鐘擺里的科學(xué)

棉線、羊角釘、重物、木棍、剪刀、尺子

1用尺子量一段長60厘米左右的棉線，對折后，一端固定在重物上，一端固定在羊角釘上，使棉線的有效長度為24厘米。再用尺子量一段長30厘米左右的棉線，同樣的操作，使棉線的有效長度為12厘米。

2將系有24厘米棉線的羊角釘擰緊在木棍里。

3這時，需要另一名小伙伴幫忙，用手按住木棒，使它固定在桌子上，并讓重物懸空。

4向右拉起重物，到一定角度（小于30度），保持繩子繃緊，放手后讓它左右擺動。用手機倒計時，計算重物在1分鐘內(nèi)擺動的次數(shù)（一左一右為1次）。將重物拉到不同的角度，多嘗試幾次，計算重物在1分鐘內(nèi)擺動的次數(shù)是否相同。

5棉線長度不變（24厘米）的前提下，增加重物的質(zhì)量后，如步驟4所述，再多嘗試幾次。

6換上剛剛準(zhǔn)備好的系有12厘米棉線的重物，重復(fù)步驟4。

通過實驗我們可以發(fā)現(xiàn)，只要棉線長度不變，即使改變重物的質(zhì)量和初始位置，重物在相同時間（1分鐘內(nèi)）擺動的次數(shù)都是相同的。棉線長度越短，擺動的次數(shù)越多。

這是一個常見的結(jié)構(gòu)，被稱為單擺。單擺在擺動幅度不大的情況下，具有非常良好的等時性。早在17世紀，人們便開始利用單擺的等時性制造鐘表。那么，單擺為何具有等時性呢？

為了弄清楚這個原因，我們需要補充一點數(shù)學(xué)知識。在角度不大的情況下，圓的一小段弧長與跨過這段弧長的直線（割線）數(shù)值是極為接近的，而且此時圓弧上的半徑可以近似看作與割線垂直（α=2180-θ／２≈90度）。

我們將重力分解為兩個方向的力，一個是沿著繩子的力，一個是在擺錘運動方向上的力，其中沿著繩子的力將與繩子的拉力相抗衡，而擺錘運動方向上的力將促使重物運動。

根據(jù)前面所提到的割線與弧長的關(guān)系，我們使用一條直線x的長度近似表示重物偏離原本位置的弧長長度。由以上講述可知，三角形1與2均為直角三角形，角大小相等，則兩三角形相似，所以運動方向的力與重力的比值和偏離平衡位置的距離與繩子長度的比值有著相似的比例關(guān)系。

由此可知，隨著重物偏離中心位置的距離，垂直方向的分力將對應(yīng)比例地增大。這就意味著重物越是偏離平衡位置，重力產(chǎn)生的返回平衡位置的力就越大。這和彈簧的周期運動是極為相似的。

重力在運動方向上的分力（供圖/史金陽）

那么，我們與彈簧震動的周期作對比，得到單擺的周期（T）可以寫為：

這個公式指出，單擺的周期與單擺的線長和當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣扔嘘P(guān)。地球上的重力加速度僅與在地球上的緯度位置有關(guān)，當(dāng)我們在距離相差不遠的地方進行實驗時，可以認為重力加速度對于擺錘的影響是非常接近的，那么單擺的周期僅與擺線的長度有關(guān)，所以無論更換怎樣的重物，或者更改初始角度，單擺的周期都是一致的。

正如我們上面所提到的，我們使用了割線代替弧長，這種近似效果是有限的，在角度很大的情況下，會產(chǎn)生一定的周期差異。大家可以嘗試將單擺的角度拉大，觀察周期是否會發(fā)生變化。