對一個含參數(shù)不等式恒成立問題的探究

湖北省荊門市龍泉中學(448000)范明輝

一、試題呈現(xiàn)

題目(湖北省高中名校聯(lián)盟2023 屆第二次聯(lián)合測評第16 題)若不等式對任意x>1恒成立,則a的取值范圍是______.

參考答案因為恒成立,所以x-lna+1 ≥lna+ln(x-1)+ln3a,所以x+1-ln(x-1)≥2 lna+ln3a,因為函數(shù)y=x+1-ln(x-1)在(1,2)上單調(diào)遞減,在(2,+∞)上單調(diào)遞增,所以y=x+1-ln(x-1)≥3,則有3 ≥2 lna+ln3a,所以lna≤1,即0

對參考答案的分析答案先將不等式左邊的結(jié)構(gòu)恒等變形為然后借助函數(shù)y=ex在x=0 處的切線不等式:ex≥x+ 1(x=0 時等號成立)將其進行放縮:ex-lna≥x -lna+ 1,則有x -lna+ 1 ≥lna+ ln(x -1)+ ln3a恒成立,通過移項進行“參變分離”,轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=x+1-ln(x-1)的最小值3 大于等于2 lna+ln3a,即3 ≥2 lna+ln3a,進行因式分解得:(lna-1)(ln2a+lna+3)≤0,解得0

二、深入探究

探究1為什么要借助函數(shù)y=ex在x=0 處的切線不等式進行放縮? 可否利用函數(shù)y=ex在x=1 處的切線不等式進行放縮?

嘗試1y=ex在x=1 處的切線不等式為:ex≥ex(x=1 時等號成立),則有ex-lna≥e(x-lna),所以e(x-lna)≥lna+ln(x-1)+ln3a,移項進行“參變分離”得:ex-ln(x-1)≥(e+1)lna+ln3a,又函數(shù)y=ex-ln(x-1)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,故y=ex-ln(x-1)≥e+2,則有e+2 ≥(e+1)lna+ln3a,進行因式分解得:(lna-1)(ln2a+lna+e+2)≤0,解得0

探究2既然借助函數(shù)y=ex在x=1 處的切線不等式可以得到同樣的a的取值范圍,那么是否借助函數(shù)y=ex在任意一點處的切線不等式都可以呢? 再借助函數(shù)y=ex在x=2 處的切線不等式進行放縮嘗試.

嘗試2y=ex在x=2 處的切線不等式為:ex≥e2x-e2(x=2 時等號成立),則有ex-lna≥e2(x-lna)-e2,所以e2(x-lna)-e2≥lna+ln(x-1)+ln3a,移項進行“參變分離”得:e2x-ln(x-1)≥(e2+1)lna+e2+ln3a,又函數(shù)y=e2x-ln(x-1)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,故y=e2x-ln(x-1)≥e2+3,則有e2+3 ≥(e2+1)lna+e2+ln3a,整理得:ln3a+(e2+1)lna-3 ≤0,令t=lna,記函數(shù)f(t)=t3+(e2+1)t-3,則f＇(t)=3t2+(e2+1)>0,則f(t)在R 上單調(diào)遞增,又因為所以使得f(t0)=0,則t=lna≤t0,進而解得參數(shù)a的一個取值范圍為:若不斷地縮小隱零點t0所在的區(qū)間,則求解出來的參數(shù)a的取值集合皆為(0,e]的子集.

探究3通過實踐,我們發(fā)現(xiàn)借助函數(shù)y=ex在不同點處的切線不等式進行放縮所得到的參數(shù)a的取值范圍不盡相同,那么參數(shù)a的取值范圍究竟應該是什么呢? 參考答案所展示的“放縮法”與其他方法得出的結(jié)果是否一致呢? 下面我們換一種方法再進行求解.

嘗試3記函數(shù)求導得:記函數(shù)g(x)=(x -1)ex - a(x >1),則g＇(x)=xex >0,所以函數(shù)g(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增,又g(1)=-a <0,g(a+ 1)=aea+1- a >0,故存在x0∈(1,a+ 1),使得g(x0)=0,即:所以函數(shù)f(x)在(1,x0)上單調(diào)遞減,在(x0,+∞)上單調(diào)遞增.所以f(x)≥故ln(x0-1)+x0=lna,將其代入f(x0),消去參數(shù)a得:.

探究4通過嘗試我們發(fā)現(xiàn),采用求函數(shù)最小值,使其大于等于零的“通法”無法確定參數(shù)a的取值范圍,這與參考答案采用的“放縮法”得到的結(jié)果完全不同.那么為什么嘗試1與參考答案中的結(jié)果一致,而嘗試2 與它們卻不一致呢? 哪一種方法是正確的?

分析上述的參考答案、嘗試1、嘗試2 的解法中,是根據(jù)原不等式左右兩邊函數(shù)(下凸函數(shù))與y=ln(ax - a)+ ln3a(上凸函數(shù))的凹凸性,尋找一條切線介于兩者之間,借助“切線不等式”將原不等式左邊縮小,得到比原不等式更強的新不等式,由于選取的切線不同,導致得出的參數(shù)范圍不盡相同.此時利用新不等式求出的參數(shù)范圍只是原不等式成立的充分條件,并不是充要條件.上述的嘗試3 中展示的“通法”是沒有破綻的,但是由于命題者的疏忽,沒有考慮原不等式的取等條件,在題目條件的設(shè)置上存在漏洞,導致此題無解.

借助《幾何畫板》軟件作出不等式左右兩邊的函數(shù)圖象以及上述解法中出現(xiàn)的三條切線,隨著參數(shù)a取值的變化,如圖1所示,當a=1.2 時,三條切線皆位于兩條曲線之間.如圖2所示,當a=1.55 時,在x=2 處的切線不再位于兩條曲線之間,因此嘗試2 中借助x=2 處的切線進行放縮得到的參數(shù)范圍是不完整的.

圖1

圖2

進一步使參數(shù)a的取值變大,此時兩條曲線不斷靠近,當參數(shù)a=2.77>e 時,如圖3所示,兩條曲線的位置關(guān)系仍滿足題干條件中的不等式,但是此時無論是嘗試1 中在x=1 處的切線還是參考答案中在x=0 處的切線都與下方的曲線產(chǎn)生了交點,因此參考答案和嘗試1 中求出的參數(shù)范圍也是不完整的.

圖3

圖4

借助《幾何畫板》軟件繼續(xù)作圖發(fā)現(xiàn),當參數(shù)a的取值繼續(xù)增大至a ≈2.87 時,兩條曲線相切,因此通過作圖探究可得出參數(shù)a的大致范圍為(0,2.87),但是參數(shù)a的最大值的精確值是無法求出的.

三、小結(jié)

通過以上探究,提醒我們在解題時還是要注重對“通性通法”的掌握和運用.在處理含參數(shù)不等式恒成立問題時,要慎用“放縮法”,要深刻地認識到“放縮法”所得到的參數(shù)范圍只是一個充分條件,而不是充要的.此外,借助信息技術(shù)工具,可以幫助我們更好地認識問題的本質(zhì),發(fā)現(xiàn)解法中的漏洞,同時也能助力于試題的命制.