎn)化作用，下面舉例說(shuō)明.

1 利用第三定義求斜率之積

圖1

利用這一結(jié)論結(jié)合橢圓對(duì)稱性可知

將其代入雙曲線方程易得離心率e=4.

易知點(diǎn)Q,M關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且kOM=-kMF.

于是k1·k2=kPQ·kOM=-15.

2 第三定義在離心率問(wèn)題中的應(yīng)用

分析題中涉及到|k1|+|k2|的最小值問(wèn)題，考慮基本不等式，自然聯(lián)想到k1·k2為定值.

解析根據(jù)橢圓第三定義有

于是由基本不等式，得

當(dāng)且僅當(dāng)|k1|=|k2|時(shí)取等號(hào)，|k1|+|k2|的最小值為1.

3 第三定義在定點(diǎn)定值問(wèn)題中的應(yīng)用

圖2

(1)求C2的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)設(shè)點(diǎn)P為C2右支上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線PF1與C1交于A，B兩點(diǎn)，直線PF2與C1交于C，D兩點(diǎn)，請(qǐng)你探索|AB|-|CD|是否為定值？證明你的結(jié)論.

將|AB|表達(dá)式中的k1換成k2可得

綜上,|AB|-|CD|為定值2.

圖3

(1)求E的方程；

觀察實(shí)施分層護(hù)理管理模式前后1年的基礎(chǔ)護(hù)理合格率、病房管理合格率、專業(yè)考核合格率、護(hù)理不良事件發(fā)生率及患者滿意度。其中患者滿意度采用調(diào)查問(wèn)卷的方式評(píng)價(jià)，實(shí)施分層護(hù)理管理模式前后分別選取100例住院患者作為調(diào)查對(duì)象，調(diào)查內(nèi)容包括護(hù)理人員溝通能力、服務(wù)態(tài)度、操作水平、健康教育方式方法、心理干預(yù)，每項(xiàng)20分，滿分100分，81～100分為非常滿意、60～80分為基本滿意、0～59分為不滿意。滿意度 =（非常滿意+基本滿意）/總例數(shù)×100%。

(2)證明：直線CD過(guò)定點(diǎn).

①

(m2+9)y2+2mny+n2-9=0,

將此代入①式,得

4 第三定義在最值問(wèn)題中的應(yīng)用

(1)求橢圓Γ的方程;

(2)設(shè)∠ACB=θ，△ABC與△CMN的外接圓的半徑分別為R1和R2，在△ABC與△CMN中分別利用正弦定理，得

由題意，直線AC的方程為y=k(x+2)，

令x=4,得M(4,6k).

5 第三定義在共線問(wèn)題中的應(yīng)用

圖4

解析設(shè)直線AT:y=k(x+a)，令x=a,得S(a,2ak).

若O，M，S三點(diǎn)共線，則OS⊥BT.