李富春
(云南省玉溪第一中學(xué) 653100)
給出數(shù)列遞推關(guān)系求數(shù)列通項(xiàng)公式是高考中的重點(diǎn),也是難點(diǎn).運(yùn)用待定系數(shù)法構(gòu)造等差、等比、常數(shù)數(shù)列是求解此類問(wèn)題的常用方法.那么問(wèn)題是怎樣待定?在什么樣的遞推關(guān)系下待定一個(gè)系數(shù)?二個(gè)系數(shù)?三個(gè)系數(shù)?對(duì)此問(wèn)題,本文作一些歸納、探究,供大家參考.
在這里,為了方便理解記憶,分別把引入一個(gè)等待確定的字母系數(shù)的值的方法叫做單待定系數(shù)法,簡(jiǎn)稱“單待定法”;引入二個(gè)等待確定的字母系數(shù)的值的方法叫做雙待定系數(shù)法,簡(jiǎn)稱“雙待定法”;引入三個(gè)等待確定的字母系數(shù)的值的方法叫做三待定系數(shù)法,簡(jiǎn)稱“三待定法”.
求形如遞推關(guān)系an+1=pan+q(p,q均為常數(shù),且pq≠0)和an+1=pan+qrn(p,q,r均為常數(shù),且pq≠0,p≠r≠1)的通項(xiàng)公式,均可用“單待定法”求解.
例1 已知數(shù)列{an}中,a1=1,an+1=2an+3,求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.
解析設(shè)an+1+λ=2(an+λ),
則an+1=2an+λ.
因?yàn)閍n+1=2an+3,所以λ=3.
故an+1+3=2(an+3).
又a1+3=4≠0,于是數(shù)列{an+3}是首項(xiàng)為4,公比為2的等比數(shù)列.故an+3=4·2n-1.
所以an=2n+1-3.
例2 在數(shù)列{an}中,a1=6,an+1=2an+3·5n,求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.
解析設(shè)an+1+x·5n+1=2(an+x·5n),
則an+1=2an-3x·5n.
因?yàn)閍n+1=2an+3·5n,
所以-3x=3.
解得x=-1.
從而an+1-5n+1=2(an-5n).
又a1-5=1≠0,所以數(shù)列{an-5n}是首項(xiàng)為1,公比為2的等比數(shù)列.故an-5n=1·2n-1.
所以an=2n-1+5n.
故而an=3·21-n+4n-6.
解析設(shè)an+2+san+1=t(an+1+san),
則an+2=(t-s)an+1+stan.
評(píng)注若取α=-2,β=2也可獲解,同學(xué)們不妨試一試.
求形如遞推關(guān)系an+1=pan+qn2+rn+s(p,q,r,s均為常數(shù),且p≠0,q≠0)和an+2=μan+1+λan+f(n)(μ,λ均為非零常數(shù),f(n)為關(guān)于n的函數(shù))的通項(xiàng)公式,均可用“三待定法”求解.
例6 在數(shù)列{an}中,a1=1,an+1=2an+3n2+4n+5,求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.
解析設(shè)an+1+x(n+1)2+y(n+1)+z=2(an+xn2+yn+z),則
an+1=2an+xn2+(y-2x)n+z-x-y.
因?yàn)閍n+1=2an+3n2+4n+5,
故遞推關(guān)系an+1=2an+3n2+4n+5
可化為an+1+3(n+1)2+10(n+1)+18=2(an+3n2+10n+18),
所以數(shù)列{an+3n2+10n+18}是首項(xiàng)為32,公比為2的等比數(shù)列.
于是an+3n2+10n+18=32·2n-1.
從而an=2n+4-3n2-10n-18.
例7 已知數(shù)列{an}滿足a1=1,a2=2,且an+2=2an+1+3an+2n,求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.
解析設(shè)an+2+xan+1+y·2n+1=z(an+1+xan+y·2n),則
an+2=(z-x)an+1+xzan+(z-2)y·2n.
因?yàn)閍n+2=2an+1+3an+2n,
故an+1+an+2n=5·3n-1.
①
②
由于數(shù)列的遞推關(guān)系形式多變復(fù)雜,從而求解數(shù)列的遞推關(guān)系的通項(xiàng)公式解法靈活,由此使不少同學(xué)深感困難.若能掌握上述三種策略,可以說(shuō),解決這類問(wèn)題就沒(méi)有問(wèn)題了.