兩曲線相切的應(yīng)用

廣東省中山市中山紀(jì)念中學(xué)(528454)李文東

我們熟悉直線與曲線相切的情形,對(duì)于兩曲線,我們也可以這樣定義它們相切:若兩曲線有公共點(diǎn)P且在點(diǎn)P處有相同的切線,我們就稱這兩條曲線在點(diǎn)P處相切.

設(shè)曲線f(x)與曲線g(x)在點(diǎn)P(x0,y0)處相切,則根據(jù)曲線相切的定義有:

例1設(shè)a>1,若曲線f(x)=ax與曲線g(x)=loga x相切,求a.

對(duì)于單調(diào)性相同且凹凸性相反的兩曲線,我們借助兩曲線相切這一特殊情形,可以解決與之相關(guān)的一些問題,下面舉例說明.

一、利用兩曲線相切證明函數(shù)不等式

例2證明:ex-lnx>2.

證明設(shè)函數(shù)y=ex - a與函數(shù)y=lnx在點(diǎn)P(x0,y0)處相切,則并且由得x0=-lnx0,從而由基本不等式得由于函數(shù)y=ex - a與函數(shù)y=lnx的凹凸性相反,由此可知ex-a≥lnx,從而ex-lnx≥a>2.

點(diǎn)評(píng)由于函數(shù)y=ex與函數(shù)y=lnx并不相切,因此可以考慮將函數(shù)y=ex向下平移a個(gè)單位后使之與函數(shù)y=lnx相切,這里的a即為兩函數(shù)之間的垂直最小距離.

例3(2018年高考全國(guó)ⅡⅠ卷文科第21 題)已知函數(shù).

(1)求曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,-1)處的切線方程;

(2)證明:當(dāng)a≥1 時(shí),f(x)+e ≥0.

解(1)略.

二、利用公切線討論函數(shù)零點(diǎn)

例4已知函數(shù)討論方程f(x)=0 解的個(gè)數(shù),并說明理由.

圖1

點(diǎn)評(píng)這種方法適合與兩函數(shù)凹凸性相反且單調(diào)性相同求兩函數(shù)圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)的情形.

例5已知函數(shù)f(x)=aex-1-ln(ax+a),其中a>0.若f(x)只有一個(gè)零點(diǎn),求a的值.

解f(x)只有一個(gè)零點(diǎn),即函數(shù)y=aex -1 與函數(shù)y=ln(ax+a)的圖像只有一個(gè)交點(diǎn).設(shè)函數(shù)y=aex -1 與函數(shù)y=ln(ax+a)在點(diǎn)P(x0,y0)處相切,則得ln(ax0+a)=-x0,從而解得x0=0,于是a=1.

三、利用兩曲線相切處理恒成立問題

例6 若x(ex+a)≥1+lnx對(duì)任意x >0 恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

圖2

例7若不等式ax-lnx≥a(2x-x2)對(duì)?x ∈[1,+∞)恒成立,求a的取值范圍.

解因?yàn)椴坏仁絘x-lnx≥a(2x-x2)對(duì)?x ∈[1,+∞)恒成立,所以a(x2- x)≥lnx對(duì)?x ∈[1,+∞)恒成立.當(dāng)x=1 時(shí),不等式顯然成立,當(dāng)x >1 時(shí),x2- x >0,lnx >0,故a >0.令g(x)=a(x2-x),f(x)=lnx.設(shè)函數(shù)f(x)與函數(shù)g(x)在點(diǎn)P(x0,y0)處有相同的切線,于是消去a得:(2x0-1)lnx0=x0-1,易得x0=1,此時(shí)a=1.作出兩函數(shù)的圖像,如圖3,結(jié)合圖像可知,所求a的取值范圍為a≥1.

圖3

四、利用兩曲線相切處理等高線橫向距離最小問題

點(diǎn)評(píng)本題中的n-m為函數(shù)f(x)與g(x)的橫向距離,因此可以將函數(shù)f(x)平移使之與函數(shù)g(x)圖像相切,則此時(shí)的平移量即為所求橫向距離的最小值.

數(shù)學(xué)解題的目的是鞏固數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、落實(shí)數(shù)學(xué)基本技能、感悟數(shù)學(xué)思想方法、提升數(shù)學(xué)思維活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).因此,對(duì)典型問題的多角度分析與解答是非常必要的,本文通過兩曲線相切的角度對(duì)上述問題提出了新的解法和思考,關(guān)于這方面的更多應(yīng)用,留著讀者們進(jìn)一步去發(fā)現(xiàn)和探索.