基于高中數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)下TPACK模式的實(shí)踐研究

吳文濤 張毅

【摘要】數(shù)學(xué)建模是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要形式，TPACK模式能夠帶領(lǐng)學(xué)生從教學(xué)技術(shù)的角度對(duì)數(shù)學(xué)建模進(jìn)行認(rèn)識(shí).為了保障學(xué)生對(duì)TPACK模式的接受效果，教師需要從數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)的方案設(shè)計(jì)出發(fā)，融合數(shù)學(xué)學(xué)科特點(diǎn)為學(xué)生帶來更為全面的教學(xué)體驗(yàn).在此基礎(chǔ)上，教師需要結(jié)合高中課程內(nèi)容，以保障TPACK模式能夠切實(shí)有效地發(fā)揮出教學(xué)優(yōu)勢，以此推動(dòng)數(shù)學(xué)建模的實(shí)踐應(yīng)用，使之能夠形成良性的教學(xué)體系，融入教師的日常教學(xué)活動(dòng)中來.

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué)；建模；TPACK模式；實(shí)踐應(yīng)用

【基金項(xiàng)目】本文系馬鞍山市教育科學(xué)規(guī)劃2022年度立項(xiàng)課題“基于高中數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)TPACK模式的實(shí)踐研究”（課題編號(hào)MJG22041）的研究成果.

在TPACK理論中，強(qiáng)調(diào)技術(shù)知識(shí)、教學(xué)知識(shí)以及內(nèi)容知識(shí)三者之間的作用關(guān)系與三者之間的有機(jī)整合，并且強(qiáng)調(diào)這種有機(jī)整合是教師對(duì)學(xué)生開展有效教學(xué)的根本與基礎(chǔ).從實(shí)際來看，TPACK模式注重教學(xué)技術(shù)與學(xué)科特點(diǎn)的有機(jī)融合，這與當(dāng)下的教學(xué)基礎(chǔ)設(shè)施的建設(shè)與信息化教學(xué)技術(shù)的進(jìn)步相契合.在過去的高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)學(xué)建模通常會(huì)采用建立具體實(shí)物模型的方式進(jìn)行，因此教學(xué)過程會(huì)受到教學(xué)場地與教學(xué)時(shí)間的限制，不能跟隨教師的教學(xué)進(jìn)程進(jìn)行靈活應(yīng)用.教師可以從TPACK模式的出發(fā)，采用教學(xué)技術(shù)進(jìn)行數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建，使教學(xué)模式能夠在數(shù)學(xué)知識(shí)展示與實(shí)施方式上進(jìn)行突破，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)高中數(shù)學(xué)教學(xué)模式的整體優(yōu)化.

一、高中數(shù)學(xué)中TPACK理論對(duì)數(shù)學(xué)建模教學(xué)的影響

在高中數(shù)學(xué)的教學(xué)過程中，數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建在于將抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)轉(zhuǎn)換為具體的模型案例，使學(xué)生可以通過模型中的數(shù)學(xué)語言進(jìn)行學(xué)習(xí).但對(duì)于學(xué)生來說，他們還需要經(jīng)過教師的教學(xué)展示才能對(duì)數(shù)學(xué)模型進(jìn)行有效認(rèn)識(shí)，單薄的展示方式則會(huì)制約數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用效果，這正是TPACK理論的方向所在.在TPACK理論下，教師不僅可以通過教學(xué)技術(shù)進(jìn)行數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建，還可以通過多元化的教學(xué)方式對(duì)數(shù)學(xué)模型進(jìn)行展示，使數(shù)學(xué)語言表達(dá)更為簡便，進(jìn)而促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)模型的理解.

二、高中數(shù)學(xué)對(duì)于TPACK理論與數(shù)學(xué)建模的融合應(yīng)用

高中階段的數(shù)學(xué)教學(xué)是以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為導(dǎo)向開展的綜合性教學(xué)，對(duì)于數(shù)學(xué)建模的應(yīng)用也是為了促進(jìn)整體的教學(xué)進(jìn)程.因此，TPACK理論與數(shù)學(xué)建模的融合應(yīng)用服務(wù)于學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)過程的參與.這不僅體現(xiàn)在TPACK理論對(duì)數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建方向上，也體現(xiàn)在TPACK理論下數(shù)學(xué)模型的設(shè)計(jì)原則上，而不是簡單地將TPACK理論在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用理解為在數(shù)學(xué)模型中堆砌各類教學(xué)技術(shù).

（一）TPACK理論對(duì)于數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建方向

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，TPACK理論對(duì)于數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建方向需要教師能夠從宏觀的角度進(jìn)行認(rèn)識(shí).這就需要教師將數(shù)學(xué)建模看作數(shù)學(xué)教學(xué)過程中的有機(jī)組成部分，使數(shù)學(xué)建模能夠根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知需求實(shí)現(xiàn)靈活應(yīng)用，使之成為教師進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)的常用工具，進(jìn)而引申出從TPACK理論的角度對(duì)數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建方向進(jìn)行明確，即采用教學(xué)技術(shù)的形式使數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建與高中數(shù)學(xué)教學(xué)過程深度融合，并由此形成以教學(xué)技術(shù)支持?jǐn)?shù)學(xué)建模為表皮，以促進(jìn)學(xué)生掌握知識(shí)為內(nèi)核的教學(xué)形式.

（二）TPACK視野下的數(shù)學(xué)建模設(shè)計(jì)原則

數(shù)學(xué)建模是教師對(duì)學(xué)生進(jìn)行知識(shí)傳遞的工具，其本身就是對(duì)高中數(shù)學(xué)教材中不易直接理解的知識(shí)的加工.因此，TPACK視野下的數(shù)學(xué)建模設(shè)計(jì)原則是提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)模型的學(xué)習(xí)效率，使數(shù)學(xué)建模通過教學(xué)技術(shù)的優(yōu)化更加符合高中學(xué)生的認(rèn)知習(xí)慣.在此基礎(chǔ)上，進(jìn)行數(shù)學(xué)建模的設(shè)計(jì)時(shí)，教師需要有針對(duì)性地選取合適的教學(xué)技術(shù)，使所用教學(xué)技術(shù)的優(yōu)勢得到發(fā)揮.如利用信息技術(shù)進(jìn)行數(shù)學(xué)建模的優(yōu)勢在于知識(shí)承載力高、靈活性強(qiáng)，利用物理技術(shù)進(jìn)行數(shù)學(xué)建模的優(yōu)勢在于邏輯性強(qiáng)、直觀性強(qiáng).

三、結(jié)合高中數(shù)學(xué)課程內(nèi)容，TPACK理論下的數(shù)學(xué)建模

對(duì)于TPACK理論下的數(shù)學(xué)建模來說，有效地結(jié)合高中數(shù)學(xué)課程內(nèi)容并根據(jù)相關(guān)知識(shí)特點(diǎn)設(shè)計(jì)合適的數(shù)學(xué)模型，是在TPACK理論下進(jìn)行教學(xué)技術(shù)應(yīng)用的重點(diǎn).因此，準(zhǔn)確地把握高中數(shù)學(xué)課程內(nèi)容，設(shè)計(jì)出針對(duì)學(xué)生認(rèn)知需求的數(shù)學(xué)模型，構(gòu)成了數(shù)學(xué)教學(xué)的核心環(huán)節(jié).在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要考慮到學(xué)生之間的學(xué)科核心素養(yǎng)差異以及關(guān)注學(xué)生學(xué)業(yè)狀況的動(dòng)態(tài)變化，實(shí)現(xiàn)對(duì)數(shù)學(xué)模型構(gòu)建的動(dòng)態(tài)調(diào)整，使數(shù)學(xué)模型的設(shè)計(jì)內(nèi)容與方式跟隨學(xué)生的變化去適應(yīng)，而不是學(xué)生去適應(yīng)TPACK教學(xué)模式.

（一）在函數(shù)教學(xué)中的實(shí)踐應(yīng)用

函數(shù)教學(xué)是高中數(shù)學(xué)的重要構(gòu)成，不僅僅是因?yàn)楹瘮?shù)是高考數(shù)學(xué)的重要考點(diǎn)，是聯(lián)系多個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)的重要橋梁，更是因?yàn)楹瘮?shù)自身的數(shù)學(xué)魅力，它是學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)學(xué)科的有效途徑.在TPACK理論下，數(shù)學(xué)建模不應(yīng)該只服務(wù)于單一函數(shù)知識(shí)，而應(yīng)該帶領(lǐng)學(xué)生通過函數(shù)的視角進(jìn)行關(guān)聯(lián)性認(rèn)知，這也是在函數(shù)教學(xué)中引入數(shù)學(xué)建模的重要原因.函數(shù)本身與TPACK模式的契合為教師開展相關(guān)主題的數(shù)學(xué)建模提供了便利的條件，使函數(shù)教學(xué)活動(dòng)為學(xué)生帶來了更加豐富的參與體驗(yàn).

例如，高中數(shù)學(xué)教師在開展指數(shù)函數(shù)教學(xué)時(shí)，為了引導(dǎo)學(xué)生探究指數(shù)函數(shù)的數(shù)學(xué)特點(diǎn)，幫助學(xué)生更好地認(rèn)知函數(shù)公式與函數(shù)圖像的關(guān)系，可以從TPACK模式出發(fā)進(jìn)行數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建.數(shù)學(xué)教師設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型時(shí)可以采用“GGB”數(shù)學(xué)學(xué)科工具進(jìn)行模型構(gòu)建.學(xué)生在進(jìn)行指數(shù)函數(shù)的數(shù)學(xué)建模時(shí)，可采用圖像模型對(duì)比的方式進(jìn)行學(xué)習(xí).數(shù)學(xué)模型對(duì)比可以是“y=ax（a>1）的圖像模型”“y=logax（a>1）的圖像模型”“y=xn（n>0）的圖像模型”，一系列模型對(duì)比的展示，可引發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考，進(jìn)而幫助學(xué)生完成指數(shù)函數(shù)的數(shù)學(xué)解析，梳理關(guān)聯(lián)函數(shù)的知識(shí)網(wǎng)絡(luò).

（二）在圓錐曲線教學(xué)中的實(shí)踐應(yīng)用

TPACK教學(xué)模式的一個(gè)重要目的就是促進(jìn)學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解，提高學(xué)習(xí)效率.在高中數(shù)學(xué)的圓錐曲線教學(xué)中，數(shù)學(xué)建模的知識(shí)解析能夠立體地展示圓錐曲線的特點(diǎn)，加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念、知識(shí)點(diǎn)的理解.因此，數(shù)學(xué)建模在圓錐曲線中的設(shè)計(jì)與應(yīng)用研究也是非常有必要的.TPACK理論下的數(shù)學(xué)建模，一方面可以有效激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)和技能的興趣，另一方面可以實(shí)現(xiàn)師生間教學(xué)互動(dòng)與知識(shí)遷移，同時(shí)能培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)能力，為高中階段數(shù)學(xué)教學(xué)提供新方向，實(shí)現(xiàn)從學(xué)生自身出發(fā)的知識(shí)理解方式的應(yīng)用.

例如，高中數(shù)學(xué)教師在開展橢圓相關(guān)的教學(xué)時(shí)，可以在這堂課中做出數(shù)學(xué)建模展示，首先講解雙曲線的概念、特點(diǎn)以及標(biāo)準(zhǔn)方程，通過這些內(nèi)容使學(xué)生對(duì)雙曲線有一個(gè)初步的認(rèn)識(shí)和了解；然后講解雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程中的“a，b，焦點(diǎn)”等構(gòu)成要素，在TPACK模式中可以利用動(dòng)態(tài)的雙曲線模型進(jìn)行演示，幫助學(xué)生進(jìn)行理解.例如，教師利用幾何畫板構(gòu)建雙曲線模型，通過調(diào)整方程中“a”“b”的值改變雙曲線圖形，使學(xué)生從圖形出發(fā)對(duì)雙曲線的數(shù)學(xué)意義進(jìn)行理解.這樣的數(shù)學(xué)建模不僅能夠使學(xué)生掌握相關(guān)內(nèi)容，還能降低知識(shí)的理解門檻.

（三）在空間向量教學(xué)中的實(shí)踐應(yīng)用

在開展空間向量相關(guān)的數(shù)學(xué)建模時(shí)，教師需要對(duì)空間向量的模型展示方式進(jìn)行分析.基于空間向量自身的特殊性，教師一方面需要認(rèn)識(shí)到空間向量相較于其他的平面圖形有明顯的空間特性，會(huì)促使學(xué)生發(fā)揮一定的想象力，另一方面需要認(rèn)識(shí)到空間向量自身往往是結(jié)合其他類型的知識(shí)點(diǎn)綜合出現(xiàn)的.教師在此基礎(chǔ)上思考什么樣的TPACK模式才能體現(xiàn)數(shù)學(xué)建模的空間性，進(jìn)而設(shè)計(jì)出具有空間向量知識(shí)特點(diǎn)的數(shù)學(xué)模型，有針對(duì)性地引導(dǎo)學(xué)生按照正確的方式去學(xué)習(xí)空間向量內(nèi)容.

例如，在開展空間向量相關(guān)的教學(xué)時(shí)，幫助學(xué)生對(duì)空間向量的數(shù)學(xué)概念進(jìn)行認(rèn)識(shí)并不困難，困難的是以空間向量為方法進(jìn)行解析幾何的處理.教師在進(jìn)行相關(guān)的數(shù)學(xué)建模時(shí)可以融合高考題目中常見的立體幾何進(jìn)行設(shè)計(jì)，如三棱柱、三棱錐、四棱錐等，同時(shí)從TPACK模式的角度對(duì)教學(xué)技術(shù)進(jìn)行引入.教師可以采用3D模擬的方式進(jìn)行空間向量的數(shù)學(xué)建模，在數(shù)學(xué)建模中除了進(jìn)行空間直角坐標(biāo)系的解析之外，重要的是各類輔助向量的引用.數(shù)學(xué)建?？梢园l(fā)揮出3D模型的技術(shù)優(yōu)勢，通過旋轉(zhuǎn)視角、拉伸視野等方式為學(xué)生更為直觀地展示空間向量的數(shù)學(xué)應(yīng)用.

（四）在概率教學(xué)中的實(shí)踐應(yīng)用

概率知識(shí)是數(shù)學(xué)學(xué)科的重要研究內(nèi)容，通過TPACK模式的應(yīng)用，教師可以將教學(xué)技術(shù)融入具體的模型解析過程中，讓學(xué)生通過模型的展示完成對(duì)概率知識(shí)的掌握.在概率模型中，隨著直觀導(dǎo)向教學(xué)思路的提出，TPACK模式的重要性得到了進(jìn)一步體現(xiàn)，學(xué)生需要通過概率模型的構(gòu)建轉(zhuǎn)化抽象的數(shù)學(xué)概念.而為了進(jìn)行有效的TPACK融合，教師需要從概率模型的概率演示、概率統(tǒng)計(jì)和概率分析等方面入手進(jìn)行分析，盡可能地發(fā)揮教學(xué)技術(shù)的實(shí)用價(jià)值，提升學(xué)生建模的興趣.

例如，高中數(shù)學(xué)教師在開展概率相關(guān)的教學(xué)時(shí)，根據(jù)本課內(nèi)容的需要讓學(xué)生對(duì)概率的數(shù)學(xué)意義進(jìn)行理解，這就需要學(xué)生能夠?qū)?duì)概率數(shù)學(xué)模型的分析轉(zhuǎn)化為對(duì)抽象概念的分析.在TPACK模式的教學(xué)視野中，教師需要實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)模型簡便易操作的要求.例如，教師可以采用高爾頓釘板的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行概率的演示，并通過視頻模擬的形式設(shè)計(jì).為此教師可以通過多次演示的方式為學(xué)生解析概率的數(shù)學(xué)原理，而不采用實(shí)物建模的形式.之后，教師引導(dǎo)學(xué)生按照數(shù)學(xué)建模的設(shè)計(jì)要求進(jìn)行概率分析，對(duì)不同小球下落的分布狀況進(jìn)行驗(yàn)證，并詳細(xì)記錄演示數(shù)據(jù)，學(xué)生由此對(duì)概率進(jìn)行認(rèn)識(shí).

四、探索信息技術(shù)，助力數(shù)學(xué)教學(xué)

首先，從TPACK模式的角度出發(fā)，在數(shù)學(xué)建模中引入信息技術(shù)基于當(dāng)下學(xué)生對(duì)于以信息技術(shù)為主導(dǎo)的互聯(lián)網(wǎng)的熟悉，這使學(xué)生可以容易地接受TPACK模式的數(shù)學(xué)建模，無論是對(duì)線上學(xué)習(xí)方式的應(yīng)用還是對(duì)各類電子設(shè)備的使用，高中學(xué)生都有自身優(yōu)勢.其次，學(xué)生作為高中數(shù)學(xué)的直接教學(xué)對(duì)象，需要發(fā)揮出教學(xué)的主體作用.信息技術(shù)的應(yīng)用可以為學(xué)生提供更加自主的選擇，使學(xué)生能夠根據(jù)自身對(duì)數(shù)學(xué)模型的認(rèn)識(shí)參與教學(xué)過程，從而提高高中數(shù)學(xué)教學(xué)的整體效率.

例如，高中數(shù)學(xué)教師在對(duì)數(shù)學(xué)建模進(jìn)行使用時(shí)，幾何圖形、電子表格等是數(shù)學(xué)模型構(gòu)建過程中必不可少的數(shù)學(xué)元素，教師可以引導(dǎo)學(xué)生通過幾何視角對(duì)信息技術(shù)中關(guān)于圖畫繪制方面的功能進(jìn)行認(rèn)識(shí).教師可以引入相應(yīng)的信息技術(shù)，幫助學(xué)生在TPACK模式中完成對(duì)數(shù)學(xué)建模內(nèi)容的學(xué)習(xí).教師可以選擇幾何繪圖軟件，將其作為數(shù)學(xué)建模的設(shè)計(jì)途徑，為學(xué)生進(jìn)行模型繪制的實(shí)時(shí)演示.在數(shù)學(xué)建模過程中，教師還可以將幾何繪圖軟件交給學(xué)生，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)軟件的操作，使學(xué)生能夠在具體的圖形繪制、表格制作中自由發(fā)揮，進(jìn)而加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)模型的理解.

五、形成教學(xué)體系，融入日常活動(dòng)

數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)下的TPACK模式的實(shí)踐應(yīng)用，對(duì)于高中數(shù)學(xué)教學(xué)來說需要的不是教師的一時(shí)興起，而教師是能夠?qū)PACK模式與數(shù)學(xué)建模聯(lián)系起來，形成屬于自己的教學(xué)體系，并將其融入對(duì)學(xué)生的日常教學(xué)活動(dòng)中.從學(xué)生發(fā)展的角度出發(fā)，教學(xué)體系的形成對(duì)于學(xué)生來說不僅意味著獲取知識(shí)方式的增加，還意味著學(xué)科觀念的塑造，是獨(dú)具魅力的.這都不是教師進(jìn)行一次兩次的教學(xué)實(shí)踐能夠達(dá)成的目標(biāo)，都需要教師在長期的教學(xué)過程中進(jìn)行教學(xué)體系化的建設(shè).

例如，高中數(shù)學(xué)教師從建立教學(xué)體系的角度對(duì)數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)下的TPACK模式的實(shí)踐應(yīng)用進(jìn)行解析，可以從兩個(gè)方面出發(fā)，分別是數(shù)學(xué)建模的應(yīng)用形式與學(xué)生的認(rèn)知方式.其中數(shù)學(xué)建模的應(yīng)用形式，主要是指數(shù)學(xué)模型的在日常教學(xué)中的應(yīng)用方式，如采用教師演示學(xué)生聽講的方式還是設(shè)置模型學(xué)生自主探究的方式，其核心在于有效地將學(xué)生組織起來并使之參與到數(shù)學(xué)模型學(xué)習(xí)中.學(xué)生的認(rèn)知方式主要是指學(xué)生自身在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中表現(xiàn)出來的認(rèn)知能力的變化，如教師在教學(xué)過程中不難發(fā)現(xiàn)學(xué)生天然地對(duì)抽象知識(shí)內(nèi)容表現(xiàn)出明顯的排斥，更喜歡直接且具體的知識(shí)形式.

綜上所述，基于高中數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)下TPACK模式的實(shí)踐研究，是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要組成.為了滿足數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的要求，教師需要圍繞TPACK理論對(duì)自己的教學(xué)方式進(jìn)行分析，以此在數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建與展示過程中有效地應(yīng)用教學(xué)技術(shù).

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